* 一个房间内人员的撤离； * 一个通道的撤离；
* 一层楼人员的撤离；…… 最后，将各个子问题重新组合起来.
2.关键词联想法
一种有效的发散思维方式. 主要步骤如下：
(1) 抓住问题或方案的关键词,不受任何约束
地进行联想；
(2) 把联想到的内容用关键词的方式登记 在卡片上,进一步激发产生新的想法,进一步 想出新的主意；
整个数学建模过程由若干个有 明显差别的阶段性工作组成
数学建模过程是一种创新过程，在思考 方法和思维方式上与学习其他课程有很大 差别。
类比思维
发散思维
数学创新思维
归纳思维
猜测思维
逆向思维
…….等等.
掌握几类方法：问题解决法、思想表达 法、创造发明法.
方法的共同特点：
对于创造能力 的培养不可或
缺
不轻易否定别人的意见，
N(t) 是单调上升函数.
(2)
t
lim
N
(t
)
lim
t
1
K Ce
KSt
K
K是使得人口净增长率 r(K)=0 的人口数，可 理解为该地区能容纳的人口上限.
(3)
令
N (t)
CK
3 S 2e KSt (Ce KSt (1 Ce KSt )
1)
0
存在
t0使
N (t0 )
0，且x(t0 )
K 2
大楼内居住人员的安全保障在于无论发生 什么情况,都能使人员有组织,有秩序地进行 疏散撤离.
一座大楼的管委会想进行一次紧急疏散 人员的演习.
问题分析 演习之前需要考虑许多方面, 如大楼内的设施、人员的分布情况、撤离 路线的设计、撤离的步骤等等，这是一个 较庞大的系统工程
应考虑将此问题分解成为若干个子问题，如
(5) 我们还可以做什么工作？ (6)有无需要进一步完善的内容？ (7) 可否换一种数学工具来解决此问题？ 针对问题和初始方案可以先设计出类似的 问题清单，然后反复展开。
例1 穿越公路问题
一条公路交通不太拥挤,以致人们养成“冲” 过马路的习惯,不愿行走到邻近较远处的“斑 马线”.当地交通管理部门不允许任意横穿公 路,为方便行人，准备在一些特殊地点增设 “斑马线”,让行人可穿越公路,并且还要保证 行人的平均等待时间不超过15秒.
,
当t t0 , N (t) 0, 即N (t)单调上升；
k k/2
N0
0
t0
人口不会无限增长，存在一个转折时 间点t0 ，过此点以后增长速度会减缓。
Logistic模型特点：初期高速增长，过一个特 定时间点后增长速度减缓，且有上界控制.
对原问题的分析： (1) 一般每户只需用1～2只电饭煲就足够,
来描述电饭煲的销售速度变化情况.
实际情况与Logistic销售曲线十分吻合
思考 请考虑现实中哪些变量的变化可用 Logistic模型进行描述？
例3 “9.11”事件的反思
现代化都市里大楼林立,这些拔地而起的 摩天大楼安全性不容忽视,我们经常耳闻目 睹大楼内发生意外情况,造成令人震惊的人 员伤亡和财产损失.
(3) 再把积攒的卡片相互搭配,形成解决问题 的初步思路与步骤.
例4一场笔墨官司（放射性废物的处理问题）
美国原子能委员会（现为核管理委员会） 处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封 性能很好的圆桶中，然后扔到水深300英 尺的海里.他们这种做法安全吗？
联想：安全 、危险
分析：可从各个角度去分析造成危险的 因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能.
一个地区的需求量是有限的；
(2) 初期在广告之类推销作用下销售速度较 快,商品趋于饱和时销售速度会减缓.
电饭煲的销售情况类似于人口增长情况,可 利用类比方法建立模型.
记x(t)为t 时刻已售出的电饭煲总数,市场的 饱和量(最大需求量)为M,利用Logistic模型
X (t )
1
M
ce kMt
,
t0
帮助展开思路的方法： 1.提问题法
提问题法 关键词联想法
借助于一系列问题来展开思路. 面临难题, 束手无策时通过提出一系列问 题来导出一些想法或一个好的方案. 如：
(l) 这个问题和什么问题相类似？ (2) 假如变动问题的某些条件将会怎样？
(3) 将问题分解成若干部分再考虑会怎样？ (4) 重新组合又会怎样？ 为进一步打开思路可提以下问题：
怀疑一般常识，
努力发现别人尚未察觉的事物等
以下介绍几种（个体和集体散性思维和猜测思维是创造性思维方 式的重要组成部分
面对新问题，应尽量打开自己的思路： 1. 不要轻易沿一条思路深入，不要轻易 做出结论. 2. 尽量多一些想法，多一些猜测。
思考、思考、再思考.
几种创新思维方法
重要的科学思维方式之一是创新 思维，创新思维是创新能力的核心 与灵魂。
现
建立数学模型
数
实
学
世
世
界
翻译为实际解答 界
推理 演绎 求解
实际解答：如对现实对象的分析、预报、 决策、控制等结果。
始于现实世界并终于现实世界
数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁，
怎样构架这座桥梁？
* 数学建模没有普遍适用的方法与技巧. * 有一些普遍适用的思想方法与思维方式.
分析 Logistic人口模型，t 时刻的人口数为
, N (t )
N 0 Ke rt K N 0 (ert 1)
K
1
(
K N0
1)
e
rt
t≥0
改写为
, N (t )
K 1 ce KSt
t0
其中
S
r K
,
c
K N0
1
数学分析 1. 若 r＜0，则S＜0，随着 t ,则 N (t) 0
2. 若 r＞0，讨论Logistic曲线特征
例2 电饭煲销售问题
一种新产品刚面世，厂家和商家总是采 取各种措施促进销售，比如不惜血本大做 广告等等.他们都希望对这种新产品的推销 速度做到心中有数,厂家用于组织生产，商 家便于安排进货.
怎样建立一个数学模型描述新产品(电饭 煲)推销速度，并由此分析出一些有用的结 果以指导生产.
想一想 此问题与我们遇到的哪一个建模问题 相类似？
增设“斑马线”需考虑哪些方面的问题？
1. 考虑问题的立场, 司机或行人的哪方面的 利益更为重要？
2. 公路情况: 是否有弯道？车道间是否设 3. 有安全隔离带？……
3. 车流情况：车流的密度大小？
4. 行人情况: 穿越公路的速度大小？穿越公 路的人群密度？穿越公路者的性质？
问题分析 此问题的特点是机理复杂, 受到较多随机因素的影响, 类似于渡口 模型,可采用统计模拟方法加以解决.