§17.2 放射性废物的处理问题
[学习目标]
1. 能建立放射性废物的处理问题的数学模型；
2. 会求解放射性废物的处理问题的数学模型；
3. 能用放射性废物的处理问题的数学模型解决一些实际问题。
环境污染是人类面临的一大公害，放射性污染对人类生命安全和地球上生物的生存有严重的威胁，所以特别为人们所关注。
和平利用原子能，为人类造福不浅，但是核废物处置不好，又将对人类是一大危害。
核废物如何处置为好，必须进行科学论证。
曾经有一段时间，美国原子能委员会为了处理浓缩的放射性废物，他们把废物装入密封的圆桶，然后扔到水深为91.5m 的海里。
一些生态学家和科学家为此表示示担心，圆桶是否会在运输过程中破裂而造成放射性污染？美国原子能委员会向他们保证:：“圆桶绝不会破裂”。
并作了许多种试验证明他们的说法是正确的。
然而又有几位工程师提出了如下的问题：圆桶扔到海洋中时是否会因与海底碰撞而发生破裂？美国原子委员会仍保证说：“决不会”。
这几个工程师进行了大量的实验以后发现：当圆桶的速度超过12.2m/s ，就会因碰撞而破裂。
下面我们计算圆桶同海底碰撞时的速度，是否会超过12.2m/s ？
如图17.6选取坐标系，记W 表示圆桶重量，使圆桶向下，W ＝239.46kg ，W=mg ，m 表示质量，g 表示重力加速度，g=9.8m/s 2。
B 表示水作用在圆桶上的浮力，推园桶向上。
原子能委员会使用的是
250.25L 的圆桶，体积为0.208m 3，1m 3海水重量为1026.52kg ，所以B=1026.52×0.208=213.5kg 。
D 表示水作用在圆桶上的阻力，它阻碍圆桶在水中的运动，与物体运动方向相反，通常与速度v 成正比．D = cv ，c>0为常数．通过大量实验得出如下结论：圆桶方位对于阻力影响甚小，可以忽略不计．且
D=0.119kg ·s/m ．则作用 在圆桶上的力为 F = W-B-cv 由牛顿第二定律：物体的加速度同作用在它上面的合 力F 成正比，即F = m a ．而22dt y d a =。
所以得： d y dt m W B cv g W W B cv 221=--=--()() (1) 这是二阶常微分方程，作代换
dt dv dt y d dt dy v ==2
2 图 17.6
则(1)式变为
dv dt cg W v g W W B v +=-=⎧⎨⎪⎩
⎪()()00 (2) 这是初值为零的一阶线性非齐次微分方程，其解为
[]v t W B c
e c g t w ()=---1 (3) 由(3)式知，圆桶的速度为时间t 的函数，要确定圆桶同海底的碰撞速度，就必须算出圆桶碰到海底所需的时间t 。
遗憾的是，不可能作为y 的显函数求出t ，所以不能用方程(3)来求圆桶同海底的碰撞速度。
但从方程(3)可以得到圆桶的极限速度V T ，当t →∞时，()c
B W V T -= 。
显然有v t V W B c T ()()/≤=-，如果极限速度小于12.2m/s ，那么圆桶就不可能因同海底碰撞而破裂。
然而
W B c m s -=-=239462135011921815...
./ 这个数值太大了，还不能断定v(t)究竟是否能超过12.2m/s 。
下面转而把速度v 作为位置y 的函数v(y)来考虑：
我们有v t v y t ()[()]=，由复合函数微分法，
dv dt dv dy =·dy dt v dv dy
= 代入(1)式中，得
W g v dv dy
W B cv =-- 显然初始条件为v(0)=0。
为了得到速度v 与位置y 之间的一个关系式，采用如下方法
r d r W B cr g W ds g W
y y v --==⎰⎰00 而左端
r d r W B cr c cr W B W B cr dr W B c dr W B cr
v v v --=--+---+---⎰⎰⎰1000 =-+---⎰⎰100c dr W B c dr W B cr
v v =------v c W B c
W B cv W B 2ln 前面已讨论(W －B)/c 是极限速度，v < (W －B)/c ，因而W －B －cv > 0，于是
gy W
v
c
W B
c
W B cv
W B
=--
---
-
2
ln(4)
算到这里，又使我们失望，因为不能从(4)式中解出v是y的显函数来，因此要利用v(y)来计算v (91.5) > 12.2 m/s是不可能的了。
但利用微分方程数值解法，借助于计算机很容易解得v (91.5) = 13.75 m/s．
另外，我们还可以用其它的方法得到v (91.5) 的一个很好的近似值。
圆桶的速度v(y) 满足初值问题
W g v
dv
dy
W B cv v
=--
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪()00
(5)
在(17.17)中令c=0 (即不考虑水的阻力)，并用u代替v，以示区别，得
W g u
du
dy
W B u
=-
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪()00
(6) 直接积分(6)，得
Wu g W B y
2
2=-
()或u
g
W
W B y
=-
2
()
由此可得
u(.)...
.
915
2982596915
23946
=
⨯⨯⨯
≈≈
194421394
../
m s
u (91.5) 就是v (91.5) 的一个很好的近似值，其理由是：
(1)当不存在与运动方向相反的阻力时，圆桶的速度总会大一些，因此
v(91.5)<u(91.5) ．
(2)当y增加时，速度v增加，所以对于y≤91.5，有v (y) ≤v (91.5)．由此可以得出水作用在圆桶上的阻力D总是小于0.119×u (91.5) ≈1.66kg。
然而使圆桶向下的合力( W－B )近似为25.9kg，比D大得多，因而忽略D 无关大局。
所以可以认为u(y)是v(y)的一个很好的近似值。
实际上正是如此，用数值解法算出的v(91.5)=13.75m/s与u (91.5) =13.94m/s是比较接近的。
因而得出：圆桶能够因与海底碰撞而破裂，工程师们的说法是正确的。
这一模型科学地论证了美国原子能委员会过去处理核废料的方法是错误的，从而改变了美国政府过去的错误作法。
现在美国原子能委员会条例明确禁止把低浓度的放射性废物抛到海里，改为在一些废弃的煤矿中修建放置核废料的深井。
这一模型为全世界其他国家处理核废料提供了经验教训。
我国政府决定在甘肃、广西等地修建三个深井放置核废料，防止放射性污染。
习题17.2
1．兔从原点出发以速度a沿y轴往上跑，同时有狗从（c,0）点出发以速度b 追兔．求狗追兔的路线．又设a<b，试求y与x的函数关系，兔被狗捕捉前能跑多远？再设a=b,试求y(x)，狗能接近兔到什么程度．
2．驱逐舰在浓雾中搜索潜水艇，雾一度散开，其时发现潜艇在3英里外的海面上，但潜艇立即下潜．驱逐舰速度二倍于潜艇，且已知潜艇下潜后立即以全速朝某一未知方向直线行进．问驱逐舰应采取什么路线才能保证它会直接开过潜艇的上方？（提示：取极坐标，以发现潜水艇处作为原点）．3．把重200kg体积为4π/3的球体和重150kg 体积为π的圆柱体同时放
到河里，初速度为零，水作用在下沉的球体和圆柱体上的阻力分别为λV
s 和λV
c
,
其中V
s 和V
c
是球体和圆柱体的速度，λ是正的常数，试确定哪一个物体先到达
水底．
4．伞兵由静止状态向地面降落，人和降落伞共重161磅，在降落伞张开以前，空气阻力等于V/2，在开始降落s秒后降落伞张开，这时空气阻力是V2/2，试求降落伞张开后伞兵的速度Ｖ(t)．
5．在放射性废物的处理模型中，为了证明V(91.5)超过12.2m/s，实际上并不需要用显式求出V(y)，能用其他方法证明在海底91.5m处圆桶能因碰撞而破裂吗？请读者想一个简单而有效的方法．。