《函数与导数》测试题
一、选择题
1.函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是
( )
A. )2,(-∞
B.(0,3)
C.(1,4)
D. ),2(+∞
解析 ()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >,故选D 2. 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为 ( ) B. 2 C.-1 解:设切点00(,)P x y ，则0000ln 1,()y x a y x =+=+,又
0'01
|1x x y x a
==
=+ 00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=.故答案 选B 3.已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点
(1,(1))f 处的切线方程是( )
A.21y x =-
B.y x =
C.32y x =-
D.23y x =-+解析 由2()2(2)88f x f x x x =--+-得几何
2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，
即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =，∴切线方程
12(1)y x -=-，即210x y --=选A
4.存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和215
94
y ax x =+
-都相切，则a 等于 （）
A ．1-或25-64
B ．1-或214
C ．74-或25
-64 D ．74-或7
解析 设过(1,0)的直线与3y x =相切于点300(,)x x ，所以切线方程为
320003()y x x x x -=-
即230032y x x x =-，又(1,0)在切线上，则00x =或03
2
x =-，
当00x =时，由0y =与21594y ax x =+
-相切可得2564
a =-， 当032x =-时，由272744y x =
-与215
94y ax x =+-相切可得1a =-，所以选A . 5.设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为
( )
A ．4
B ．14-
C ．2
D ．1
2
-
解析由已知(1)2g '=，而()()2f x g x x ''=+，所以(1)(1)214f g ''=+⨯=故选A 6.曲线21
x
y x =
-在点()1,1处的切线方程为( )
A. 20x y --=
B. 20x y +-=
C.450x y +-=
D. 450x y --= 答案 B 解 111
222121
||[]|1(21)(21)
x x x x x y x x ===--'=
=-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B.
7.若函数()y f x =的导函数．．．
在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
解析 因为函数()y f x =的导函数．．．()y f x '=在区间[,]a b 上是增函数，
即在区间[,]a b 上各点处的斜率k 是递增的，由图易知选A. 注意C 中y k '=为常数噢. 8.若1x 满足2x+2x =5, 2x 满足2x+22log (x －1)=5, 1x +2x ＝
y y
( ) A.
52 B.3 C.7
2
答案 C
解析 由题意1
1225x x += ①
22222log (1)5x x +-= ② 所以1
1252x x =-,121log (52)x x =-
即21212log (52)x x =-
令2x 1＝7－2t,代入上式得7－2t ＝2log 2(2t －2)＝2＋2log 2(t －1) ∴5－2t ＝2log 2(t －1)与②式比较得t ＝x 2 于是2x 1＝7－2x 2
9.设函数1
()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =
( )
A 在区间1
(,1),(1,)e e 内均有零点。
B 在区间1
(,1),(1,)e e
内均无零点。
C 在区间1
(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。
D 在区间1
(,1)e 内无零点，在区间(1,)e 内有零点。
【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。
解析 由题得x
x x x f 33131)`(-=-=
，令0)`(>x f 得3>x ；令0)`(<x f 得30<<x ；0)`(=x f 得3=x ，故知函数)(x f 在区间)3,0(上为减函数，在区间
),3(+∞
为增函数，在点3=x 处有极小值03ln 1<-；又
()0131
)1(,013,31)1(>+=<-==
e
e f e e f f ，故选择D 。
二、填空题
10. 若函数2()1x a
f x x +=+在1x =处取极值，则a =
解析 f ’(x)＝22
2(1)()
(1)
x x x a x +-++ f ’(1)＝
34
a
-＝0 a ＝3 11.若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 .
解析 解析 由题意该函数的定义域0x >，由()1
2f x ax x
'=+。
因为存在垂直于y 轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为0x >范围内导函数
()1
2f x ax x
'=+
存在零点。
解法1 （图像法）再将之转化为()2g x ax =-与()1
h x x
=
存在交点。
当0a =不符合题意，当0a >时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当0a <如图2，此时正好有一个交点，故有0a <应填(),0-∞ 或是{}|0a a <。
解法 2 （分离变量法）上述也可等价于方程1
20ax x
+
=在()0,+∞内有解，显然可得()2
1
,02a x =-
∈-∞ 12.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .解析 考查利用导数判断函数的单调性。
2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，
由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。
亦可填写闭区间或半开半闭区间。
13.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 .解析231022y x x '=-=⇒=±，又点P 在第二象限内，2x ∴=-点P 的坐标为（-2，15） 答案 : 1>a
14.（2009福建卷理）若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________. 答案 (,0)-∞
解析 由题意可知'21
()2f x ax x =+，又因为存在垂直于y 轴的切线，
所以2311
20(0)(,0)2ax a x a x x
+
=⇒=->⇒∈-∞。
15.设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令
lg n n a x =，则1299a a a ++
+的值为 .
答案 -2
1*1112991299()'(1)'|11(1)(1)1
1298991
...lg ...lg ...lg 2
2399100100
n n n x n y x n N y x y n x y n y n x n
x n a a a x x x ++==∈∴==+⇒=+⇒-=+-=
++++====-解析：点（1，1）在函数的图像上，（1，1）为切点，的导函数为切线是：令y=0得切点的横坐标：。