黄金分割同步练习
（典型题汇总）
1.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比；
2.能对黄金分割进行简单运用.（重点、难点）
一、情景导入
生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，下图是一个五角星图案，如何找点C 把AB 分成两段AC 和BC ，使得画出的图形匀称美观呢？
二、合作探究
探究点一：黄金分割的有关概念
已知M 是线段AB 的黄金分割点，MA 是被分线段AB 中较长的线段，且MA ＝5
－1，求原线段AB 的长.
解析：由于M 是黄金分割点，根据黄金比＝较长线段原线段＝5－1
2，可求出原线段长.
解：因为M 是线段AB 的黄金分割点，且MA >MB ， 所以MA
AB ＝5－12，
所以AB ＝
25－1·MA ＝2
5－1
×（5－1）＝2. 方法总结：把一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段之间有固定的比
值关系，只要知道其中一条线段的长度，就可以求出另外两条线段的长度.
已知线段AB ＝6，点C 为线段AB 的黄金分割点，求下列各式的值： （1）AC －BC ；（2）AC ·BC .
解析：黄金分割点是线段上一个点，这个点把线段分成一长一短两部分，由题意可知较长的线段是原线段的
5－1
2
，并且在一条线段上有两个黄金分割点. 解：若AC ＞BC ，如图，则AC ＝5－12AB ＝5－1
2
×6＝35－3，所以BC ＝AB －AC ＝6－（35－3）＝9－3 5.
（1）AC －BC ＝35－3－（9－35）＝35－3－9＋35＝65－12；
C
B
A
（2）AC
·BC ＝（35－3）×（9－35）＝275－45－27＋95＝365－72. 若AC ＜BC ，如图.
（1）AC －BC ＝12－65； （2）AC ·BC ＝365－72. 易错提醒：注意一条线段有两个黄金分割点，因此题中未指出黄金分割点离哪个端点较近时，要分情况讨论.
探究点二：黄金分割的应用
在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越
给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的
身高为1.60m ，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？
解析：想要看起来更美，则鞋底到肚脐的长度与身高之比应为黄金比，此题应根据已知条件求出肚脐到脚底的距离，再求高跟鞋的高度.
解：设肚脐到脚底的距离为x m ，根据题意，得x
1.60＝0.60，解得x ＝0.96.
设穿上y m 高的高跟鞋看起来会更美，则y ＋0.96
1.60＋y
＝0.618.
解得y ≈0.075，而0.075m ＝7.5cm.
故她应该穿约为7.5cm 高的高跟鞋看起来会更美.
易错提醒：要准确理解黄金分割的概念，较长线段的长是全段长的0.618.注意此题中全段长是身高与高跟鞋鞋高之和.
三、板书设计
黄金分割
⎩⎪⎨⎪
⎧定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC
和BC ，如果AC AB ＝BC AC ，那么称线段AB 被点
C 黄金分割
黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点黄金比：较长线段：原线段＝5－12
：1
经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程，通过问题情境的创设和解决过程，体会黄
金分割的文化价值，在应用中进一步理解相关内容，在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识和自信心.感受数学与生活的紧密联系，体会数学的思维方式，增进数学学习的兴趣.
黄金分割同步练习
（典型题汇总）
一、选择题:
1.如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果
AC BC
AB AC
=,那么下列说法错误的是( ) A.线段AB 被点C 黄金分割; B.点C 叫做线段AB 的黄金分割点
C B
A C
B A C.AB 与A
C 的比叫做黄金比; D.AC 与AB 的比叫做黄金比
2.如图的五角星中,
AC AB 与BC
AC 的关系是( ) A.相等; B.AC AB >BC AC ; C.AC AB <BC
AC
; D.不能确定
3.一条线段的黄金分割点有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个
4.黄金分割比是( ) A.
12 B.
12 C.1
2
D.0.618 5.如图,点C 是AB 的黄金分割点,那么
AC AB 与AC
BC
的值分别是( ) A.
1
2,1
2
B.
1
2
,1
2
; C.
1
2
,1
2
; D.
12,1
2
6.如图,若点C 是AB 的黄金分割点
,AB=2,则AC= ( ) A.
12 B.
1
2
11 二、填空题:
1.点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果_________,那么称线段AB 被点C•黄金分割,点C 叫做线段AB 的________,AC 与AB 的比叫做_________.
2.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=1,则AC=_______,BC=______.
3.已知点C 是AB 的黄金分割点,即
AC AB ,那么AC
CB
=________.
4.如图,点C 是AB 的黄金分割点,AB=4,则AC 2
=________.
5.宽与长的比等于________的矩形叫做黄金矩形.
6.已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________. 三、计算题:
1.已知线段AB 长6厘米,点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,求AP 和BP 的长.
2.仿照课本上“做一做”的方法,画出线段AB 的黄金分割点.
3.请你在实际生活中搜集一个与黄金分割有关的资料,并与同伴相互交流.
C
B
A
四、已知一个等腰三角形如果腰与底边的比是黄金比,•那么这样的等腰三角形称为黄金三角形.请你设法作出一个黄金三角形.
五、已知线段AB=1,C 为AB 的黄金分割点,且AC>BC,求AC-BC 的值.
六、如图的五角星中,AD=BC,且C 、D 两点都是AB 的黄金分割点,AB=1,求CD 的长.
D C
B
A
七、已知C 、D 是线段AB 上的两点,且不难证明当AB=1时,C 、D 是线段AB 的黄金分割点,试探究当AB 任意长时,C 、D 是否是线段AB 的黄金分割点?为什么?
答案:
一、1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 6.C
二、1.
AC BC
AB AC
=
;黄金分割点;黄金比
3.
1
2
黄金比三、1.因为点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,
所以
AP PB AB AP
=
,
××
2.(1)过点B 作BD ⊥AB 且BD=
1
2
AB,连接AD (2)以D 为圆心BD 为半径作圆弧交AD 于E
(3)以A 为圆心AE 为半径作圆弧交AB 于C,则C 为AB 的黄金分割点 3.查阅资料
四、先做出线段AB,及其黄金分割点C(AC>BC)分别以A 、B 为圆心,AC 为半径作圆弧,交点为P,则△PAB 就是黄金三角形
五、根据C 为AB 的黄金分割点,AC>BC 得
AC AB
,
因为AB=1,所以
所以AC-BC=
12-32
-
六、根据C 、D 都是AB 的黄金分割点得
AC
AB =12,BD AB
=12
因为AB=1,所以AC=
12,BD=1
2,
所以
因此七、C 、D 是线段AB 的黄金分割点.。