算法设计课程习题答案第一章1-1什么是算法？它与计算过程和程序有什么区别？算法是指求解一个问题所需要的具体步骤和方法。

它是指令的有限序列。

算法有一系列明确定义的基本指令序列所描述的，求解特定问题的过程，它能够对合法的输入，在有限时间内产生所要求的输出，取消有穷性限制则是计算过程；而程序是算法的描述。

1-11使用归纳法证明汉诺塔函数的正确性。

用数学归纳法证明汉诺塔函数对任何n （即n 可以是任何正整数）有解。

（1）当盘子数n =1时，只需直接将此盘从A 柱搬到C 柱即可。

（2）现假设n =k 时有解，即可以将k 个盘子（在不违反规则的情况下）从一个源柱，通过一个中间柱移到目的柱上。

（3）现在证明n =k +1时也有解。

开始时A 柱上的k +1个盘子可以看成由k 个盘和最底下的一个最大盘组成。

根据归纳假设这k 个盘可以（在不违反规则的情况下）通过C 柱移到B 柱上（在这k 个盘的移动过程中，最大盘可以看成不存在）。

完成这一大步后，只要将A 柱上的最大盘直接搬到C 柱上。

再根据归纳假设B 柱上的这k 个盘可以（在不违反规则的情况下）通过A 柱移到C 柱上。

至此证明结束。

第二章2-8确定下列各程序段的程序步，确定划线语句的执行次数，计算它们的渐近时间复杂度。

（1）程序步为n log 1+画线语句的执行次数为log n ⎡⎤⎢⎥。

(log )n O 。

划线语句的执行次数应该理解为一个整体。

（2）画线语句的执行次数为111(1)(2)16jn i i j k n n n ===++=∑∑∑。

3()n O 。

（3）画线语句的执行次数为。

O 。

（4）当n 为奇数时画线语句的执行次数为(1)(3)4n n ++， 当n 为偶数时画线语句的执行次数为 2(2)4n +。

2()n O 。

2-11设有)(f n 和)(n g 如下所示，分析)(f n 为))((n g O 、))((n g Ω还是))((n g Θ。

(1) 当3n ≥时，3log log n n n <<，所以()20log 21f n n n n =+<，3()log 2g n n n n =+>。

可选 212c =，03n =。

对于0n n ≥，()()f n cg n ≤，即()(())f n g n =O 。

注意：是f (n )和g (n )的关系。

(2) 当4n ≥ 时，2log log n n n <<，所以22()/log f n n n n =<，22()log g n n n n =≥。

可选 1c =，04n =。

对于 0n n ≥，2()()f n n cg n <≤，即 ()(())f n g n =O 。

（3）因为 log log(log )()(log )nn f n n n ==，()/log log 2n g n n n n ==。

当 4n ≥ 时，log(log )()n f n n n =≥，()log 2n g n n n =<。

所以，可选 1c =，04n =，对于0n n ≥，()()f n cg n ≥，即 ()(())f n g n =Ω。

（4）因为n n f =)(，n n g 5log )(=。

当0n >时，n )(<=n n f ，55n log )(<=n n g ，所以，可选1c =，1n 0=,对于0n n ≥，()()f n cg n ≤，即()(())f n g n =O 。

（5）因为n n n 2)(f =,n 3(=）n g 。

当n>0时，)(32)(f 31-n n g n n n n =<⋅=≤,所以取1,3/1c 21==c , 1n 0=,对于0n n ≥，)()()(21n g c n f n g c ≤≤，即))(()(n g n f Θ=。

第四章4-10识别图4-15的图的关节点，画出它们的双连通分图。

图G1的关节点3、7、1，图G2关节点没有关节点。

它们的双连通图如下。

0-1-3 2-3-4 3-7 7-6-5 第五章5-11对两组数据（1,1,1,1,1）和（5,5,8,3,4,3,2）执行程序5-12的快速排序，按照 表图G1图G2图G1图G2第六章 11.由题可得：012345601234561051576183,,,,,,,,,,,,2357141p p p p p p p w w w w w w w ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，最优解为()01234562,,,,,,,1,,1,0,1,1,13x x x x x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最大收益为211051561835533+⨯++++=。

3.设有带时限的作业排序n=7，(p0，p1,…p6)=(3,5,20,18,1,6,30)；（d0,d1,…d6）=(1,3,4,3,2,1,2)以此实例为输入的最优解和最大收益。

按收益大小递减排序：p6,p2,p3,p5,p1,p0,p4=(30,20,18,6,5,3,1) 最优解： (0，0，1，1，0，1，1) 由作业2,3,5,6产生 最大收益：74 8.第七章7-1. Bcost(1,0)=0;Bcost(2,1)=c(1,1)+Bcost(1.0)=5 Bcost(2,2)=c(1,2)+Bcost(1,0)=2Bcost(3,3)=min{c(2,3)+Bcost(2,2),c(1,3)+Bcost(2,1)}=min{6+2,3+5}=8 Bcost(3,4)=c(2,4)+Bcost(2,2)=5+2=7Bcost(3,5)=min{c(1,5)+Bcost(2,1),c(2,5)+Bcost(2,2)}=min{3+5,8+2}=8Bcost(4,6)=min{c(3,6)+Bcost(3,3),c(4,6)+Bcost(3,4),c(5,6)+Bcost(3,5)}=min{1+8,6+7,6+8}=9 Bcost(4,7)=min{c(3,7)+Bcost(3,3),c(4,7)+Bcost(3,4),c(5,7)+Bcost(3,5)}=min{4+8,2+7,6+8}=9 Bcost(5,8)=min{c(6,8)+Bcost(4,6),c(7,8)+Bcost(4,7)}=min{7+9,3+9}=127-9. char A[8]={‘0’,’x ’,’z ’,’y ’,’z ’,’z ’,’y ’,’x ’ } B[8]={‘0’,’z ’,’x ’,’y ’,’y ’,’z ’,’x ’,’z ’}⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡4433221043332110433221103332211022222110222111101111110000000000⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡2122212022211220121222101312221022211220131222103133312000000000(a) c[i][j] （b ）s[i][j]所以，最长公共字串为 (x,y,z,z)。

7-15)}0,0{(1=-S , )}2,10{(01=S ,)}2,10(),0,0{(0=S , )}7,25(),5,15{(11=S ,)}7,25(),5,15(),2,10(),0,0{(1=S , )}15,31(),13,21(),10,16(),8,6{(21=S , )}15,31(),13,21(),10,16(),8,6(),0,0{(2=S)}16,40(),14,30(),11,25(),9,15(),1,9{(31=S , )}15,31(),14,30(),13,21(),10,16(),9,15(),8,6(),0,0{(3=S8-1．状态空间：描述问题的各种可能的情况，一种情况对呀状态空间的一个状态。

显示约束：用于规定每个xi 取值的约束条件称为显示约束隐式约束：用于判定一个候选解是否为可行解的条件问题状态：在状态空间树中的每个节点称为一个问题状态解状态：如果从根到树中某个状态的路径代表一个作为候选解的元组，则该状态为解状态答案状态：如果从根到树中某个状态的路径代表一个作为可行解的元组，则该状态为解状态。

活结点：回溯法从开始结点出发，以深度优先的方式搜索整个解空间，这个开始结点就成为一个活结点。

未检测的结点称为活结点扩展结点：算法从x出发，访问x的摸个后继结点y，则x被称为扩展结点约束函数：一个约束函数是关于部分向量的函数Bk(x0,x1.....xk),它被定义为：如果可以判定Y的子树上不含任何答案状态，则Bk(x0,x1.....xk)为false,否则为true.剪枝函数：约束函数和限界函数的目的相同，都是为了剪去不必要搜索的子树，减少问题求解所需实际生成的状态节点数，他们统称为剪枝函数8-7尽管输入差异很大，但当n很大时对于某些输入而言，回溯法仍然可以在短时间内求解。

（1）为最好情况，计算时间为n;(2)为无序情形；（3）为最坏情形，计算时间为n∙2n。