四川省广元市苍溪县实验中学校2019-2020学年高一数学下学期第二
次月考试题 理
总分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题（每题5分，共60分） 1.若1
sin 3
α=
，则cos2α=（ ） A.
89 B.
79
C.79
-
D.89
-
2.sin20cos10cos160sin10︒︒︒-︒=（ ）
A ．．12- D ．12 3.已知11
, 3233tan tan ππαβ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=-⎝⎝⎭
=⎭-,则()tan αβ-等于( )
A.
17 B. 17- C. 56 D. 56
-
4.函数22 44y cos x sin x ππ=+
-⎛
⎫
⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭+的最小正周期为( ) A. 2π B. π C.
2π D. 4
π
5.ABC ∆的面积为222
4
a b c s +-=，则C ∠=（ ）
A.
π2
B.
π
3
C.
π
4
D.
π6
6.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若1
cos ,2
A a =
=则sin sin sin a b c
A B C
++=++ ( )
A.
1
2
D. 2
7.已知ABC △中,4,30a b A ==∠=︒ ,则B ∠等于( )
A.30︒
B.30︒或150︒
C.60︒
D.60︒或120︒ 8.在ABC ∆中,若sin :sin :sin 3:4:6A B C =,则 cos C = ( )
A.
1124 B. 1324 C. 1124- D. 13
24
-
9.已知向量()()(),24,3,,21,1a a b c x +===，若//b c ，则x 的值为（ ）
A ．－4
B ．4
C ．2
D ．－2
10.已知向量(1,3)b =,向量a 在b 方向上的投影为-6,若()a b b λ+⊥,则实数λ的值为( )
A.13
B.13
-
C.
23
D.3
11.已知在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，设a =，b =，则= ( )
A.1322
-+a b
B.13
22
-a b
C.31
22
-a b D.31
22
--a b
12.已知,ABC O ∆为平面内一点,动点P 满足
OA OP +=λ,()0,λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的
( )
A.重心
B.垂心
C.外心
D.内心 二、填空题（每题5分，共20分）
13、计算 )20tan 10(tan 320tan 10tan 0
000++ = 。

14.设ABC ∆中的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且23,3
a b c C π+===
,则ABC ∆的面积为__________
15.已知()()2,1,3,a b m ==，若()
a a
b ⊥-，则m 等于____________.
16.在ABC ∆中, D 是BC 的中点, H 是AD 的中点,过点H 作一直线MN 分别与边
,AB AC 交于,M N ,若,AM x AB AN y AC =⋅=⋅,则4x y +的最小值是__________
三、解答题（本题6小题，共70分） 17、(10分)已知βα, 都是锐角,54sin =α，13
5)cos(=+βα ,求 βsin 的值
18、(12分)已知向量b a , 的夹角为600
, 且2=a ，1=a
(1) 求： b a • (2) 求：b a +
19、(12分)在ABC ∆ 中, c b a ,,分别是 A 、B 、C 的对边,54sin =
A ,),2
(ππ
∈A ,41=a ，4=∆ABC S , 求：
(Ⅰ))4
(π
-A COS 的值; (Ⅱ)c b + 的值.
20、(12分)在ABC ∆中，角A 为锐角,记角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,设向量
)sin ,(cos A A m =,)sin ,(cos A A n -= 且 m 与 n 的夹角为
3
π （1）求
的值及角A 的大小；
（2）若3,7==c a ，求 ABC ∆的面积 S ．
21.(12分)在ABC △中,角,,A B C 所对的边长是,,a b c ,向量(,)m b c =,且满足2
2m a bc =+. (1)求角A 的大小;
(2)若3a =,求ABC △的周长的最大值.
22.(12分)如图,在平面四边形ABCD 中,2BC =,23CD =,且
AB BD DA ==.
（1）若π
6
CDB ∠=
,求tan ABC ∠的值； （2）求四边形ABCD 面积的最大值.
参考答案
1.B
2.D
3.B
4.B
5.C
6.D
7.D
8.C
9.B 10.A 11.A 12.A
13、 1 14.33
4
15.1
16.
9
4
17、
解析：,
∴ ∴ ,.........................(2分)
, ......................... (4分)
∴ .........................(6分)
..................... (10分)
18、
解析： (1) ......................... 6分(2)
所以....................... 12分 19、
解析： (1)由,则, ........................2分
所以
...... 6分
(2)由三角形面积公式,所以
...................8分
由余弦定理
带入, ,解得
. ........................12分
20、
解析：（1） (2)
分
.............................3分
， (5)
分
.............................6分
（2）(法一) , 及,
, 即(舍去)或
.............................10分
故 (12)
分
(法二) , 及,
. ,
,
.................... .........10分
故 .............................12分21.答案：(1)由复数模的定义结合题中条件可得：
222b c a bc +=+. .........................3分
所以2221
cos 22
b c a A bc +-==. 又(0,π)A ∈，故
π
3
A =. ........................ 6分
(2)由a =π
3
A =及正弦定理得：2sin sin sin b c a
B
C A
===. .........................8分 所以2π
2sin ,2sin 2sin(
)3
b B
c C B ===-. 所以
2ππ
()=2sin 2sin())36
f B a b c B B B ++=+-=+. ........................10分 由2π03B <<
得ππ5π666B <+<.所以当ππ62B +=,即π
3
B =时
max ()f B =....................12分
22.解：（1）在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin CD BC
CBD BDC
=
∠∠， ∴
π
sin
6sin 2
CBD ∠=
= .........................2分 ∵0πCBD <∠<，∴π3CBD ∠=
或2π3
CBD ∠= 当2π
3
CBD ∠=
时，此时A B C 、、三点共线，矛盾 ∴π
3
CBD ∠=
.........................4分 ∴
()ππ2π
tan tan tan tan 333ABC ABD CBD ⎛⎫
∠=∠+∠=+== ⎪⎝⎭
....6分
（2）设BCD θ∠=，在BCD ∆中，由余弦定理得
2222cos BD BC CD BC CD θ=+-⋅(2
2
22216θθ=+-⨯⨯=- .........
.....8分 ∴
2111sin sin sin 222ABC BCD BAD D S S BC CD BA BD BC CD S θθθ∆∆=+=
⋅+⋅=⋅四边形 .........10分
π
6cos 3θθθ⎛
⎫=+=-+ ⎪⎝
⎭.
当
5π
6
θ=
时，四边形ABCD 面积的最大值
分。