国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第47届）
1．△ABC的内心为I，三角形内一点P满足∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB．求证，AP ≥AI，而且等号当且仅当P=I时成立．
证：∠PBC+∠PCB= 1
2
(∠ABC+∠ACB)=∠IBC+∠ICB，故∠PBI=∠PCI，从而
P，B，C，I四点共圆．但由内外角平分线相垂直知B，C，I与BC 边上的旁切圆心T 共圆，且IT是这个圆的直径，IT的中点O为圆心．由于A，I，T共线(∠BAC的平分线)，且P在圆周上，AP+PO≥AO=AI+IO，PO=IO，故AP≥AI．
等号当且仅当P为线段AO与圆周的交点即P=I时成立．
2．正2006 边形P 的一条对角线称为好的，如果它的两端点将P 的边界分成的两部分各含P的奇数条边．P的边也是好的．
设P被不在P的内部相交的2003 条对角线剖分为三角形．试求这种剖分图中有两条边为好的等腰三角形个数的最大值．
解：对于剖分图中的任一三角形ABC，P的边界被A，B，C分为3段，A-B段所含P 的边数记作m(AB)．由于m(AB)+ m(BC)+ m(CA)=2006，故等腰三角形若有两条好边，它们必是两腰．称这样的等腰三角形为好三角形．
考虑任一好三角形ABC(AB=AC)．A-B 段上若有别的好三角形，其两腰所截下的P 的边数为偶数．由于剖分图中的三角形互不交叉，而A-B 段上P 的边数为奇数，故A-B 段上必有P的一边α不属于更小的腰段，同理A-C段上也有P的一边β不属于更小的腰段，令△ABC 对应于{α，β}．由上述取法，两个不同的好三角形对应的二元集无
公共元，因此好三角形不多于2006
2
=1003 个．
设P=A1A2…A2006，用对角线A1A2k+1(1≤k≤1002)及A2k+1A2k+3(1≤k≤1001)所作的剖分图恰有1003 个好三角形．因此，好三角形个数的最大值是1003．
3．求最小实数M，使得对一切实数a，b，c都成立不等式
1
-+，其中
2x
mε
((())))P P x ，其中 P Q 的每个整数不动点都是设有整数x 使得()Q x x =，2)，．它
2)，
，的每一项整除后一项．由周期性及21}k m m m x u x x +-，，，，．即0x 是 P
的另一个2-周期点，1|x ，同理|
22-12n n A A ，每条对角线n +与1i i A A ++1)i n i n A A +++11i i i i i n i i n A O A O A O A ++++=，故i i O A O ，于是以 A 为一边在 P 内作的面积最大的三角形的面积111)}2()i n i i i n i i i i i A A A S O A A ++++++≥△对于每条有向线段i i n A A +，P 内部的每一点T 或在它的左侧或在它的右侧．由于11n A A +和12111n n n A A A A +++=的相反侧，故必有在i i n A A +和11i i n A A +++ 的相反侧，从而Ｔ在1i i i O A A +△或i i n O A A +△中．即21n
i i i i O A A P +=⊇△．于是
211((2()n i
i i i i i S A A O A A S P ++=∑△≥ P 中同一边上的各个(S A A 之和就是该边上的面积最大的内接三角形面积．。