第五章曲线运动一知识点总结（一）曲线运动1、曲线运动的特点：①、作曲线运动的物体，速度始终在轨迹的切线方向上，因此，曲线运动中可以肯定速度方向在变化，故曲线运动一定是变速运动；②、曲线运动中一定有加速度且加速度和速度不能在一条直线上，加速度方向一定指向曲线运动凹的那一边。
2、作曲线运动的条件：物体所受合外力与速度方向不在同一直线上。
中学阶段实际处理的合外力与速度的关系常有以下三种情况：①、合外力为恒力，合外力与速度成某一角度，如在重力作用下平抛，带电粒子垂直进入匀强电场的类平抛等。
②、合外力为变力，大小不变，仅方向变，且合外力与速度垂直，如匀速圆周运动。
③、一般情误况，合外力既是变力，又与速度不垂直时，高中阶段只作定性分析。
3、运动的合成与分解：运动的合成与分解包含了位移、加速度、速度的合成与分解。
均遵循平行四边形法则。
（一般采用正交分解法处理合运动与分运动的关系）中学阶段，运动的合成与分解是设法把曲线运动（正交）分解成直线运动再用直线运动规律求解。
常见模型：（二）平抛运动1、平抛运动特点：仅受重力作用，水平方向匀速直线运动，竖直方向自由落体，是一种匀变速曲线运动；轨迹是条抛物线。
2、平抛运动规律：（从抛出点开始计时）3、（1）、速度规律：X=V0VY=gt V与水平方向的夹角tgθ=gt/v0（2）、位移规律：0t (证明：轨迹是一条抛物线)Y=121gt S与水平方向的夹角tgα=gt/2v0=tgθ22（3）、平抛运动时间t与水平射程X平抛运动时间t由高度Y决定，与初速度无关；水平射程X由初速度和高度共同决定。
（4）、平抛运动中，任何两时刻的速度变化量△V=g△t（方向恒定向下）（三）平抛运动实验与应用[实验目的]描述运动轨迹、求初速度[实验原理]利用水平方向匀速运动x=v0t，竖直方向自由落体y=12gt 得V0xg测出多y2组x、y算出v0值，再取平均值。
（四）匀速圆周运动1、物体运动的轨迹是圆周或是圆周一部分叫圆周运动；作圆周运动的物体相等时间通过的弧长相等称为匀速圆周运动。
2、描述匀速圆周运动的有关量及它们的关系：（1）、线速度：（2）、角速度：（3）、周期：（4）、频率：（5）、向心加速度：虽然匀速圆周运动线速度大小不变，但方向时刻改变，故匀速圆周运动是变速运动；向心加速度大小不变但方向时刻改变（始终指向圆心），故匀速圆周运动是一种变加速运动。
（五）圆周运动动力学1、匀速圆周运动特点：v22R （1）无切向加速度；有向心加速度a=R（2）合外力必提供向心力2、变速圆周运动特点：（1）有切向加速度；有向心加速度。
故合加速度不一定指向圆心。
（2）合外力不一定全提供向心力，合外力不一定指向圆心。
3、向心力表达式：4、处理圆周运动动力学问题般步骤：（1）确定研究对象，进行受力分析；（2）建立坐标系，通常选取质点所在位置为坐标原点，其中一条轴与半径重合；（3）用牛顿第二定律和平衡条件建立方程求解。
二例题分析例1、关于运动的合成与分解，下列说确的是：（ BCD ） A、两个直线运动的合运动一定是直线运动；B、两个互成角度的匀速直线运动的合运动一定是直线运动；C、两个匀加速运动的合运动可能是曲线运动；D两个初速为零的匀加速直线运动互成角度，合运动一定是匀加速直线运动；说明：本例题作为概念性判断题，可采用特例法解决。
例2、如图所示，在研究平抛物体运动的实验中，用一印有小方格的纸记录轨迹，小方格边长L=1.25cm,若小球在平抛运动途中的几个位置如图中的a,b,c,d。
则小球平抛运动2的初速度的计算式为v0=( )(用L g 表示).其值是( )(g=9.8m/s)例3、房高处有白炽灯S，可看成点光源，如果在S所在位置沿着垂直于墙的方向扔出一个小球A，如图所示，不计空气阻力，则A在墙上的影子的运动情况是（ D ）A、加速度逐渐增大的直线运动，B、加速度逐渐减小的直线运动C、匀加速直线运动，D、匀速直线运动。
例4、在“研究平抛运动”实验中，某同学只记录了小球运动途中的A、B、C三点的位置，取A点为坐标原点，则各点的位置坐标如图所示，下列说确的是：（ B ）A、小球抛出点的位置坐标是（0，0）B、小球抛出点的位置坐标是（-10，-5）C、小球平抛初速度为2m/sD、小球平抛初速度为0.58m/s例5、如图所示为皮带传动装置，右轮半径为r，a为它边缘的一点，左侧是大轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r。
b为小轮上一点，它到小轮中心距离为r，c、d分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动中不打滑，则：（ C D ）A、a点与b点线速度大小相等；B、a点与b点角速度大小相等；C、a点与c点线速度大小相等；D、a点与d点向心加速度大小相等；本例主要考查线速度、角速度、向心加速度概念，同时抓住两个核心：若线速度一定时，角速度与半径成反比；若角速度一定，线速度与半径成正比。
例6、如图所示，A、B两质点绕同一圆心按顺时针方向作匀速圆周运动，A的周期为T1，B的周期为T2，且T1＜T2，在某时刻两质点相距最近，开始计时，问：（1）何时刻两质点相距又最近？（2）何时刻两质点相距又最远？分析：选取B为参照物。
AB相距最近，则A相对于B转了n转，其相对角度△Φ=2πn相对角速度为ω相=ω1-ω2经过时间：t=△Φ/ω相=2πn/ω1-ω2=nT1T2（n=1、2、3）（2）AB相距最远，则A相对于B转了n-1/2转，其相对角度△Φ=2π（n-1） 2经过时间：t=△Φ/ω相=（2n-1）T1T2/2（T2-T1）（n=1、2、3）本题关键是弄清相距最近或最远需通过什么形式来联系A和B的问题，巧选参照系是解决这类难题的关键。
例7.如图所示，位于竖直平面上的1/4圆弧光滑轨道，半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面高度为H=2R，质量为m的小球１从A点由静止释放，与在Ｂ点质量为Ｍ的小球２正碰，小球１被反弹回Ｒ/2处，小球２落在水平地面上C点处，不计空气阻力，求：(1)小球１再次运动到轨道上的B点时，对轨道的压力多大?(2)小球落地点C与B点水平距离S是多少?解： (1)设小球1再次到B点时的速度为根据机械能守恒定律有：，mgR/2= ①根据向心力公式有；②由①②式得 =2mg(2)设小球１碰前在Ｂ的速度为为，，碰撞后小球2的速度为，而小球１的速度大小仍由机械能守恒定律得: ③由动量守恒定律得：ｍ = -m M ④由①③④式得: ⑤小球2从B到C做平抛运动,设时间为t,则有⑥ S= t ⑦由⑤⑥⑦式得S=例8.(16分)半径为R的光滑半圆环形轨道固定在竖直平面，从与半圆环相吻合的光滑斜轨上高h=3R处，先后释放A、B两小球，A球的质量为2m，B球质量为m，当A球运动到圆环最高点时，B球恰好运动到圆环最低点，如图所示。
求：此时A、B球的速度大小vA、vB。
这时A、B两球对圆环作用力的合力大小和方向。
解：(1)对Ａ分析：从斜轨最高点到半圆轨道最高点，机械能守恒，有 2ｍｇ(3R-2R)= （2分）解得（1分）对Ｂ分析：从斜轨最高点到半圆弧最低点，机械能守恒，有 3ｍｇR = （2分）解得（1分）(2)设半圆弧轨道对A、B的作用力分别为直向上，方向竖直向下，方向竖根据牛顿第二定律得（2分）（2分）解得根据牛顿第三定律（2分）所以A、B对圆弧的力也分别为方向竖直向上，方向竖直向下，所以合力F=5mg ，（2分）方向竖直向下。
（2例9、（12分）质量为M的小物块A静止在离地面高的小物块B沿桌面向A运动并以速度的水平桌面的边缘，质量为与之发生正碰（碰撞时间极短）。
碰后A离开桌面，其落地点离出发点的水平距离为L。
碰后B反向运动。
求B后退的距离。
已知B与桌面间的动摩擦因数为。
重力加速度为。
解：A落地过程是平抛运动，则有（1分）（1分）∴B与A碰撞动量守恒（1分）（4分） B返回有（3分）∴（2分）例10、(19分)如图所示，均光滑的水平面和半圆弧轨道相切，轨道半径为Ｒ；球１静止在切点Ｂ，球２位于Ａ点，以某一速度向小球１运动并与之正碰，球１能通过最高点落到Ａ点，球２运动到与圆心同一水平线就返回，已知AB=2R，两球质量均为ｍ．求：球２的速度．解：设碰撞后球1的速度为两球碰撞时动量守恒,则有,球2速度为,球1到圆弧轨道最高点的速度为,m =m ｍ① (4分)球２运动到与圆心同以水平线的过程，机械能守恒，则有② (3分)球１运动到最高点的过程，机械能守恒，则有③ (3分)球１从最高点到Ａ点过程做平抛运动，设时间为ｔ，则有④ (2分)⑤ (2分)由④⑤得分)=(1分) 代入③得= ⑥(1分) 由②得= ⑦(1把⑥⑦代入①得 = (2分)例 11(16分)城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥，如图所示，桥面为圆弧形的立交桥AB，横跨在水平路面上，长为L=200m，桥高h=20m。
可以认为桥的两端A、B与水平路面的连接处的平滑的。
一辆汽车的质量m=1040kg，以 10m/s2）小汽车冲上桥顶时的速度是多大？小汽车在桥顶处对桥面的压力的大小。
=25m/s的速度冲上圆弧形的立交桥，假设汽车冲上立交桥后就关闭了发动机，不计车受到的阻力。
试计算：（g取.解: 由题意，车从A点到桥顶过程，机械能守恒．设到桥顶时速度为．则有(4分)解得 =15m/s (2分)(2)L=200m h=20m 根据几何知识可求得圆弧形的半径R,代入数据可解得R=260m (2分)设车在桥顶时，桥面对它的作用力为Ｎ，则N和ｍｇ提供向心力，根据牛顿第二定律得(4分)解得Ｎ=9.5×103N (2分)根据牛顿第三定律,车对桥顶的压力=9.5×103N (2分)例12（20分）喷墨打印机的原理示意图如图所示，其中墨盒可以发出墨汁液滴，此液滴经过带电室时被带上负电，带电多少由计算机按字体笔画高低位置输入信号加以控制。
带电后液滴以一定的初速度进入偏转电场，带电液滴经过偏转电场发生偏转后打到纸上，显示出字体。
计算机无信号输入时，墨汁液滴不带电，径直通过偏转板最后注入回流槽流回墨盒。
设偏转极板板长L1=1.6cm，两板间的距离d=0.50cm，两板间的电压U=8.0×103V，偏转极板的右端距纸的距离L2=3.2cm。
若一个墨汁液滴的质量为m=1.6×10-10kg，墨汁液滴以v0=20m/s的初速度垂直电场方向进入偏转电场，此液滴打到纸上的点距原入射方向的距离为s=2.0mm。
不计空气阻力和重力作用。
求：这个液滴通过带电室后所带的电荷量q。
若要使纸上的字体放大，可通过调节两极板间的电压或调节偏转极板的右端距纸的距离L2来实现。
现调节L2使纸上的字体放大10%，调节后偏转极板的右端距纸的距离多大？为解：(1)墨滴刚从极板右端出来如图所示，之后做直线运动打到纸上，设竖直偏移距离为ｈ，偏转角度为，加速度为，时间为ｔ，墨滴在电场中做类平抛运动，则有(每式1分)由以上各式得 (3分)= ① (1分)(3分)= ② (1分)由几何关系得③ (2分)由①②③ 1.25×10-13C (1分)(2) 设液滴打到纸上的点距原入射方向的距离为，由（１）步可得= = ④ (1分)⑤ (2分)⑥ (1分)把⑤⑥得3.6cm (1分)例13如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到C处后又正好落回A点，求：(1)推力对小球所做的功.(2)x取何值时，完成上述运动所做的功最少?最小功为多少？(3)x取何值时，完成上述运动用力最小?最小力为多少？解：(1)质点从半圆弧轨道做平抛运动又回到A点，设质点在C点的速度为v０,质点从C点运动到A点所用的时间为t，在水平方向x=v0 t ① (2分)竖直方向上2R= gt2 ② (2分)解①②式有v0 = ③ (1分)对质点从A到C由动能定理有WF-mg2R= mv02 （3分）解得WF=mg(16R2 x2) /8R ④ （1分）(2)要使F力做功最少，确定x的取值，由WF=2mgR 最小，则功WF就最小，就是物理极值. (1分）mv02知，只要质点在C点速度若质点恰好能通过C点，其在C点最小速度为v，由牛顿第二定律有mg= ,则v= ⑤ (3分)由③⑤式有 ,解得x=2R时， (1分)WF最小，最小的功WF= mgR. (1分)(3)由④式WF=mg( ) (1分)而F= mg( ) (1分)因分）＞0，x＞0，由极值不等式有：当时，即x=4R时 =8， (2最小的力F=mg. (1分)例14、在光滑水平面上有一质量m＝1.0×10-3kg、电量q＝1.0×10-10C的带正电小球，静止在O 点。