圆周角和圆心角的关系-- 知识讲解(基础)
【学习目标】
1．理解圆周角的概念，了解圆周角与圆心角之间的关系；
2．理解圆周角定理及推论；
3．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．
【要点梳理】
要点一、圆周角
1. 圆周角定义：
像图中∠ AEB、∠ ADB、∠ ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
2. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
3. 圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；
推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：
(1) 圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2) 圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
( 3)圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周
要点二、圆内接四边形
1. 圆内接四边形定义：
四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆
2. 圆内接四边形性质：
圆内接四边形的对角互补.如图，四边形ABCD是⊙ O的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°
D
要点诠释：当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补
典型例题】类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用
1.如图，在⊙ O中，，求∠ A的度数.
答案与解析】
【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等．
举一反三：
【变式】如图所示，正方形ABCD内接于⊙ O，点E在劣弧AD上，则∠ BEC等于( )
A ．45°
B ． 60°
C ．30°
D ． 55 答案】 A.
∵ AB ＝ BC ＝CD ＝DA ，
AB BC CD DA 90°， ∠ BEC ＝ 45°．
类型二、圆周角定理及应用
【思路点拨】 根据圆周角的定义去判断，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 . 【答案与解析】 (a) ∠1顶点在⊙ O 内，两边与圆相交，所以∠ 1 不是圆周角；
(b) ∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠ 2 不是圆周角；
(c) 图中∠ 3、∠ 4、∠ BAD 的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠ 3、∠ 4、∠ BAD 是圆周角． (d) ∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠ 5 不是圆周角；
(e) ∠ 6 顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠ 6 不是圆周角 .
【总结升华】 紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．
3. (2015?台州)如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O ，点 E 在对角线 AC 上， EC=BC=DC ． ( 1)若∠ CBD=39 °，求∠ BAD 的度数；
( 2)求证：∠ 1=∠ 2．
【答案与解析】
（ 1）解：∵ BC=DC ，
∴∠ CBD= ∠CDB=39 °，
∵∠ BAC= ∠CDB=39 °，∠ CAD= ∠CBD=39 °，
∴∠ BAD= ∠BAC+ ∠CAD=39 °+39°=78°； （2）证明：∵ EC=BC ，
2. 观察下图中角的顶点与两边有何特征 ? 指出哪些角是圆周角 ?
∴∠ CEB= ∠CBE ， 而∠CEB=∠2+∠BAE ，∠ CBE= ∠ 1+∠ CBD ，
∴∠ 2+∠BAE= ∠ 1+∠ CBD ，
∵∠ BAE= ∠CBD ，
∴∠ 1=∠ 2．
总结升华】 本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．
BD 是⊙ O 的弦，延长 BD 到 C ，使AC=AB ，BD 与 CD 的大小有什么关系？ 为什么？
思路点拨】 BD=CD ，因为 AB=AC ，所以这个△ ABC 是等腰三角形，要证明 D 是 BC 的中点，只要连结 AD ， 证明 AD 是高或是∠ BAC 的平分线即可．
答案与解析】
BD=CD.
理由是：如图，连接 AD
∵AB 是⊙ O 的直径
∴∠ ADB=90°即 AD ⊥ BC 又∵ AC=AB ，∴ BD=CD.
总结升华】 解题的关键是正确作出辅助线 举一反三：
【变式】（2015?安顺）如图，⊙ O 的直径 AB 垂直于弦 CD ，垂足为 E ，∠ A=22.5 °，OC=4， CD 的长为 （）
．如图， AB 是⊙ O 的直径，
得∠ D 的度数 .
答案与解析】 解：∵圆内接四边形的对角互补，
∴ ∠ A ：∠ B ：∠ C ：∠ D=2:3:4 ：3
设∠ A=2x ，则∠ B=3x ，∠ C=4x ，∠ D=3x ，
∴ 2x+3x+4x+3x=360 °，
∴x=30°
∴∠ D=90°.
总结升华】 本题考查圆内接四边形的性质和四边形的内角和为
C ．4
D ．8
提示：∵∠ A=22.5°，
∴∠ BOC=∠2 A=45°， ∵⊙O 的直径
AB 垂直于弦 CD ， ∴CE=D ，E △OCE
为等腰直角三角形，
∴ CE= OC=2 ，
∴CD=2CE=4 ．
故选： C ．
类型三、圆内接四边形及应用
5．圆内接四边形 ABCD 的内角∠ A ：∠ B ：∠ C=2:3:4 ，求∠ D 的度数 .
思路点拨】 根据圆内接四边形的性质可求得四个角的比值，再根据四边形的内角和为
360°的运用 .
B ．4 答案】 C.
360°，从而求
举一反三：
【变式】如图，⊙ O中，四边形ABCD是圆内接四边形，∠ BOD=110°，则∠ BCD的度数是（）
A.110 °
B.70 °
C.55 °
D.125 °
答案】D.A
C。