易拉罐形状及尺寸的最优模型『摘要』本文研究的是易拉罐外形和尺寸的最优化问题，通过建立数学模型找到在易拉罐体积一定的条件下，使得易拉罐表面积最小，材料最省的外形及尺寸。

我们首先动手测量易拉罐的各项尺寸，然后通过一个由简单到复杂的分析过程，逐步建立模型与实测数据比较确定易拉罐外形和尺寸的设计方案，并且通过进一步优化得到最优的设计方案。

第一题需要我们亲自动手用各种工具测量易拉罐上底面及下底面直径、易拉罐各部分高度以及厚度。

第二题假设易拉罐为一个正圆柱体，问题简化为已知圆柱体的体积求其高度和底面半径为多少时表面积最小。

进一步分析问题建立目标函数，用微分地方法求解。

最后于我们实际测量的数据比较发现这种模型不是最优模型，还需要进一步研究。

第三题假设易拉罐的上部是一个正圆台，这样问题就变为上不圆台和下部圆柱体体积和一定的条件下，求其表面积和最小，与第二步相同建立目标函数，并考虑到各种约束条件，例如美观要符合黄金比例、人体机能等关键词：最优化 LINGO 黄金分割率 3dmax cad1问题重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。

看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。

当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。

具体说，请你们完成以下的任务：1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

2．设易拉罐是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

5．用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步2 问题分析通过对问题进行分析可以看出，本文研究容积一定的易拉罐的用料最省问题，通过建立模型找到一种最合理、最节约的设计，进而结合实际问题优化模型。

问题1，通过实际测量得到易拉罐下部圆柱体内直径，中部圆柱体内高度，上部圆台体上直径、下直径，上部圆台体高度以及易拉罐顶部和其他部位厚度。

问题2，假设易拉罐是一个正圆柱体，即将上部圆台看成正圆柱，问题简化为在圆柱体体积一定的条件下求其表面积最少，建立优化模型，用微分方程求解模型。

问题3，设易拉罐是由一个圆柱体和一个圆台构成，即在第二问基础上考虑到易拉罐上下表面直径不同，问题仍然可以看成已知体积求最小表面积的优化问题。

求解方法为，把易拉罐分为两部分分别求其表面积和体积，然后求和得出其总体积、总的表面积，确定目标函数，并从美观、方便等方面建立约束条件，进而求出最优解。

问题4，3 模型假设1.不考虑易拉罐厚度2.不考虑易拉罐重叠部分材料3.5 模型的建立与求解3.1问题1模型的建立易拉罐初顶部外其他部分厚度：0.2毫米3.2 问题二模型的建立及求解设易拉罐为圆柱体，如下图由题可得易拉罐体积为 h d V 24π=（1）最优设计即为V 一定的情况下，求圆柱体表面积最小（不考虑材料厚度） 圆柱体表面积为222⎪⎭⎫⎝⎛⨯+=d dh S ππ 即 22d dh S ππ+= (2)由(1)得24dV h π=，代入(2)得 224d d V S π+= (3) 对(3)式求导 2'4dVd S -=π 令0'=S 求极值值点mm V d 74.7643≈=π mm dV h 74.7642≈=π在极值点(76.74,76.74)处，S 取得最大值。

此时易拉罐半径和高的比值为212=h d与实际测量数据不相符，因此其结果不能合理的说明所测量易拉罐的形状和尺寸，即此模型不是易拉罐外形和尺寸的最优设计，还需要进一步研究。

3.3 问题三模型建立及求解在问题二的基础上进一步考虑，假设易拉罐上部为正圆台，因此可以将易拉罐分为上下两部分，上部圆台和下部圆柱体。

如图圆柱体体积和面积可表示为112114h d d S ππ+= 121141h d V π=由圆台面积、体积公式可得其面积、体积分别为222122121d d d l S ⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=ππ　 ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2122212241414131d d d d h V π 易拉罐总体极为⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=21222121214141413141d d d d h h d V ππ总面积为2221112121214d d d l h d d S ⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯++=ππππ　 本题仍可简化为在易拉罐体积一定前提下求其表面积最小的问题，求出满足条件的易拉罐尺寸即为易拉罐的最优设计。

即为求目标函数S 最小的问题，下面考虑其约束条件：(1)考虑到美观因素1d 与21h h +的比值满足黄金分割率，即()211618.0h h d +=(2)考虑到手握方式，尽可能使大多数人感到舒适，设人手握饮料时手握的长度为1l ，正常人手握的长度范围是[16,20](单位：厘米)，则必须满足C ≥1l 且C l 211≥即112l C l ≤≤，由此可推出112l d l ≤≤π(3)考虑到易拉罐的饮用方式，一般消费者在饮用时要将易拉罐倾斜一定角度，才能使饮料流出。

通过一定资料分析，假设其倾斜角为15°，如图所示要使饮料能从灌口流出必须满足：())15tan(21212︒≥+d d h由以上各式可得：目标函数为min 2221112121214d d d l h d d S ⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯++=ππππ 约束条件为()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧>︒≥+≤≤+=+-=2121211211212212)15tan(212618.041d d d d h l d l h h d h d d l π求解可得：⎩⎨⎧≈≈5:6:1:10:2121d d h h经过验证可以看出：由模型得出的比例关系近似符合实测数据，可以比较合理地说明我们所测量的易拉罐的形状和尺寸5.4 问题4模型建立与求解5.5 问题5模型建立与求解数学建模数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。

这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象，也包涵抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。

这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测，试验和解释实际现象等内容。

简单地说，数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。

在现实生活中数学建模是无处不在的，只是我们平时没有把它联系到数学上来。

当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。

这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。

就如本文中研究的易拉罐的形状及尺寸问题。

我们平常饮用的易拉罐基本上形状是一样的，这一点也许我们平时也发现了，但是却没有深入的研究它为什么是这个形状，这个尺寸，能不能让它再高一点或者在细一点这一系列的问题。

而数学建模就是要研究我们平时习以为常的现象，明确其原理并找到更好的设计方案。

数学建模的一般步骤为：模型假设(根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设)、模型建立(在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构)、模型求解(利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算)、模型分析(对所得的结果进行数学上的分析)、模型检验(将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。

如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。

如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过)。

数学建模最关键的一步就是将现实问题准确的用数学语言表示出来。

这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。

了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。

用数学语言来描述问题。

参考文献[1]姜启源，《数学模型》，第三版[2] 百度/s?wd=%B6%AF%CE%EF%C4%A3%D0%CD附录syms h d; %d为底面积的直径，h为圆柱体的高v=pi/4*d^2*h; %圆柱体体积h=solve('v=pi/4*d^2*h'); %圆柱体的高s=pi*d*h+pi/2*d^2; %圆柱体表面积>> ss =1/4*pi^2*d^3*h+1/2*pi*d^2s1=diff('1/4*pi^2*d^3*h+1/2*pi*d^2',d); %对面积s求导>> s1s1 =3/4*pi^2*d^2*h+pi*dsyms h d v; %d为底面积的直径，h为圆柱体的高,v为圆柱体体积h=solve('v-pi/4*d^2*h=0',h); %圆柱体的高>> hh =4*v/pi/d^2s=pi*d*h+pi/2*d^2; %圆柱体表面积>> ss =4/d*v+1/2*pi*d^2s1=diff('4/d*v+1/2*pi*d^2',d); %s1为面积s的导数>> s1s1 =-4/d^2*v+pi*dd=(4*355/pi)^(1/3);%取得极值时d的值>> dd = 7.6744min=pi/4*d1^2+pi*d1*h1+1/2*pi*l*(d1+d2)+pi*d2^2; !目标函数;l=1/4*(d1-d2)^2+h2^2; !圆台母线长;pi/4*d1^2*h1+1/12*pi*h2*(d1^2+d2^2+d1*d2)=355;!饮料总的体积;d1>d2;d1=0.618*(h1+h2);!黄金分割率;l1<=20;l1>=16;!正常人的手掌长度范围;pi*d1>=l1;pi*d1<=2*l1;h2>=1/2*@tan(pi/12)*(d1+d20);!饮用方便;pi=3.1416;endLocal optimal solution found.Objective value: 327.3847Infeasibilities: 0.5684342E-13Total solver iterations: 48Variable Value Reduced Cost PI 3.141600 0.000000 D1 6.610637 0.000000H1 9.811164 0.000000L 3.243212 0.000000D2 3.474512 0.000000H2 0.8856596 0.1689496E-07 L1 20.00000 0.000000D20 0.000000 2.194752Row Slack or Surplus Dual Price1 327.3847 -1.0000002 0.000000 -15.841753 0.000000 -0.66304934 3.136124 0.0000005 0.000000 -3.2191906 0.000000 0.0000007 4.000000 0.0000008 0.7679763 0.0000009 19.23202 0.00000010 0.000000 -16.3818111 0.000000 -34.12139。