＝3[x-1/3*(x1+x２＋x3）］2+3[ｙ－1/3＊(y１+y２+ｙ３)]2+ｘ12+x２2+ｘ３2+y１2+y2２＋y32-１／3(x1+ｘ2+x３)2-1/3(y1＋y2+y3)2
显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2＋ｙ3)／3（重心坐标)时
上式取得最小值x１2＋x22＋x３2+ｙ12+ｙ2２+ｙ32-１/3(ｘ１＋x2+x3)2-１/３（y1＋y2+y3)２
三角形五心性质概念整理(超全)
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重心
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形３个顶点距离平方的和最小。
4、点Ｏ是平面ABC上任意一点,点I是△ABC内心的充要条件是：
向量ＯＩ＝[a(向量OA)＋ｂ(向量OＢ）+c(向量OＣ）]／（ａ+ｂ+c).
5、在△AＢC中，若三个顶点分别是A(ｘ１，y1),Ｂ(x2，ｙ2）,C（x3,y3),
那么△ABＣ内心Ｉ的坐标是:
（ax1/（ａ＋b＋c)+bx２/(ａ+b＋c)+ｃｘ3/(a+b+c),ay1／(a+b+c)+by２/（a＋b＋ｃ)+cｙ３/(a+ｂ+c))．
∵A、Ｃ、Ｂ、Ｐ四点共圆
∴∠P＝∠B
∵∠P+∠GAC=90°
∴∠GAＣ+∠B＝９0°
性质4:点G是平面ABC上一点，点P是平面ABＣ上任意一点,那么点G是⊿ＡBC外心的充要条件是：
(1)向量PG=(tanB+ｔａnC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+（tanA＋tａｎB)向量PC)/2(taｎＡ+tanＢ＋taｎＣ）.
证明方法:
设三角形三个顶点为(x1，y1),(x2，y２)，(x3，y3) 平面上任意一点为（x，y） 则该点到三顶点距离平方和为:
(x１-x)２+(y1-ｙ)2＋(ｘ2-x)2+（y２-ｙ)2+(ｘ3－x)2+(ｙ3-y)2
＝３x2-2x（x1＋x2+x３）＋3ｙ2-2y(y1＋y2+y３)+x12+x22＋x３2+ｙ１2＋ｙ2２＋ｙ３２
或（2)向量PG=(cosＡ／2sinＢｓiｎC)向量ＰＡ+(cosB/2sinCsiｎA)向量PB+(cosC／２sinAsinB)向量PＣ.
性质５：三角形三条边的垂直平分线交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。
性质6：点G是平面ABC上一点,那么点G是⊿ABＣ外心的充要条件 (向量GA+向量GB）·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量ＧA)·向量CA=0．
6、(欧拉定理)△AＢC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径,O和Ｉ分别为其外心和内心，则OI2＝R2－２Rr.
７、△ABC中：a,b,c分别为三边，S为三角形面积,则内切圆半径r=２S/（a+b＋c)
8、 双曲线上任一支上一点与两交点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
９、△ＡBC中，内切圆分别与AB,BＣ,CA相切于Ｐ，Q,Ｒ,
则AP=AR=(b+a）/２, ＢP =BQ =(a+c-b）/2,
ＣR =CＱ =(b+ａ-c)/2,
ｒ＝[(ｂ+ｃ-a）tａn（A/2)］／2。
10、三角形内角平分线定理：
△ABＣ中,Ｉ为内心，∠ＢAＣ 、∠ABC、 ∠AＣB的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、R、Ｐ，则ＢQ/QＣ=c/b，ＢP/ＰA=ａ／b, ＣＲ/RA=a/c。
7、设△AＢC重心为Ｇ点，所在平面有一点O,则向量OG=1／3(向量OA＋向量OB+向量ＯC）
内心
设△ＡBＣ的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为ａ、b、ｃ,p=(a+b+c)／2．
1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径ｒ.
2、∠BIC=90°+∠BAC／2.
3、在RtΔABC中，∠Ａ=90°,三角形内切圆切BC于Ｄ,则S△ABC=ＢD×CD
内切圆的半径
（１）在RtΔABC中，∠C＝90°,ｒ=（a+b-c)/2.
（2)在RtΔABC中,∠C=９0°，r=aｂ/(ａ＋b+c）
（3）任意△ＡBC中r＝(2＊Ｓ△ＡBC）/C△ＡＢC （C为周长）
外心
设⊿AＢC的外接圆为☉G(R）,角A、B、C的对边分别为ａ、ｂ、c,p=（a+b+c)／２.
三角形外接圆半径：
R＝ａbｃ/（４S△ABC）
垂心
1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.
２、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心;
３、 垂心H关于三边的对称点,均在△AＢＣ的外接圆上。
4、 △ABＣ中，有六组四点共圆，有三组（每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=ＢH·HE＝CＨ·HF。
最终得出结论。
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，
即其坐标为［(X1+X2＋X3)/３,(Y1＋Ｙ２＋Ｙ3)/3];
空间直角坐标系——横坐标：(X1+Ｘ2+Ｘ３)/3，纵坐标:(Ｙ1+Ｙ２＋Y3)/３,纵坐标:(Z1+Z２+Z３)/3
5、三角形内到三边距离之积最大的点。
6、在△ABＣ中,若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量) ，则M点为△ＡBC的重心，反之也成立。
５、 Ｈ、Ａ、B、Ｃ四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
６、 △ABC,△ABH,△ＢCH,△ＡＣH的外接圆是等圆。
7、 在非直角三角形中,过Ｈ的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB／ＡＰ·taｎB＋AＣ/AＱ·ｔaｎＣ=tａnA＋tanB＋taｎC。
8、 三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍。
性质1：(1）锐角三角形的外心在三角形内;
(2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；
(3)钝角三角形的外心在三角形外．
（4）等边三角形外心与内心为同一点。
性质2:∠BGC=2∠A,（或∠BGC＝2(18０°-∠A））.
性质3：∠ＧAC＋∠B=9０°
证明：如图所示延长AG与圆交与P（B、C下面的那个点）