1．空间两条互相平行的直线指的是( ) A．在空间没有公共点的两条直线 B．分别在两个平面内的两条直线 C．分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D．在同一平面内且没有公共点的两条直线
答案：D
2.
(
设 AA1 是正方体的一条棱， 这个正方体中与 AA1 平行的棱共有 ) A．1 条 B．2 条 C ．3 条 D．4 条
如图：空间四边形ABCD中， AC、BD是它的对角线
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，如下图
中的两种空间四边形ABCD和ABOC.
空间两条直线的位置关系有三种：
位置关系 相交直线 共面情况 在同一平面内 公共点个数 有且只有一个
平行直线
异面直线
在同一平面内
不在任何一平面内
没 有
没 有
类型一 基本性质 4 的应用 【例 1】
变式训练 1 已知棱长为 a 的正方体 ABCD－A′B′C′D′ 中，M、N 分别为 CD、AD 的中点． 求证：四边形 MNA′C′是梯形．
证明：如图，连结 AC，
1 ∵M、N 分别为 CD、AD 的中点，∴MN=2AC. 1 由正方体的性质可知 AC=A′C′，∴MN=2A′C′.∴四边形 MNA′C′是梯形.
证明：如图所示，在正方体 AC1 中，取 A1B1 的中点 M，连结 BM、MF1，
1 则 BF＝A1M＝2AB. 又 BF∥A1M，
∴四边形 A1FBM 为平行四边形． ∴A1F∥BM. 而 F1，M 分别为 C1D1，A1B1 的中点，则 F1M 綊 C1B1. 而 C1B1 綊 BC，∴F1M∥BC，且 F1M＝BC.
答案：C
3．空间中有两个角 α，β，它们的两边互相平行，且 α＝60° ， 则 β 为( ) A．60° B．120° C．30° D．60° 或 120°
பைடு நூலகம்
答案：D
4．如图所示，在一个长方体木块的 A1C1 面上有一点 P，过 P 点作一条直线和棱 CD 平行，应________．
答案：过点 P 作 C1D1 的平行线
5．如图所示，点 S 在平面 ABC 外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E、 F 分别是 SC 和 AB 的中点，则 EF 的长是________．
解析：取 SA 中点 M，则 EM∥AC，MF∥SB，且 EM＝1，MF ＝1，
又∵SB⊥AC，∴EM⊥MF， ∴EF＝ EM2＋MF2＝ 2. 答案： 2
(2)由(1)知 EH=FG，∴四边形 EFGH 为平行四边形． ∵EH 为△ABD 的中位线，∴EH∥BD， 又 HG 是△ADC 的中位线，∴HG∥AC. 又 AC⊥BD，∴EH⊥HG， 又 EFGH 为平行四边形，∴EFGH 为矩形.
点评 空间中证明两直线平行的方法有： 1.借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质，平行四边形 的性质，用成比例线段证平行等． 2.利用基本性质 4 证明，即证明两直线都与第三条直线平行.
∴四边形 F1MBC 为平行四边形， ∴BM∥F1C.又 BM∥A1F，∴A1F∥CF1. 同理取 A1D1 的中点 N，连结 DN，E1N，则 A1N 綊 DE， ∴四边形 A1NDE 为平行四边形．∴A1E∥DN. 又 E1N∥CD，且 E1N＝CD， ∴四边形 E1NDC 为平行四边形， ∴DN∥CE1.∴A1E∥CE1. ∴∠EA1F 与∠E1CF1 的两边分别对应平行． 即 A1E∥CE1，A1F∥CF1， ∴∠EA1F＝∠E1CF1.
4. 等角定理：
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且
方向相同，那么这两个角相等. 已知：如图所示，∠BAC和∠B1A1C1 的边AB//A1B1，AC//A1C1，且射线AB 与A1B1同向，射线AC与A1C1同向，
求证：∠BAC=∠B1A1C1.
证明：对于∠BAC和∠B1A1C1在同一个平面内的情形，在初中 几何中已经证明， 下面证明两个角不在同一平面内的情形。
分别在∠BAC的两边和∠B1A1C1的两 边上截取线段AD=A1D1和AE=A1E1. 因为AD/ / A1D1 ，所以AA1D1D 是平行 四边形， 所以 AA1 / /DD1 同理可得 AA1 / /EE1 所以DD1E1E是平行四边形。 在△ADE和△A1D1E1中. AD=A1D1，AE=A1E1，DE=D1E1， 于是△ADE≌△A1D1E1， 所以∠BAC=∠B1A1C1.
类型二
等角定理的应用
【例 2】 如图在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F，E1，F1 分别为棱 AD，AB，B1C1，C1D1 的中点．求证：∠EA1F＝∠E1CF1.
思维启迪：解答本题可先证明角的两边分别平行，即 A1E∥ CE1，A1F∥CF1.然后根据等角定理，得出结论．即： 取A1B1中点M → 证A1FBM为平行四边形 → A1F∥BM → 证F1MBC为平行四边形 → BM∥F1C → A1F∥F1C 取A1D1中点N → 证A1NDE为平行四边形 → A1E∥DN → 证CDNE1为平行四边形 → DN∥CE1 → A1E∥CE1
如图所示，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点． (1)求证：E，F，G，H 四点共面； (2)若 AC⊥BD，求证：四边形 EFGH 是矩形．
证明：
(1)如图所示，连结 EF，FG，GH，HE，在△ABD 中， ∵E，H 分别是 AB，AD 的中点， 1 ∴EH∥BD，EH＝2BD， 1 同理 FG∥BD，FG＝2BD， ∴EH 綊 FG，∴E，F，G，H 四点共面．
1.2.2空间中的平行关系
一. 平行直线
1. 平行直线的定义：同一平面内不相交的两条直线叫 做平行线.
2. 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和这条 直线平行. 3. 基本性质4：平行于同一直线的两条直线互相平行
符号记作： a // b, b // c a // c 此性质又叫做空间平行线的传递性
点评 证明角的相等问题， 等角定理及其推论是较常用的方法． 另外， 通过证明三角形的相似或全等也可以完成角的相等的证明.
变式训练 2
如图所示，不共面的三条直线 a，b，c 交于点 O，在点 O 的同 OA OB OC OA 侧分别取点 A 和 A1， B 和 B1， C 和 C1， 使得OA ＝OB ， ＝OA . 1 1 OC1 1 求证：△ABC∽△A1B1C1.
OA OB OA OC 解析：∵OA ＝OB ，OA ＝OC ， 1 1 1 1 OA1 OB1 OC1 ∴ OA ＝ OB ＝ OC . 在平面 OAB 和平面 OAC 中，有 A1B1∥AB，A1C1∥AC. 又 A1B1 和 AB，A1C1 和 AC 的方向相同． ∴∠BAC＝∠B1A1C1. 同理∠ABC＝∠A1B1C1， ∴△ABC∽△A1B1C1.
思考：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相 反，两个角什么关系？
思考：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且一组 对边方向相同，另一组对边方向相反，两个角什么关系？
5. 空间四边形的有关概念：
（1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D所构成的图形， 叫做空间四边形； （2）四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； （3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边； （4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线。 （5）空间四边形的表示：空间四边形ABCD