先沿园筒面母线即 y 向积分，此时须采用代换 ds0
k vy 8 2 l0 cos(
( )d( y)
)d
0
V1 (l02 y2 )3/ 2
k 8 2 l0 cos(
1 )d ( V1 ) l02
再沿θ积分,得整个圆筒涡面对M0点的诱速：
vy
k 8
2 ( V1 )
2 0
l0 cos( l02
)
( dy ) V1
第二节 常用的旋翼涡系模型
2-1 固定涡系（经典涡系）
参照诱导流场，设定涡线或涡面的构成和形状， 如：螺旋面涡系，圆环涡系，偶极子涡系，涡柱涡系 等
2-2 预定涡系
根据流态显示试验得到的涡线形状和位置，设 定涡系结构。
2-3 自由涡系
依据自由涡线在流场中 不受力条件，让涡线随气流 自由延伸。
l0
sin( l02
)
sin(
)]
V1
l0
)
cos( )
]
V1
l0
第二步，沿方位角θ积分，并注意到：
1 2 [r cos(
20
l02
1 2 cos( )d
20
l0
)]d 1 (当 r ) 或 0 （当r ) r
＝（2） 1
r2 [
2
(r
K
)2 E]
r
2r
2r
式中K、E 分别为第一和第二类椭圆积分
K
1-3 旋翼涡流理论的基本思路
旋翼对周围空气流速的影响（诱导作用），用一涡系 的作用来代替，用来计算旋翼的诱导流场。
关键是构建适当的涡系： 能逼真地代表旋翼的作用，即此涡系的诱导速度场与 旋翼的尽可能相同。此外，便于计算涡系的诱导速度。 如：最简单的机翼涡系
简单的旋翼桨尖涡系
悬停
低速前飞
高速前飞
dvz cos dvz sin
代入 l 及 ds 的投影
得：
dv
dvr
kd 8 2l 3 [ l0 cos(
k 8
d 2l
3
[l0
sin(
) sin( V1
) cos( V1
) y]dy ) y]dy
第一步，沿筒面母线（对dy ) 积分，得：
v k d [ l0 cos(
82
l02
vr
kd 82
[
根据儒氏定理，叶素的升力为：dY W *dr 由叶素理论，叶素的升力为： dY Cy 2 W 2bdr
由此得桨叶的环量表达式：
*
1 2 CyWb
1 2 Cyrb
引入叶素理论的关系式，桨叶环量可表示为：
1
1
ab
*
2 C yrb
a 2
*rb
( 2
ab
* )r
( 2
V0 v1 )r r
讨论：可否用此式计算桨叶的环量？
1 bC y r 2dr 0 b7C y7
k
7
1
2( * )rdr
0
7
而k 7
k
1 2
C
y
7
b7
0.7代入上12 式CY，7 0.再7 与先
前 C式T 子对比， 可得：
KT
1
3 0.7 ( * )rdr
0 7
3 1 bC y r 2dr 0 b7C y7
第七节 旋翼功率系数
叶素理论已得出
P k (dX cos * dY sin * ) r
代入环量公式
1
1
* 2 C yWb 2 C yrb
旋翼拉力系数的环量表达式
k
1
0 C yr 2bdr
则得
CT
k
1
2 *rdr
0
k
CT
dx
6-4 拉力修正系数
在叶素理论中，已得到
1 CT 3 KT Cy7
但修正系数 K并T 未给出，此处由涡流理论导出。
由 CT
k 1改C y写r 2为bdr 0
CT
k b7C y7
1 K
2 (1 k12 )1/ 4
E
1 k12
22
k1 4r /(r )
讨论：所得诱速分布与滑流理论的有何异同？
第五节 圆柱涡系及其诱导速度
一般情况下，桨叶的环量沿桨叶 展向不是常值，而是沿径向变化的。
依据环量（涡强）守恒定理，在桨 叶附着涡变化处必然要逸出类似于桨 尖涡那样的尾涡，它们形成无限多的 同心圆筒涡面，或说是实心涡柱。
/2
d1
0 1 k12 sin2 1
/2
其中模数 k1
E
1 k12 sin2 1 d 1
0
4r /(r )
积分后得到
圆筒涡面引起的径向诱导速度
vr＝
k 4
( （) 2） 1
V1
r
[ r2 2r
2
K
(r )2 E] 2r
由于中心涡束及附着涡盘都不产生径向诱导速度，此式 即整个圆筒涡系在桨盘平面引起的径向诱导速度。
mk k (Cx cos * C y sin * )W 2brdr
k
1
Cxr 3bdr
0
k V0
1
C ybr 2dr
0
即 mk mkx
k
1
v1C ybr 2dr
0
mky mki
型阻功率： 有效功率：
mkx ( kb7 )Cx7 K p / 4
Kp
1
(
b
)(
Cx
)r 3dr
/
1
r 3dr
0 b7 C x7
vy 0
k
vy
4 V1
当r 当r
4-2 桨盘平面内的径向和周向诱导速度
4-2-1 圆筒涡面的诱导速度
在直角坐标系内，诱导速度沿x、z 轴方向的分量为
dvx 4 l 3 (lzdsy lydsz )
dvz 4 l 3 (lydsx lxdsy )
转换为周向 和径向 r 分量
dv dvx sin dvr dvx cos
写为无量纲形式
vy
k *(r) 4 V1
式中 vy vy / R ; *(r)
*(r) / R2
同理，周向诱导速度为
v
r 0
k
4
(
d*
d
d )
1 r
k
4r
* (r )
或
v
k *(r) 4r
结论：桨盘处的轴向及周 向诱导速度皆正比 于当地的桨叶环量。
第六节 桨叶环量及旋翼拉力公式
6-1 桨叶环量
圆筒涡面引起的周向诱速 v
k 1 当 (r ) ; 4r
v0
当 (r ).
4-2-2 中心涡束的诱导速度
中心涡束不引起径向诱导速度，只产生周向诱速
vk 4r
4-2-3 整个圆筒涡系的周向诱导速度
中心涡束与圆筒涡面两者的作用相加，即得整个
涡系的周向诱速： v 0 (r )
v k (r ) 4r
小结： 园筒涡系在桨盘处的诱导速度
流速分布与涡线形状同 步迭代计算，逐步近似直至收敛。 计入了涡系形状的畸变。
讨论：三类涡系的优缺点和适用性
第三节 旋翼圆筒涡系
3-1 基本假定
除假定空气是无粘性、不可压缩的气体外，还假定： ➢ 气流是定常的（相当于无限多片桨叶）； ➢ 桨叶环量沿半径不变（只在桨尖有尾涡逸出）； ➢ 不计径向诱速、周向诱速对涡线延伸方向的影响； ➢ 轴向诱速对涡线延伸方向的影响，用桨盘处的等效 诱导速度来代表； ➢ 旋翼桨叶的挥舞角度角略去不计；
形成 arctan(V1 / ) 角度的螺旋线。
全部螺旋线桨尖涡形成圆筒形涡面。
3）中央涡束
在叶根处，附着涡汇集成环量为kΓ的 中央涡束沿轴进入。
讨论：中央涡束应多长？
第四节 桨盘平面处的轴向诱导速度计算
涡的诱导速度用毕奥—沙瓦定理计算
ds l
dv
4
l3
在直角坐标系中的三分量为
dv
x
4 l 3
轴向
vy 0
当r
vy
k
当r
4 V1
径向
vr＝
k(
（) 2） 1
r2 [
2
K
4 V1
r
2r
(r )2 E]
2r
周向
v 0 (r )
v
k (r 4r
式中 r 计算此处的诱速
)
ρ涡柱半径
练习题 画出圆筒涡系所确定的桨盘平面处的旋翼诱导速度
各分量分布图。
注：对于两种椭圆积分，若无数据表可查，可用 下列近似式：
引入等效诱导速度后，桨叶环量可写为
ab
*
( 2
V0 k
* 1 )r
r 4 V0 vdx r
或
ab
*
B( 2
V0 )r r
式中
B 1/(1 a b k ) 1
8 V0 vdx
若已知桨叶的几何参数、桨距和飞行状态，就能算出环 量沿半径的分布，并得到诱速分布。
6-3 拉力系数
由叶素理论
CT k (C y cos * Cx sin * )W 2bdr
6-2 旋翼诱导速度
设旋翼的入流合速度为飞行相对速度与旋翼等效诱导速度
之合，即 V1 V0 vdx
式中旋翼等效诱速
vdx
k
dx
4 V0 vdx
其中 vdx
dx
1
1
v1rdr / rdr
0
0
1
1
0
*rdr /
rdr
0
则旋翼诱导速度可写为：
v1