H f 2 (t )
C1
f 2 (t )
H
C2
C2 H f 2 (t )

C1 H f1 (t ) C2 H f 2 (t )
若
H C1 f1 (t ) C2 f 2 (t ) C1H f1 (t ) C2 H f 2 (t )
e(t ) e(t t0 ) r21 (t ) e(t t0 ) cos t
经过系统 时移 t0
时移 t0
经过系统
t 0 t 0
e(t ) e(t ) cos t r22 (t ) e(t t0 ) cos(t t0 )
r21 (t ) r22 (t )
叠加性：
e1 (t ) r1 (t ) e1 (t ) e2 (t ) r1 (t ) r2 (t ) e2 (t ) r2 (t )
e1 (t )
e2 (t )
e1 (t) e2 (t)
H H
H
r1 (t )
r2 (t )
r1 (t) r2 (t)
信号与系统
详细内容在第五章讨论。
信号与系统
五.因果性
定义
因果系统： 当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。 即 因果系统输出不会出现在输入信号激励系统以前的时刻。
系统的这种特性称为因果特性。 符合因果性的系统称为因果系统(非超前系统)。
因果信号
t = 0接入系统的信号称为因果信号。 e(t ) e(t )u (t )
f (t )
H
H f (t )
DE
y (t )
f (t )

y (t )
f (t )
DE

H
H f (t )
H f (t ) y(t )
若 则
H f (t ) y(t )
系统 H
是非时变系统，否则是时变系统。
H 是线性系统，否则是非线性系统。
则系统
注意：这里是假定系统的初始状态为零。
信号与系统
一．线性系统与非线性系统
例：判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统? d r (t ) 10r (t ) 5 e(t ) t 0 dt 解：设信号 e(t) 作用于系统，响应为 r(t)
一．线性系统与非线性系统
e1 (t )
e2 (t )
1e1 (t ) 2 e2 (t )
线性：
H H
H
r1 (t )
r2 (t )
1r1 (t ) 2 r2 (t )
1e1 (t ) 2e2 (t ) 1r1 (t ) 2 r2 (t )
信号与系统
一．线性系统与非线性系统
判断方法 先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算
f1 (t )
C 11 C
C1 f1 (t )
f 2 (t )
C 22 C
H H
C 2 f 2 (t )

C1 H f1 (t )
H
H C1 f1 (t ) C2 f 2 (t )
f1 (t )
H f1 (t )
信号与系统
§1.8 线性时不变系统
信号与系统
一．线性系统与非线性系统
1.定义 线性系统： 指具有线性特性的系统。 线性:指均匀性，叠加性。 均匀性(齐次性)：
e(t ) r (t ) ke(t ) kr (t )
e(t ) ke(t )
H H
r (t )
kr (t )
信号与系统
一．线性系统与非线性系统
信号与系统
二．时变系统与时不变系统
e(t )
e (t t 0 )
H
r (t ) r (t t 0 )
e(t )
r (t )
O
T
t
O
t
e( t t 0 )
r (t t 0 )
O t0
t0 T
t
O
t0
t
信号与系统
二．时变系统与时不变系统
判断方法 先时移，再经系统＝先经系统，再时移
经过系统
时移 t0
经过系统
r11 (t ) cos e(t t0 )
t 0
时移 t0
r12 (t ) cos e(t t0 ) t 0
r11 (t ) r12 (t )
所以此系统为时不变系统。
信号与系统
二．时变系统与时不变系统
系统2作用：输入信号乘cost
(2)
信号与系统
一．线性系统与非线性系统
假设有两个输入信号
e1 (t ) e2 (t )
分别激励系统，
则由所给微分方程式分别有：
当
e1 (t ) e2 (t ) 同时作用于系统时，若该系统为线性系统，应有
t 0 (5)
d r1 (t ) 10r1 (t ) 5 e1 (t ) dt d r2 (t ) 10r2 (t ) 5 e2 (t ) dt
此系统为时变系统。
信号与系统
三．线性时不变系统的微分特性
线性时不变系统满足微分特性、积分特性
e(t )
de(t ) dt
r (t )
H
dr (t ) dt
H

t

e( )d
H

t

r ( )d
利用线性证明，可推广至高阶。
Байду номын сангаас
信号与系统
四. 系统稳定性
定义
系统的稳定性是指在有界输入下，所产生的输出也是有界的， 通常称为BIBO稳定。一个正常工作的系统都必须是稳定的。
信号与系统
二．时变系统与时不变系统
例： 判断下列两个系统是否为非时变系统。
系统1：
系统2：
r (t ) cos e(t )
t 0
r (t ) e(t ) cos t
t 0
解： 系统1的作用是对输入信号作余弦运算。
e(t ) e(t t0 )
e(t ) cos e(t )
分析线性、时变性、因果性
信号与系统
作业：13-03-19
P25 1-8(1)(2)
1-9
输出不超前于输入
因果判断方法
设 t t0 ， x(t ) 0 若 y(t ) 0,(t t0 ) 则系统因果。若 y(t ) 0,(t t0 ) 则系统非因果。
信号与系统
五.因果性
例：P23 例1-8-3
（1） （2）
y(t ) af (t ) b
y(t ) tf (t 1)
当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则
d Ar (t ) 10 Ar (t ) 5 Ae(t ) dt 原方程两端乘A：
d r (t ) A 10r (t ) 5 Ae(t ) dt
(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性
t 0
(1)
t 0
t 0 t 0
(3) (4)
d r1 (t ) r2 (t ) 10 r1 (t ) r2 (t ) 5 e1 (t ) e2 (t ) dt
(3)+(4)显然不等于(5) 所以该系统为不具有叠加性
信号与系统
二．时变系统与时不变系统
定义 一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号施加于系 统的时间起点无关，称为非时变系统，否则称为时变系统。 分析： 电路分析上看：元件的参数值是否随时间而变 从方程看：系数是否随时间而变 从输入输出关系看：