第三节 函数项级数的一致收敛性本节将讨论函数项级数有关性质。

定义 1 设 )(1x u ，)(2x u ，……，)(x u n ，……，是集合E 上的函数列，我们称形为)(1x u +)(2x u +……+)(x u n +……为E 上的函数项级数，简记为∑∞=1)(n n x u 。

其中)(x u n 称为第n 项.)(x u k +)(1x u k ++……+)(x u n +……也记为∑∞=kn n x u )(. 记号中n 可以用其它字母代之.同研究常数项级数一样，我们类似可以定义其收敛性。

定义 2 设∑∞=1)(n n x u 是集合E 上的函数项级数，记∑==ni i n x u x S 1)()(=)(1x u +)(2x u +……+)(x u n ，它称为级数∑∞=1)(n n x u 的部分和函数（严格地说是前n 项部分和函数）.{})(x S n 称为∑∞=1)(n n x u 的部分和函数列。

如果{})(x S n 在0x 点收敛，我们也说∑∞=1)(n n x u 在0x 点收敛或称0x 为该级数的收敛点。

如果|)(|1∑∞=n n x u 在0x 点收敛，我们称∑∞=1)(n n x u 在0x 点绝对收敛。

非常容易证明绝对收敛一定收敛。

{})(x S n 的收敛域也称为该级数的收敛域。

如果{})(x S n 在0x 点不收敛，我们说∑∞=1)(n n x u 在0x 点发散。

如果{})(x S n 在D 上点态收敛于)(x S ，我们称∑∞=1)(n n x u 在D 上点态收敛于)(x S . )(x S 称为该级数的的和函数。

)()()(x S x S x R n n -=称为该级数关于前n 项部分和的余项. {})(x R n 称为该级数的余项函数列.如果{})(x S n 在D 上一致收敛于)(x S ，我们称∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛于)(x S ，或∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛. 如果{})(x S n 在D 上内闭一致收敛于)(x S ，我们称∑∞=1)(n n x u 在D 上内闭一致收敛.用N -ε的进行叙述将是：设∑∞=1)(n n x u 是D 上函数项级数，)(x S 是D 上函数。

若对任意ε>0，总存在一个正数正数N （只能依赖于ε，绝对不依赖于x ），当N n >时，对一切的D x ∈，总有ε<-∑=|)()(|1x S x u ni i ，则称该函数项级数在D 上一致收敛于)(x S . 同样一致收敛一定点态收敛.例 1 定义在（—∞，+∞）上的函数项级数（几何级数）ΛΛΛΛ+++++=∑∞=-n n n x x x x2111的部分和函数是xx x S nn --=11)( .显然当|x |<1时xx S n n -=∞→11)(lim . 1||≥x 时，几何级数是发散的。

其收敛域是（—1，1）. 显然几何级数在（—1，1）上不是一致收敛的.函数列的有关结论，都可以不加证明地推广到函数项级数.定理11. 8 （函数项级数一致收敛Cauchy 准则）函数项级数∑∞=1)(n n x u 在集合D 上一致收敛的充分必要条件是： 对任意ε>0,总存在正数N ，使得当正整数m ，n ，有 m >n >N 时，对一切的x ∈D,都有推论 ∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛的必要条件是{})(x u n 在D 上一致收敛于0。

反之未必（请读者举例）.定理11. 9 ∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛的充分必要条件是其余项函数列{})(x R n 一致收敛于0.定理11. 10 （Weierstrass 判别法）设∑∞=1n n a 是收敛的正项级数，∑∞=1)(n n x u 是D 上的函数项级数。

如果ΛΛ,3,2,1,,|)(|=∈≤n D x a x u n n ，则∑∞=1)(n n x u 在D上一致收敛。

证明 因正项级数∑∞=1n n a 收敛，所以，任意ε>0，存在正数N , 当 N n m >,(m >n ) 时,ε<+++++||11m n n a a a ΛΛ.那么对任意,D x ∈<+++++|)()()(|11x u x u x u m n n ΛΛε<+++++m n n a a a ΛΛ11，由Cauchy 准则，得证。

例 ∑∞=+1221)sin(n n nx 在（—∞，+∞）上一致收敛。

定理11. 11 （Abel 判别法）设函数项级数∑∞=1)(n n x b 在D 上一致收敛，函数列{})(x a n 在D 上一致有界，即存在常数M, 使得M x a n ≤|)(|，D x ∈，ΛΛ,3,2,1=n ，如果{})(x a n 关于n 是单调的，那么 ∑∞=1)()(n n n x b x a 在D 上一致收敛。

证明 因∑∞=1)(n n x b 一致收敛，所以任意ε>0，存在正数N , 当 N n m >,(m >n ) 时,对所有,D x ∈ 13|)()()(|11+<+++++M x b x b x b m n n εΛΛ。

又εε<++≤++=∑|))(|2|)((|13)()(11x a x a M x b x a m n mn k n n .由一致收敛Cauchy 准则即证。

定理11. 12 （Dirichlet 判别法）设D 上函数项级数∑∞=1)(n n x b 的部分和函数列在D 上一致有界，函数列{})(x a n 在D 上一致收敛于0，如果{})(x a n 关于n 是单调的，那么 ∑∞=1)()(n n n x b x a 在D 上一致收敛。

证明 因∑∞=1)(n n x b 的部分和函数列在D 上一致有界, 所以存在M>0,使得∑==n kn k n x b x S 1)()(满足);,3,2,1(,|)(|D x n M x S n ∈=≤Λ, 所以,2|)(|M x b mkn k ≤∑=),(D x n m ∈>. 又{})(x a n 在D 上一致收敛于0，所以任意ε>0，存在正数N , 当 N n > 时, 对所有,D x ∈16|)(|+<M x a n ε。

当 N n m >, (m >n ) 时,对所有,D x ∈εε<+⨯≤+≤++=∑1632|))(|2|)((|2)()(11M M x a x a M x b x a m n mn k k k .又由Cauchy 一致收敛准则即证。

例 如果常数列{}n a 单调收敛于0，那么∑∞=1)sin(n n nx a 在（0，2π）上内闭一致收敛。

证明 数列{}n a 收敛于0意味着关于x 一致收敛于0，对任意（0，2π）的子集[a, b ],当记 M =min{2sin ,2sin b a }>0, 则任意[a, b ]中的x ，有Mx 1|2sin|1≤. 所以 M x xx n kx nk 1|2sin |2|2cos )21cos(||)sin(|1≤-+=∑=. 由Dirichlet 判别法知道，原级数在（0，2π）上内闭一致收敛. 下面将给出与函数列相应的一些性质，不于证明：定理11. 13 （连续性）若函数函数项级数∑∞=1)(n n x u 的每一项在区域D 上都连续。

如果∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛于)(x S ，则其和函数)(x S 在D 上也连续。

即∑∑∞=→∞=→=11)(lim )(limn n x x n nx x x u x u.定理11. 14 （逐项可积性）设函数列∑∞=1)(n n x u 在],[b a 上一致收敛，每一项在],[b a 上都连续, 则∑⎰⎰∑∞=∞==11)()(n ban b a n ndx x u dx x u.即积分与无限求和运算可交换。

定理11.15 （逐项可微性）设函数列{})(x u n 在],[b a 上满足： （1）,......)3,2,1(),(=n x u n 有连续导函数； （2）∑∞=1)(n n x u 点态收敛于)(x S ；（3）∑∞=1)('n n x u 一致收敛于)(x v ，则)(x S 在],[b a 上可导，并且 )()()('x v dxx dS x S ==， 即∑∑∞=∞==11))(())((n n n n x u dxdx u dx d . 也就是说在一定条件下，求导运算与无限求和运算交换顺序。

定理11. 16 设函数项级数∑∞=1)(n n x u 在区域D 上点态收敛于)(x S ，如果（1）在 D 上连续；（2）)(x S 在D 上连续；（3）对D 上每个固定的x ，不变号，则∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛于)(x S .习题 11-31.判别下列级数的一致收敛性,.....)3,2,1)((=n x u n {})(x u n1） 2||21),(!12≤≤+-∞=∑x x x n n nnn ； 2）,10,!)(ln 1≤≤∑∞=x n x x n n n3）;0,31sin 21∞<<∑∞=x x n n n4）1,)1(1->+-∑∞=x n x n n； 2.设)(x u n 在(0, 1 )里单调增加, )(x u n ≥0, (n =1,2,……). 如果∑∞=1)(n nx u在 (0, 1 )里点态收敛,且有上界, 那么∑∞=1)(n n x u 在(0, 1 )里一致收敛. 且 ∑∑∞=-→∞=-→=1111)(lim )(lim n n x n nx x u x u3.证明 ∑∞=-12)(1n x n 当x ≠整数时收敛, 其和函数是为1的周期函数, 并且当x ≠整数时, 和函数连续.4.设)(x u n 在[a, b ]上连续(n =1,2,……), ∑∞=1)(n n x u 在 (a, b 1 )里一致收敛, 证明∑∞=1)(n n x u 在[a, b ] 上一致收敛.5.设{}n x 是(0, 1)中的两两不同的数列, 讨论∑∞=-12)sgn(n nn x x 在(0, 1)中的连续性.其中 0,0,0,101sgn <=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x . 6. 证明∑∞=+12)1(n nx x在(0,+∞)上，∑∞=1ln n n x x 在[0，1]上非一致收敛. 7.证明∑∞=-1n nx ne 在(0,+∞)内收敛, 但非一致收敛, 而和函数在(0,+∞)内有无穷次导数.8.证明∑∞=11nxn在x>1内连续。