第五章《相交线与平行线》习题精讲精析提要：本章的考查重点是垂线的概念与平行线的性质和判定．本章的难点则是推理证明的引入，这也是几何入门难的难点之一．因为以前没接触过逻辑推理，对于为什么要推理和怎样进行推理很陌生，不知道应由什么，根据什么，推出什么．不容易分清“判定”与“性质”有什么本质区别．解决以上教学难点的关键是按照本部分知识的安排，循序渐进地去了解与掌握推理论证，要求会进行一二步推理，会写一些简单命题的已知、求证．习题一、填空题1．a 、b 、c 是直线，且a ∥b ，b ⊥c ，则a 与c 的位置关系是________．2．如图5-1，MN ⊥AB ，垂足为M 点，MN 交CD 于N ，过M 点作MG ⊥CD ，垂足为G ，EF 过点N 点，且EF ∥AB ，交MG 于H 点，其中线段GM 的长度是________到________的距离， 线段MN 的长度是________到________的距离，又是_______的距离，点N 到直线MG 的距离是___．3．如图5-2，AD ∥BC ，EF ∥BC ，BD 平分∠ABC ，图中与∠ADO 相等的角有_______ 个，分别是___________．4．因为AB ∥CD ，EF ∥AB ，根据_________，所以_____________． 5．命题“等角的补角相等”的题设__________，结论是__________． 6．如图5-3，给出下列论断：①AD ∥BC ：②AB ∥CD ；③∠A =∠C ．以上其中两个作为题设，另一个作为结论，用“如果……，那么……”形式，写出一个你认为正确的命题是___________．G H NM F EDC BA FEODCBA 图5-1 图5-2DC BAFEO D CBAclNMb a21图5-3 图5-4 图5-57．如图5-4，直线AB 、CD 、EF 相交于同一点O ，而且∠B O C=23∠AOC ，∠DOF =13∠AOD ，那么∠FOC =_____ _ 度．8．如图5-5，直线a 、b 被c 所截，a ⊥l 于M ，b ⊥l 于N ，∠1=66°，则∠2=________． 9．如图5-6，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，则图中与∠A 互余的角有 个，它们分别是 ．∠A =∠ ，根据是 ．10．如图5-7，一棵小树生长时与地面所成的角为80°，它的根深入泥土，如果根和小树在同一条直线上，那么∠2等于 °．11．如图5-8，量得∠1=80°，∠2=80°，由此可以判定 ∥ ，它的根据是 ．量得∠3=100°，∠4=100°，由此可以判定 ∥ ，它的根据是 ．12．猜谜语：（打本章两个几何名称）剩下十分钱： ；斗牛 ． 13．a 、b 、c 是直线，且a ∥b ， b ∥c ， 则a ___c ; a 、b 、c 是直线，且a ⊥b ， b ⊥c ， 则a ___c ;14． 如图5-9，直线AD 、BC 交于O 点，∠+∠=︒AOB COD 110，则∠COD 的度数为 ．15． 如图5-10，直线AB 与CD 交于O 点，∠−∠=︒3180，则∠2= ．16． 如图5-11，直线AB 、EF 相交于O 点，CD AB ⊥于O 点，∠=︒'EOD 12819，则∠∠BOF AOF ,的度数分别为 ．二、选择题17．若a ⊥b ，c ⊥d 则a 与c 的关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交D ．以上都不对 18．如图5-12，∠ADE 和∠CED 是（ ）A ．同位角B ．内错角C ．同旁内角D ．互为补角 19．如图5-13，l l 1211052140//，，∠=∠=οο，则∠=α（ ） A ． 55οB ． 60οC ． 65οD ． 70ο20．如图5-14，能与∠α构成同旁内角的角有（ ） A ． 5个 B ．4个 C ． 3个 D ． 2个21．如图5-15，已知AB CD //，∠α等于（ ） A ． ο75B ． 80οC ． 85οD ． 95ο AB 120°α25°C DBMCA N P D22．如图5-16，AB CD MP AB MN ////，，平分∠∠=∠=AMD A D ，，4030οο，则∠NMP 等于（ ）A ． 10οB ． 15οC ． 5οD ． 75.ο23．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30ο，那么这两个角是（ ）图5-13 图5-15 图5-16A ． 42138οο、B ． 都是10οC ． 42138οο、或4210οο、D ． 以上都不对24．如图5-17，a ∥b ，∠1与∠2互余，∠3=1150，则∠4等于（ ）A ．115０B ． 155０C ． 135０D ．125０25．如图5-18，∠1=15０ ， ∠AOC =90０，点B 、O 、D 在同一直线上，则∠2的度数为（ ）A ．75０B ．15０C ．105０D ． 165０26．如图5-19，能表示点到直线（或线段）距离的线段有（ ）A ． 2条B ．3条C ．4条D ．5条 27．下列语句错误的是（ ）A ．连接两点的线段的长度叫做两点间的距离B ．两条直线平行，同旁内角互补C ．若两个角有公共顶点且有一条公共边，和等于平角， 则这两个角为邻补角D ．平移变换中，各组对应点连成两线段平行且相等28．如图5-20，如果AB ∥CD ，那么图中相等的内错角是（ ）A ．∠1与∠5，∠2与∠6；B ．∠3与∠7，∠4与∠8；C ．∠5与∠1，∠4与∠8；D ．∠2与∠6，∠7与∠329．下列语句：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（ ）A ．①、②是正确的命题B ．②、③是正确命题C ．①、③是正确命题D ．以上结论皆错30．下列与垂直相交的洗法：①平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直，那么它与另一条也垂直;③平行内， 一条直线不可能与两条相交直线都垂直，其中说法错误个数有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 三、解答题31．如图5-21，过P 点，画出OA 、OB 的垂线．d第（18）题4321cba 第（20）题DCBAO第（19）题DCBA21图5-17 图5-18 图5-1987654321D CB A 图5-202.32．如图5-22，过P点，画出AB、CD的垂线．3.BCD33．如图5-23，是一条河，C河边AB外一点：（1）过点C要修一条与河平行的绿化带，请作出正确的示意图．（2）现欲用水管从河边AB，将水引到C处，请在图上测量并计算出水管至少要多少?（本图比例尺为1：2000）BA34．如图5-24，AB⊥BD，CD⊥MN，垂足分别是B、D点，∠FDC=∠EBA．（1）判断CD与AB的位置关系;（2）BE与DE平行吗?为什么?NMFEDCBA图5-21图5-22图5-2435．如图5-25，∠1+∠2=180°，∠DAE =∠BCF ，DA 平分∠BDF ． （1）AE 与FC 会平行吗?说明理由． （2）AD 与BC 的位置关系如何?为什么?（3）BC 平分∠DBE 吗?为什么．F E21DCBA36．如图5-26，已知：CE =DF ，AC =BD ，∠1=∠2．求证：∠A =∠B ．B37．如图5-27，已知：AB //CD ，AB =CD ，求证：AC 与BD 互相平分．图5-25图5-26图5-2638．如图5-27，已知：E 、F 分别是AB 和CD 上的点，DE 、AF 分别交BC 于G 、H ，∠A =∠D ，∠1=∠2，求证：∠B =∠C ．2 ABECFD HG 139．如图5-28，已知：在∆ABC 中，∠=︒C 90，AC =BC ，BD 平分∠CBA ，DE AB ⊥于E ，求证：AD +DE =BE ．40．如图5-29，已知：AB //CD ，求证：∠B +∠D +∠BED =360︒（至少用三种方法）EABCD图5-27 图5-28图5-29参考解析： 一、填空题 1．互相垂直2．点M ，直线CD 点M ，直线EF 平行线AB 、EF 间 线段GN 的长度 3．4个 ∠EOB 、 ∠DOF 、∠ABD 、∠CBD4．两条直线都与第三条直线平行，这两条直线也互相平行 CD ∥EF 5．两个角是相等两角的补角 这两个角相等6．如果一个四边形的两组对边平行，那么它的对角相等;或若一个四边形的一组对边平行，一组对角相等，那么它的另一组对边也互相平行 7．156 8．114°9．两;∠ACD 和∠B;∠BCD;同角的余角相等 10．10°11．AB ∥CD;同位角相等，两直线平行;EF ∥GH;内错角相等，两直线平行 12．余角;对顶角 13．∥;∥14．55︒（点拨：Θ∠=∠∴∠=∠=︒AOB COD AOB COD 55）15．50︒（点拨：Θ∠+∠=︒∠−∠=︒⎧⎨⎩311803180，∴∠=︒∠=︒⎧⎨⎩1503130，又︒=∠∴∠=∠50221Θ）16． 3819'︒；14141'︒（点拨：9138909112890'︒=︒−'︒=∠−∠=∠∴︒=∠AOD EOD AOE AOD Θ，9138'︒=∠=∠∴AOE BOF ，又Θ∠+∠=︒BOF AOF 180，141419138180'︒='︒−︒=∠∴AOF ）二、选择题 17．C 18．B 19．C 20．A 21．C 22．C 23．D 24．B 25．C 26．D 27．C 28．D 29．A 30．D三、解答题 31．如图5-12.32．如图5-23.33．略．34．（1）CD∥AB因为CD⊥MN，AB⊥MN，所以CDN=∠ABM=90°所以CD∥AB（2）平行因为∠CDN=∠ABN=90°，∠FDC=EBA所以∠FDN=∠EBN所以FD∥EB35．（1）平行因为∠1+∠2=180°，∠2+∠CDB=180°（邻补角定义）所以∠1=∠CDB所以AE∥FC（同位角相等两直线平行）（2）平行，因为AE∥CF，所以∠C=∠CBE（两直线平行，内错角相等）又∠A=∠C 所以∠A=∠CBE所以AF∥BC（两直线平行，内错角相等）（3）平分因为DA平分∠BDF，所以∠FDA=∠ADB因为AE∥CF，AD∥BC所以∠FDA=∠A=∠CBE，∠ADB=∠CBD所以∠EBC=∠CBD36．证明：答图5-1ΘΘ∠=∠∴∠=∠=∴+=+==∠=∠=∴≅∴∠=∠⎧⎨⎪⎩⎪12（已知）（等角的补角相等）（已知）即在和中，（已知）（已证）（已证）（）（全等三角形的对应角相等）ECB FDA AC BD AC CD BD CDAD BCADF BCE DF CE FDA ECB AD BC ADF BCE SAS A B ∆∆∆∆37． 证明：ΘAB CD //（已知）∴∠=∠∠=∠∠=∠=∠=∠∴≅∴==⎧⎨⎪⎩⎪BAO DCO ABO CDO ABO CDO BAO DCO AB CD ABO CDO ABO CDO ASA AO CO BO DO ，（两直线平行，内错角相等）在和中（已证）（已知）（已证）（），（全等三角形对应边相等）∆∆∆∆即AC 与BD 互相平分． 38． 证明：Θ∠=∠12（已知）∠=∠∴∠=∠∴∴∠=∠12AHB AHB AF ED D AFC （对顶角相等）（等量代换）（同位角相等，两直线平行）（两直线平行，同位角相等）//又Θ∠=∠A D （已知）∴∠=∠∴∴∠=∠A AFC AB CD B C （等量代换）（内错角相等，两直线平行）（两直线平行，内错角相等）//39． 证明：ΘBD CBA 平分（已知）∠∴∠=∠⊥∴∠=︒∠=︒EBD CBD DE AB DEB C （角平分线的定义）（已知）（垂直的定义）（已知）ΘΘ9090∴∠=∠DEB C （等量代换） 在∆∆DEB DCB 和中∠=∠∠=∠=∴≅⎧⎨⎪⎩⎪DEB C EBD CBD DB DB DEB DCB AAS （已证）（已证）（公共边）（）∆∆ ∴==+==∴+=DE DC BE BC AD DC AC BC AD DE BE ，（全等三角形的对应边相等）（已知）（等量代换）Θ40． 证明：（1）连结BD ，如图5-3DΘΘAB CD ABD CDB BED ABD CDB BED ABE CDE BED //（已知）（两直线平行，同旁内角互补）（三角形内角和为）即∴∠+∠=︒∠+∠+∠=︒︒∴∠+∠+∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒1801218018012360360（2）延长DE 交AB 延长线于F ，如图5-4D ΘΘAB CD F D ABE FEBF BED FBE F ABE CDE BED //（已知）（两直线平行，同旁内角互补），（三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠+∠=︒∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠+∠+∠180=∠+∠+∠+∠+∠FEB F CDE FBE F=︒+︒=︒180180360（3）过点E 作EF//AB ，如图5-5 答图5-3 答图5-4D ΘAB CD //∴AB EF CD ////（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠+∠+∠+∠=︒+︒=︒∴∠+∠+∠=︒B BEF D DEF B BEF D DEF B D BED 180180180180360360（两直线平行，同旁内角互补）答图5-5。