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为 f 与g 的合成（乘积），记作g f . 于是有
g f : A C; (g f )(x) g( f (x))
对于一切 x A ,f 与g 的合成可以用下面的图示意：
g f
A
C
f
g
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__B_____________________
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设给映射 f : A B ，g : B C ，h : C D，有 h (g f ) (h g) f .
但是，一般情况下 f g g f
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设A是非空集合, jA : A A ，x x, 称为A上的 恒
三、 映射的合成
设 f : A B 是A到B 的一个映射，g : B C 是B 到
C 的一个映射. 那么对于每一个 x A g，( f (x)) 是C中
的一个元素. 因此，对于每一 x A ，就有C 中唯一的 确定的元素 g( f (x)) 与它对应，这样就得到A到C 的一个
映射，这映射是由 f : A B 和 g : B C 所决定的，称
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注意: ① A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集
合 ② 对于A的每一个元素x，需要B中一个唯一确定
的元素与它对应. ③ 一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的
象. ④ A中不相同的元素的象可能相同.
设 f : A B 是一个映射. 对于x A ，x的象 f (x) B. 一切这样的象作成B的一个子集，用 f (A) 表示： f (a) { f (x) | x Af}( A) { f (x) x A} ， 叫做A在f 之下的象，或者叫做映射f 的象.
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与它对应.
用字母f，g，…表示映射. 用记号 f : A B 表示f 是A到B的一个映射.
如果通过映射f，与A中元素x对应的B中元素是y，
那么就写作 f : x y
这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 f (x) . ___________________________ _______________________
射，简称满射.
f : A B 是满射必要且只要对于B中的每一元素y ， 都有A中元素x 使得 f (x) y .
关于映射，只要求对于A中的每一个元素x，有B中的一个 唯一确定的元素y与它对应，但是A中不同的元素可以有相同的
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二、映射的相等及像
设 f : A B ，g : A B 都是A到B的映射，如果对于 每一 x，都f有fg(x) g(x)，那么就说映射f与g是相等的. 记 作 f g
例 令 f : R R, x | x |, g : R R, x x 2 那么 f g .
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等映射。
设A，B是两个非空集合，用 jA 和 jB 表示A和B的 恒等映射. 设f : A B 是A到B的一个映射. 显然有：
f jA f ，jB f f .
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四 单射、满射、双射
定义2 设f 是A到B的一个映射，如果 f ( A) B ,那 么说称f 是A到B上的一个映射，这时也称f 是一个满映
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作业：P7 3--7.
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1.2 映 射
一、映射的概念及例
定义1 设A，B 是两个非空的集合，A到B 的一个 映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A 中的每一个元素 x，有集合B中一个唯一确定的元素 y
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