∴e＝ac＝
5 3.
• 二、解答题
• 5．(2010·新课标全国文)设F1、F2分别是椭圆E：x2＋ • ＝1(0<b<1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B
两点，且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列． • (1)求|AB|；
• (2)若直线l的斜率为1，求b的值．
[解析] (1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4， 又 2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43. (2)l 的方程为 y＝x＋c，其中 c＝ 1－b2. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点坐标满足方程 组
• 重点难点 • 重点：椭圆的定义、标准方程及几何性质． • 难点：椭圆的几何性质及其应用，椭圆方程的求法． • 知识归纳 • 1．椭圆的定义 • 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数
2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
• 2．椭圆的标准方程与几何性质
• 误区警示
• 1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定 义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点 轨迹是线段或不存在的情况．
y＝x＋c， x2＋by22＝1. 消去 y 整理得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.
则 x1＋x2＝1－＋2bc2，x1x2＝11－＋2bb22.
因为直线 AB 的斜率为 1，所以|AB|＝ 2|x2－x1|， 即43＝ 2|x2－x1|.
则89＝(x1＋x2)2－4x1x2 ＝411＋－bb222－411－ ＋2bb2 2＝1＋8bb422.
解得
b＝
2 2.
1．若直线 mx＋ny＝4 和圆 x2＋y2＝4 没有交点，则
A.2 B.3 C. 2 D. 3
[答案] C
[解析] 椭圆中 c2＝a2－b2，
∴焦距 2c＝2 a2－b2，抛物线的焦点 Fb2，0， 由题意知|F1F|＝3|FF2|，∴|F1F2|＝4|FF2|，
∴c＝2|FF2|，即 c＝2c－b2，∴c＝b，
∴c2＝a2－c2，∴e＝
2 2.
(理)(2010·安徽皖北联考)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0) 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 作倾斜角为 30°的直线 与椭圆的一个交点为 P，且 PF2⊥x 轴，则此椭圆的离心 率 e 为( )
上一点，若P→F1·P→F2＝0，tan∠PF1F2＝12，则椭圆的离心
率为( )
1
2
A.2
B.3
1
5
C.3
D. 3
[答案] D
[解析] 由P→F1·P→F2＝0 知∠F1PF2 为直角， 设|PF1|＝x，由 tan∠PF1F2＝12知，|PF2|＝2x，
∴a＝32x，
由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2 得 c＝ 25x，
解析：由题易知 F(－1,0)，设 P(x，y)，其中－2≤x≤2， 则
O→P·F→P＝(x，y)·(x＋1，y)＝x(x＋1)＋y2 ＝x2＋x＋3－34x2＝14x2＋x＋3＝14(x＋2)2＋2 当 x＝2 时，(O→P·F→P)max＝6.
答案：C
(文)(09·浙江)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B 在椭圆上，且 BF⊥x 轴，直线 AB 交 y 轴于点 P，若A→P＝2P→B，则椭圆的离心率是( )
()
A．2 或12
B．2
C.14或 4
1 D.4
[答案] C
[解析] ∵x2＋my2＝1，即 x2＋y12＝1 是椭圆，∴m>0.
m
当椭圆的焦点在 x 轴上时，a2＝1，b2＝m1 ，c2＝a2－
b2＝1－m1 >0，此时 m>1， 由 e＝ac＝ ac22＝ 1－m1 ＝ 23⇒m＝4； 当焦点在 y 轴上时，a2＝m1 ，b2＝1，c2＝a2－b2＝m1 －
一、选择题
1．(文)若椭圆x22＋ym2＝1 的离心率为12，则 m＝(
)
3
A. 3
B.2
8 C.3
D.83或32
[答案] D [解析] 焦点在 x 轴上时，e＝ 2－2 m＝12，解得 m＝
32，焦点在 y 轴上时， mm－2＝12，∴m＝83，故选 D.
(理)椭圆 x2＋my2＝1 的离心率为 23，则 m 的值为
• 二、焦点三角形问题
• 椭圆的一条焦点弦和另一焦点围成一个三角形．习惯上， 称作焦点三角形，在焦点三角形中命制题目是常见命题方 式，解决焦点三角形问题经常从以下几个方面入手：
• ①定义 ②正、余弦定理 ③三角形面积．
• [例1] 已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－ 3)2＋y2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心P的轨迹方程 为__________．
所以点 P 的轨迹是以 A、B 为两焦点，长半轴长为 4， 短半轴长为 b＝ 42－32＝ 7的椭圆，方程为：
1x62 ＋y72＝1.
• 已知F1、F2为椭圆
＝1的两个焦点，过F1的直线交
椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝
________.
• 解析：(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋ |BF2|＝4a＝20，∴|AB|＝8.
• 在圆锥曲线的一些求取值范围及最值的问题中，常将所求 量表达为其它量的函数，运用函数的方法解决．求圆锥曲 线方程时，往往是已知曲线形状特征或由已知条件可分析 其几何特征，确定形状，设出其标准方程，然后设法列出 关于待定系数的方程或方程组求待定系数．要注意解题过 程中，设而不求、整体处理的策略和恰当运用一元二次方 程根与系数的关系求解．
3
3
2
2
A. 3 B. 2 C. 2 D. 3
[答案] A
[解析] 据已知可得|PF2|＝ba2，
在直角三角形 PF1F2 中可得|PF1|＝2|PF2|＝2ab2，
由椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝3ab2＝2a⇒ab22＝23，
则椭圆离心率 e＝
1－ab22＝
1－23＝
3 3.
3．(文)已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆x32＋y2＝1 上，
顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC
边上，则△ABC 的周长是( )
A．2 3
B．6
C．4 3
D．12
[答案] C
[解析] 设 F 为椭圆另一焦点，据椭圆定义，三角形 ABC 周长为
AB＋AC＋BC＝AB＋AC＋BF＋CF＝4a＝4 3.
(理)(2010·浙江台州)已知点 M( 3，0)，椭圆x42＋y2＝1
()
A．4
B．5
C．2
D．1
解析：解法一：设 P(x，y)，∵F1(－ 3，0)，F2( 3， 0)，
∴P→F1·P→F2＝(－ 3－x，－y)·( 3－x，－y)＝x2－3＋ y2.
＝x2－3＋1－x42＝34x2－2 ∵－2≤x≤2，∴－2≤34x2－2≤1 ∴|P→F1·P→F2|max＝2.
与直线 y＝k(x＋ 3)交于点 A、B，则△ABM 的周长为( )
A．4
B．8
C．12 D．16
[答案] B
[解析] 直线 y＝k(x＋ 3)过定点 N(－ 3，0)，而 M、 N 恰为椭圆x42＋y2＝1 的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的 周长为 4a＝4×2＝8.
4．已知 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)
答案：D
椭圆x92＋2y52 ＝1 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m，则当 m 取最大值时，点 P 的坐标是________．
解析：设椭圆上点 P 到两焦点的距离分别 为 u、v，则 u＋v＝10，uv＝m；设∠F1PF2＝θ， 由余弦定理可知 cosθ＝u2＋v22u－v 2c2，即 u2＋ v2－2uvcosθ＝64⇒m＝1＋1c8osθ，显然，当 P 与 A 或 B 重合时，m 最大． 答案：(－3,0)或(3,0)
面积的最大值为 1，则椭圆长轴长的最小值为( )
A．1
B. 2
C．2
D．2 2
解析：设椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)，则使三角形面积最 大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，
∴S＝12×2c×b＝bc＝1≤b2＋2 c2＝a22. ∴a2≥2. ∴a≥ 2.∴长轴长 2a≥2 2，故选 D.
D.5
• 解析：由题意得：4b＝2(a＋c)⇒4b2＝(a＋c)2⇒3a2－2ac －5c2＝0⇒5e2＋2e－3＝0(两边都除以a2)⇒e＝ 或e＝－ 1(舍)，故选B.
• 答案：B
(理)(2010·南昌市模考)已知椭圆 E 的短轴长为 6，焦
点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9，则椭圆 E 的离心
率等于( )
5
12
A.13
B.13
3
4
C.5
D.5
解析：设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为 a、b、c，则由条件知，b＝6，a＋c＝9 或 a－c＝9，
又 b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝36，
故aa＋－cc＝＝94 ，∴ac＝＝52123
，∴e＝ac＝153.
答案：A
[例 3] 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形
1，此时 0<m<1，
由 e＝ac＝ ac22＝
m1 －1 1＝ 23⇒m＝14.故选 C.
m
2．(文)(2010·胶州三中)若椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、 右焦点分别为 F1、F2，线段 F1F2 被抛物线 y2＝2bx 的焦点 F 分成 两段，则此椭圆的离心率为( )