C pU =
TU − μ ˆ 3σ
仅给出规格下限时的单侧过程能力指数 CpL 的计算公式为：
2
C pL =
μ − TL ˆ 3σ
联合使用 Cp 和 Cpk 可以对过程当前加工质量进行评价， Cpk 与不合格品率的转换公式为：
p = Φ[ −3(1 + K )C p ] + Φ[ −3(1 − K )C p ]
短期过程能力指数评估的主要是技术水平。 如果短期能力不足， 则表明技术水平有待提 高。长期过程能力指数与短期过程能力指数的比值可以评估控制和管理水平，如果比值小， 说明长期过程能力指数和短期过程能力指数相差较大，表明控制和管理水平有待改善。 Minitab 软件可以对提供的数据进行长短期过程能力分析（软件称为“子组内分析”和 “整体分析” ） 。 长期过程能力分析适用于长期观察的数据， 数据中应包含 5M1E 的长期情况， 如机器性能的漂移或老化、不同操作者之间的技术差异、设备的调整、仪表的校准、材料批 次的更换、 环境因素的变化等等。 短期过程能力分析则要求同一子组的样品必须来自同样的 生产条件， 即 5M1E 尽量保持不变， 同一材料批次、 同一操作者、 同一台机器、 同一把刀具、 同样的环境等等，并且过程要处于统计控制状态。 1.3 西格玛水平 在六西格玛管理中， 除了过程能力指数以外， 衡量服从正态分布的质量特性质量水平高 低的另外一个常用的绩效指标是西格玛水平，记作 Z.Bench。西格玛水平与过程能力指数是 一一对应的，也可以相应地定义潜在的西格玛水平、实际的西格玛水平、短期西格玛水平和 长期西格玛水平，我们常说的六西格玛水平指的是一个过程/特性的短期西格玛水平。 潜在的西格玛水平是指当过程分布中心与规格中心重合时， 半侧的规格限包含标准差的 个数，即 Z .Bench =
1
（PCI） ，记作 Cp，其计算公式如下：
Cp =
T − TL T = U ˆ ˆ 6σ 6σ
这里，T 为公差，TU 为公差上限，TL 为公差下限。过程能力指数 Cp 反映了过程波动占 用规格限的程度，直观地表示出过程性能的好坏。当过程处于统计控制状态时，若分布中心 与规格中心重合，则过程能力指数 Cp 与过程输出的不合格品率存在着如下的对应关系
ˆ 是由同一子组内数据的波动计 从过程能力指数 Cpk 的标准差 σ 的估计公式可以看出，σ 算而得，主要反映随机因素的影响，不考虑不同子组间均值的变化情况，是过程短期波动的 估计， 因此也将 Cpk 称为短期过程能力指数， 反映了过程在仅受普通因素影响时的波动情况。 但在实际生产中，往往会伴随着人员换岗、机器检修等过程调整，过程输出的总波动往往既 包含了过程固有的波动， 也包含了过程受到特殊因素影响而产生的波动， 因此也需要从过程 总波动的角度考察过程输出满足顾客要求的能力，称为长期过程能力指数或过程性能指数， 一般用 Pp、Ppk 表示。 计算 Pp、Ppk 的公式与计算 Cp、Cpk 的公式相同，两者的差别在于标准差 σ 的估计。Pp、 Ppk 中标准差 σ 的估计是由所有数据的波动计算而得，即用所有样本数据的标准差 s 作为 σ 的估计，s 包括了过程所受到的特殊因素的影响，是过程长期波动的估计。表 1 对长短期过 程能力指数进行了对比。 表 1 长短期过程能力指数的比较
长期过程能力指数 -过程随机波动和分布中心偏移的情况都
短期过程能力指数 -仅关注普通因素造成的波动，代表了过
3
加以考察，代表了过程实际波动水平 -并不要求过程稳定 -所收集的数据应包括特殊因素的影响 -用统计量 Pp、Ppk、PpL、PpU 来表征 -标准差的估计为组内标准差
程的最好水平 -一般要求过程稳定 -同一子组数据的生产条件应尽量相同 -用统计量 Cp、Cpk、CpL、CpU 来表征 -标准差的估计为整体标准差
ˆ 和σ ˆ 来进行过程能力指数的 在实际生产过程中， 这两者一般是未知的， 常用它们的估计量 μ
计算。分布中心 μ 的估计一般采用各个子组样本均值的均值，对于标准差 σ，软件提供了三 种估计方式。前面已经提到，只有处于统计控制状态时，才可以利用样本数据进行过程能力 分析。 因此在进行过程能力分析之前， 需要先绘制分析用控制图判定过程是否处于统计控制 状态，根据采用的控制图的类型来确定标准差 σ 的估计方式。 当使用均值-标准差控制图判定过程的状态时，用子组标准差的均值 s 对 σ 进行估计，
过程能力分析
[概要]利用 Minitab 软件作为数据分析工具介绍了对计量型、计件型、计点型特性进行 过程能力分析的方法原理和应用步骤。 [字数]11000。 [正文] 过程能力分析是研究过程质量状态的一种活动，评价处于统计控制状态的过程 对给定的产品或服务规范的满足程度， 以估计过程是否能够生产出满足规范要求的产品和不 合格品的数量。 过程能力分析是质量管理的一项重要技术基础工作， 它有助于掌握各过程的 质量保证能力， 使组织能够估计不合格所产生的费用， 为制定过程改进决策提供必要的资料 和依据。 过程能力分析的应用领域非常广泛，汽车、航空航天、电子学、食品、医药以及医疗设 备的制造商通常将过程能力作为评价供应商和产品的主要准则， 从而降低采购产品和材料的 直接检验成本。 一些制造业和服务业的公司通过持续监控过程能力指数来识别过程改进的需 求，或验证改进的有效性。在六西格玛管理中，项目小组通过过程能力分析来确定改进前后 的绩效水平等。……
(TU − TL ) / 2
σ
。六西格玛水平指半侧的规格限能够包含 6 个标准差。
实际的西格玛水平在计算时考虑了分布中心的偏移情况，相对于规格下限 TL（LSL） ， 过程的实际西格玛水平等于规格下限到分布中心包含的标准差的个数，即
Z .LSL =
μ − TL σ
统计上可以证明，Z.LSL 正好是相对于规格下限 LSL 的合格品率 P（质量特性值>TL）的标 准正态分位数，即 Z .LSL = Φ −1 (1 − PL ) ，其中，PL=1－P（质量特性值≤TL） 。因此 Z.LSL 与 合格品率一一对应，适合作为一个衡量质量特性质量好坏的指标。同理，相对于规格上限 TU（USL） ，过程的实际西格玛水平等于：
p = 2[1 − Φ (3C p )]
其中 Φ(x)为正态分布的概率分布函数，可查正态概率分布表得到其值。一般地说，如 果规格限比过程能力宽，则过程输出能够满足要求，反之，过程则会加工出不合格品。Cp=1 时， 由正态分布知， 此时的不合格品率 p=0.27%。 那么是不是 Cp=1 就可以满足质量要求呢？ 由于过程的分布中心与规格中心一般不重合， 因此通常要求过程能力指数大于 1.33， 方可保 证过程质量。 实际上， Cp 值仅仅是规格限与分布范围的量值比， 并不能将过程的偏移情况表现出来。 如图 1 所示样，由于 分布中心发生了偏移，图 b 对应的过程产出的不合格品要比图 a 增多。因此 Cp 刻画的是当 过程特性的分布中心与规格中心基本重合时的情形， 是最理想的情况， 有时也称为潜在的过 程能力指数。当过程特性的分布中心与规格中心不重合时，需要对 Cp 加以修正，此时的过 程能力指数一般用 Cpk 表示，也称为实际的过程能力指数，其计算公式为：
美国国防部首选的抽样检验标准 MIL-STD-1916 要求当前关键特性的过程能力评估值 Cpk≥ 2.00，主要特性的 Cpk≥1.33，次要特性的 Cpk≥1.00。国际航空航天质量组织颁布的 9100 系 列标准的支持标准 HB 9103《关键特性的波动管理》中要求过程应具备 Cpk≥1.33 的能力。 从上述公式可以看出，计算过程能力指数时，需要知道分布中心 μ 和标准差 σ 的值，但
Z .USL =
TU - μ
σ
= Φ −1 (1 − PU )
同样，L 与相对于规格上限的合格率（1－PU）对应。而整个过程的西格玛水平 Z.Bench 与过程的合格品率相对应，即 Z .Bench = Φ −1 (1 − PU − PL ) 。 同过程能力指数一样， 根据公式中标准差 σ 的估计方式， 可以将西格玛水平分为长期西 格玛水平与短期西格玛水平。短期西格玛水平一般用 ZST 表示，与短期过程能力指数 Cp、 Cpk、CpL、CpU 对应，使用子组内波动大小的标准差 σ 的估计进行计算，衡量的是过程现有 技术水平下过程系统波动的大小，如果小于 4.5，则认为技术水平有待提高。长期西格玛水 平一般用 ZLT 表示，与长期过程能力指数 Pp、Ppk、PpL、PpU 对应，使用所有数据波动大小 的标准差 σ 的估计进行计算，衡量的是过程实际波动的大小。长期西格玛水平 ZLT 与短期西 格玛水平 ZST 的差 Zshift 可以评估过程控制/管理水平。 如果 Zshift 大于 1.5， 则表明控制水平有 待改善。如果 Zshift 值很小，可以说明过程控制得很好，但更多的情况可能是抽样方式不合
Cp =
T − 2ε = (1 − K )C p ˆ 6σ
其中，ε=| M－μ|称为偏移量，K=2ε/T 称为偏移度。另一常用的计算公式为：
C pk =
ˆ, μ ˆ − TL } min{TU − μ ˆ 3σ
可以证明，这两个公式是等价的。
图 1 相同 Cp 对应着不同的加工质量 以上讨论的都是双侧规格限的情形， 在实际生产中有的质量特性属于望大特性， 即越大 越好，对于这样的质量特性，往往只有下限，例如强度，寿命等。还有一些质量特性属于望 小特性，越小越好，对于这样的质量特性，往往只有上限，例如周期时间，阶差等等。对于 只规定了单侧规格限的质量特性， 可以计算单侧过程能力指数来评价质量特性满足要求的能 力。仅给出规格上限时的单侧过程能力指数 CpU 的计算公式为：
ˆ= σ
∑∑ ( x
i
ij
− x j )2 − 1)
∑ (n
j
j
j
c 4 [∑ (n j − 1) + 1]
j
其中 c4 和 d2 为控制图系数，只与括号内的自由度有关，是对 s 和 R 等估计量的修正， 使修正以后的估计量成为标准差 σ 的无偏估计，可查控制图系数表得到。 1.2 长短期过程能力分析