例2：已知球体直径是1个单位，求球体体积（用上述最新推导公式） V =πR平方×周长的1/4 = 3.14159×0.25×0.7853975 = 0.616849233
球体体积计算方法二
1、球的体积 如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小时会得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积之和 正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于相应的圆柱的体积，因 此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。 步骤： 第一步：分割 如图：把半球垂直于底面的半径OA作 n等分，过这些等分点，用一组平行于 底面的平面把半球切割成n个“小圆片”， “小圆片”厚度近似为 ，底面是“小圆 片”的底面。
=
=
在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD=
==
又SD交CD于点D 所以：AB⊥平面SCD 即：棱锥S﹣ABC的体积：V=AB•S△SCD，
因为：SD= ，CD= ，SC=4 所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD2+CD2﹣SC2） =
（ + ﹣16）
==
则：sin∠SDC=
=
由三角形面积公式得△SCD的面积S=SD•CD•sin∠SDC==3
球体体积计算方法二
ri
R O
第二步：求和
第三步：化为准确和
例题1
有一种空心钢球，质量为142g,测得外径等于5.0cm，求它的内径（钢 的密度为7.9g/cm3,精确到0.1cm).
例题1
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
由计算器算得: 答:空心钢球的内径约为4.5cm.
例题2
∵AM＝BM＝4，取AB中点N，连结MN，
则MN⊥AB，且MN＝ 42－32 ＝ 7 ，
∴S△ABM＝ 3 7，∴V三棱锥＝ 6 7．
又三棱锥每个面面积和都为12， ∴S＝4×12＝48，∴V三棱锥＝ 48 R＝16R．
3
练习1
1、球的大圆面积增大为原来的4倍，那么球的体积增大为原来的（ ）
A．4倍 B．8倍 C．16倍 D．32倍
5．表面积为Q的多面体的每个面都外切于半径为R的一个球，则多面体与球的体积 之比为______．
练习2
1．已知三个球的表面积之比为1∶4∶9，若它们的体积依次为V1、V2、V3，则V1＋V2＝ 1
__3_V_3_ 2．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为l，则球 的体积为___36π___．
空间几何体之球的体积练习1
用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积
为（ ）
A.
B.
C.
D.
空间几何体之球的体积练习1
用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积
为（ ）
A.
B.

C.
D.
解：截面面积为π⇒截面圆半径为1，又与球心距离为1⇒球的半径
是 ，所以根据球的体积公式知
2．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距
为l，则球的体积为_________．
4
3．将一个玻璃球放人底面面积为64πcm2的圆柱状容器中，容器水面升高 3 cm，则 玻璃球的半径为__________．
4．将一个半径为R的木球削成一个尽可能大的正方体，则此正方体的体积为 ______．
4 3．将一个玻璃球放人底面面积为64πcm2的圆柱状容器中，容器水面升高 3 cm，则玻璃球的 半径为___4cm ___． 4．将一个半径为R的木球削成一个尽可能大的正方体，则此正方体的体积为_8_9_3_R__3 ． 5．表面积为Q的多面体的每个面都外切于半径为R的一个球，则多面体与球的体积之比为 __Q∶4πR2 __．
所以：棱锥S﹣ABC的体积：V= AB•S△SCD=
=
故选C
课堂小结
1、了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割→求近 似和→化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方
法—极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定 积分”内容的一个应用； 2、熟练掌握球的体积公式
THANKS
2、三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积 和的（ ）
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
3、棱长为1的正方体内有一个球与正方体的12条棱都相切，则球的体积为
（）

A．4π B．4
2 C．3

D．π
练习1
1、球的大圆面积增大为原来的4倍，那么球的体积增大为原来的（ B ）
三棱锥A－BCD的两条棱AB＝CD＝6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切 球的体积．
例题2
解：设球半径为R，三棱锥A－BCD表面积为S，则V三棱锥＝
RS 3
．取CD中点M，连结
AM、BM．
∵AC＝AD＝5，∴CD⊥AM．
同理CD⊥BM，∴CD⊥平面ABM，
1
∴V三棱锥＝ （3 CM＋MD），S△AMB＝2S△AMB．
• 设以球心作一条垂线或水平中心线，然后以垂线或水平中心向外将球体按等分 无限分割成N个半圆楔形体。见图七、图八。
图解球体体积计算方法
• 球体分割完成后，将半圆楔形体镜像排列成圆柱体，见图九、图十。
图解球体体积计算方法
从图七、图八、图九、图十看，球体从中心按等分分割成半圆楔形体后可以排列 堆砌成圆柱体，根据计算得出定义：与球体同直径同体积的圆柱体的柱高正好是 球体周长的1/4。 则球体体积公式为：V =πR平方×周长的1/4 或：V = D（直径的三次方）×0.616849233
解：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD 因为线段SC是球的直径，
所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC=∠SBC=90°
所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30° 得：AC=2，SA=2
又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30° 得：BC=2，SB=2 则：SA=SB，AC=BC
因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD=
A．4倍 B．8倍 C．16倍 D．32倍
2、三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积 和的（ C ）
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
3、棱长为1的正方体内有一个球与正方体的12条棱都相切，则球的体积为
（C）

A．4π B．4
2 C．3

D．π
练习2
1．已知三个球的表面积之比为1∶4∶9，若它们的体积依次为V1、V2、V3，则V1＋ V2＝_____
球的体积
上海师范大学数理学院 潘璐瑶
教学目标
• 掌握球的体积公式． • 掌握球的体积公式的推导过程及主要思想进一步理解分割→近似求和→精
确求和的思想方法． • 会用球的体积公式解快相关问题，培养学生应用数学的能力． • 能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题．
图解球体体积计算方法
，故选B．
空间几何体之球的体积练习2
已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB= 则棱锥S﹣ABC的体积为（ ）
，∠ASC=∠BSC=30°，
空间几何体之球的体积练习解答
1.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=
，∠ASC=∠BSC=30°，
则棱锥S﹣ABC的体积为（ ）