平均高度 y
y=f(x)
f(ζ)
0 aζ
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bx
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y y=f(x)
y y=f(x)
0a
bx
T b f (x)dx [f (a) f (b)](ba)
a
2
0 a f((a+b)/2) b x
R b f (x)dx(ba)f (ab)
a
2
梯形公式
平均高度 中矩形公式 平均高度
C
b a [7 90
f
(x0 )
32
f
( x1 )
12
f
(x2 )
32
f
(x3 )
7
f
( x 4 )],
其中
xkΒιβλιοθήκη a kh , hba 4
柯特斯系数表
.
n
8
时
C
(n k
)出现负值
n k0
b a
lk
(x)dx
fk
这样构造的求积公式称为插值型的求积公式。
它的余项为
R[ f ] I In
b a
f
(x)
Ln
(x)dx
b a
f (n1) () (x)dx
(n 1)!
这时的求积公式至少具有 n 次代数精度
梯形公式余项：R[ f ]= b f () (x a)(x b)dx= (b a)3 f () , (a,b)
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更一般地，我们构造具有下列形式的求积公式
b
n
a
f (x)dx
Ak f (xk )
k 0
求积系数 求积节点
这类数值方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值 问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿-莱布尼兹公式需 要寻求原函数的困难。
二、代数精度的概念
例4-1 确定下面公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所 构造的求积公式所具有的代数精度
h
h f (x)dx Af (h) Bf (x1)
解: 令f (x) 1, x, x2,代入公式并令其相等，得
A B 2h hA Bx1 0
h2 A
Bx12
2 3
h3
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b f ( x )d x T b a [ f (a ) f (b )]
a
2
当 n 2时 , 得到抛物线公式 , 也称为 辛普森(Simpso
n)公式
b f ( x )d x S b a [ f (a ) 4 f ( a b ) f (b )]
a
6
2
当 n 4时 , 得到 柯特斯(cotes) 公式
且已知 f ( x ) 在这些节点上的值 f k ( k 0,1,2, , n ) , 作拉格朗日插 值多项式
n
L n ( x ) l k ( x ) f k k 0
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于是,得到积分 I b f (x)dx 的近似值 a
In
b
a Ln(x)dx
xk a kh 构造出的插值型求积公 式
n
I n (b a)
C (n) k
f
(xk
),
k 0
称为 牛顿 - 柯特斯公式（ Newton - Cotes公式 ），
C(n) k
称为
柯特斯 系数 .
由插值型求积公式：In
b a
Ln
(x)dx
n k 0
b a
lk
(
x) dx
fk
知
求积系数
但有时原函数不能用初等函数表示，有时原函数又十分 复杂，难于求出或计算；另外如被积函数是由测量或数值计 算给出的一张数据表示时，上述方法也不能直接运用。因此 有必要研究积分的数值计算问题。
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积分中值定理告诉我们：
I b f (x)dx f ( )(b a). a
定义1 若某个求积公式 对于所有次数不超过 m 的多项式 都准确成立，而对于某 一个 m 1 次的多项式等式不准确 成 立, 则称该求积公式具有 m 次代数精度 。
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梯形公式 (T b f (x) dx [ f (a) f (b)] (b a)) 代数精度
a2
12
同理，辛普森公式余项：R[ f ]= b a (b a)4 f（4）() , (a,b)
180 2
4.2 牛顿-柯特斯公式
一、牛顿-柯特斯公式的导出
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柯特斯系数
设将求积区间 [a, b] 做 n 等分，步长 h b a , 在等距节点 n
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解得，x1
1 3
h,
A
1 2
h, B
2 3
h.于是
h f (x)dx h [ f (h) 3 f (1 h)]
h
2
3
再令f (x) x3,得
0
h h
x3dx
h 2
(h)3
3(
1 3
h)3
4 9
h4
故求积公式具有2次代数精度。
三、插值型的求积公式
设给定一组节点 a x0 x1 xn b
Ak
b a
lk
(x)dx,
k
0,1,,
n
引入变换 x a th
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则有
C (n) k
b
h
a
n n t j d t ( 1) n k
nn
(t j )dt.
0 j0 k j
nk !(n k ) ! 0 j0
jk
jk
当 n 1时 , 得到梯形公式
a
2
令f (x) 1, x,....
当f (x) 1, 左边
b
1 dx b a
a
右边 [1 1] (b a) b a 2
左边 右边
当f (x) x, 左边
b a
xdx
[
x2 2
]ba
b2 2
a2 2
右边 [b a] (b a) b2 a 2
2
22
左边 右边
第四章 数值积分和数值微分
内容提要 4.1 引言 4.2 牛顿-柯特斯公式 4.3 复化求积公式 4.4 龙贝格求积公式 4.5 高斯求积公式 4.6 数值微分
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4.1 引言
一、数值求积的基本思想
对定义在区间［a,b］上的定积分
b
I f (x)dx F (b) F (a) a
当f (x) x 2 , 左边
b a
x 2dx
[
x3 3
]ba
b3 a3 33
(b 2 ab a 2 ) (b a) 3
右边 [b 2 a 2 ] (b a) 2
左边 右边
因此梯形公式具有一次 代数精确度。
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利用代数精度的概念构造求积公式