第四课 复 数
核心整合·思维导图
考点突破·素养提升
素养一 数学抽象 角度 复数的概念与分类 【典例1】(1)如果复数 2 bi (其中i为虚数单位,b为实数)是纯虚数,则
1 i
b=________. (2)如果复数 2 bi (其中i为虚数单位,b为实数)的实部和虚部互为倒数,
1 i
则b=________.
【解析】(1)由复数
2 bi 1 i
（（21bi）i）（（11i）i）（2
b）（ 2
2
b）i
是纯虚数,得b=2.
答案:2
(2)由复数 2 bi （2 bi）（1 i）（2 b）（ 2 b）i
1 i （1 i）（1 i）
2
的实部和虚部互为倒数,得
2 b =2 1b,b2-4=4⇒b2=8,得b=±2
【解析】(1)由z∈R,得a2-3a+2=0,
解得a=1或a=2.
(2)z为纯虚数,
a a
2 2
2a＝即0，
3a 2
0，
故aa＝a0=1或且0aa.＝22，.
(3)z对应的点在第一象限,则
a
所以
a a
0或a所 2以，a<0或a>2.a
1或a 2，
2 2
2a 3a
0， 2 0，
所以a的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).
(4)依题得(a2-2a)-(a2-3a+2)=0,所以a=2.
素养二 数学运算
角度1 复数的四则运算
【典例2】(1)计算:（2
i）（1 1 2i
i）2
（1
i）（1 i5
i）2
1
i2 1
019
i
.
(2)计算: 2 3 i (
2
)2
020
（4
8i）2 （
4
8i）2 .
1 2 3i 1 i
11 7i
22
.2
答案:±2 2
【解题策略】 正确区分复数的实部和虚部 (1)将复数进行计算或化简,化为z=a+bi(a,b∈R)的形式,那么a与b分别叫作复 数z的实部和虚部. (2)实数的虚部是0,0的实部和虚部都是0,纯虚数的实部为0且虚部不为0.
【补偿训练】 当实数a为何值时,z=a2-2a+(a2-3a+2)i. (1)为实数. (2)为纯虚数. (3)对应的点在第一象限. (4)复数z对应的点在直线x-y=0上. 【解题指南】解答本题可根据复数的分类标准,列出方程(不等式)求解.
1i
（1 i）（1 i）
2
=i2 019=(i4)505(i)-1=1505·(-i)=-i.
答案:-i
(2)设S=i+2i2+3i3+…+100i100,①
所以iS=i2+2i3+…+99i100+100i101,②
①-②得
(1-i)S=i+i2+i3+…+i100-100i101
= i（1 i1-010）00i101=0-100i=-100i.
110+0=-1+i.
【解题策略】
(1)灵活应用i2=-1化简计算:
形如 ai b 或 b ai 的复数运算,常常利用i2=-1
a bi a bi
化简,即 ai b i（ai b） i，
a bi ai b b ai i（b ai） i. a bi ai b
【补偿训练】
若x,y为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,则|x|+|y|=________.
【解析】因为x,y为共轭复数,所以x+y,xy∈R, 由设复 x=数a+相b等i(的a,b条∈件R得),则（yx3=xyay＝）-2b＝i64,，所， 以（a22a）2b＝2＝4，2， 所以|x|+|y|= 2 a2 b2＝2 2. 答案:2 2
素养三 直观想象 角度 复数与轨迹问题 【典例4】已知复数z1=i(1-i)3. (1)求|z1|. (2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.
【解析】(1)|z1|=|i(1-i)3|=|i|·|1-i|3=2 . 2 (2)如图所示,
由|z|=1可知,z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1,圆心为O(0,0)的圆,而z1 对应着坐标系中的点Z1(2,-2). 所以|z-z1|的最大值可以看成是点Z1(2,-2)到圆上的点的距离的最大值. 由图知|z-z1|max=|z1|+1=22 +1.
【解题策略】 常见的复数方程的轨迹 (1)圆的轨迹 设Z(x,y)是圆心为Z0(x0,y0),半径为r的圆上任意一点,则|ZZ0|=r (r>0).则 圆向量形式的方程| ZZ0 |=r(r>0), 圆复数形式的方程是|z-z0|=r(r>0). 圆代数形式的方程是(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r>0).
a bi
＝（a bi）（a2 b2 1 2abi）
1 z2 1 a2 b2 2abi （a2 b2 1）2 （2ab）2
＝（a3
ab2 （a 2
a） b（a2 b2 1）i b2 1）2 4a2b2
R，
所以b(a2+b2-1)=0.所以b=0或a2+b2=1.
【解题策略】 注意共轭复数的代数形式 (1)互为共轭复数的两个复数的实部相等,虚部互为相反数,所以复数问题的解 题关键是复数问题实数化,这是解决复数问题最基本的思想方法. (2)先设参数再运用待定系数法求解,这是常用的数学方法.
(2)注意类比数列的求和公式计算复数的乘方,
如1+i+i2+i3+…+in= 1 in1 .
1i
【补偿训练】
(1)计算: (1 i)2 019 =________.
1i
(2)化简i+2i2+3i3+…+100i100.
【解析】(1) (1 i )2 019＝（[ 1 i）（1 i）]2 019＝( 2i )2 019
1i
所以S= 100i＝ 100i（1 i）＝10（0 1 i）
1 i （1 i）（1 i）
2
=50-50i.
所以i+2i2+3i3+…+100i100=50-50i.
角度2 共轭复数
【典例3】设z=a+bi(a,b∈R),若 z ∈R,则a,b应满足什么条件?并说明理由.
1 z2
【解析】 z ＝
【解析】(1)（2
i）（1 1 2i
i）2
（1
i）（1 i5
i）2
1
i2 1
019
i
＝（2 i）（ 2i）（1 i） 2i 1 i
1 2i
i
1i
＝2 4i 1 3i （1 i）2
1 2i i
2
=2-(i+3)-i=-1-2i.
(2)原式= i（1 2 3i） [( 2 )2]1 010 （4 8i 8i 4）（4 8i 4 8i）