阿波罗尼斯（Apollonius）圆法二：设平面上有不同的两点A,B ，那么该平面上使得k PBPA= 为定值k （1≠k ）的P 的轨迹是一个圆。

这个定理的证明方法很多。

下面是笔者的分析与证明，希望读者喜欢。

如图，P是平面上一动点，A、B是两定点，PA：PB＝ m：n ，M是AB的内分点（M在线段AB上），N是AB的外分点（N在AB的延长线上）且AM：MB＝AN：NB＝m：n，则P点的轨迹是以MN为直径的圆。

下面先证明两个定理：一、如图一，已知M是BC上一点，且AB：AC＝BM：MC，求证：AM平分∠BAC（三角形内角平分线定理的逆定理）证明：过C点作CD∥AM交BA的延长线于D，则AB：AD＝BM：MC∵AB：AC＝BM：MC，∴AB：AD ＝AB：AC，∴AC＝AD，∴∠D＝∠3，∵CD∥AM，∴∠1＝∠D，∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AM平分∠BAC。

二、如图二，N是BC延长线上一点，BN：CN＝AB：AC，求证：AN平分∠BAC的邻补角∠EAC. 证明：∵CD∥AN交AB于D，则BN：CN＝AB：AD.∵BN：CN＝AB：AC∴AB：AD＝AB：AC，AD＝AC，∴∠3＝∠4.∵DC∥AN，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4∴∠1＝∠2∴AN平分∠BAC的邻补角∠EAC有了上面的证明，阿波罗尼斯圆定理的证明就不难了，证明如下：连结PM、PN，∵M为AB的内分点PA：PB＝AM：MB ＝m：n，∴PM平分∠APB∵N为AB的外分点，AN：BN＝PA：PB ＝m：n∴PN平分∠BPE∵∠APB＋∠BPE＝180º，又∠2＝∠APB/2，∠3＝∠BPE/2∴∠2＋∠3＝（∠APB＋∠BPE）/2即∠MPN＝90º∴动点P到MN的中点O的距离等于MN（定值）的一半（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆阿波罗尼斯圆一、适用题型1、已知两个线段长度之比为定值；2、过某动点向两定圆作切线，若切线张角相等；3、向量的定比分点公式结合角平分线；4、线段的倍数转化；二、基本理论（一）阿波罗尼斯定理（又称中线长公式）设三角形的三边长分别为c b a ,,，中线长分别为c b a m m m ,,,则：222222222222221221221cb a mc b a m b c a m a c b +=++=++=+（二）阿波罗尼斯圆一般地，平面内到两个定点距离之比为常数(1)λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”()()()()则，若设不妨设,,1,0,0,0,,0,y x P a BP AP a B a A ≠>>=-λλλ()()2222y a x y a x +-=++λ化简得：2222221211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-a y a x λλλλ 轨迹为圆心a a 12011222-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+λλλλ，半径为，的圆 （三）阿波罗尼斯圆的性质1、满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比λ内分AB 和外分AB 所得的两个分点；2、直线CM 平分ACB ∠，直线CN 平分ACB ∠的外角；3、BN ANBM AM = 4、CN CM ⊥5、内在圆点内；在圆时，点O A O B ,101<<>λλ；6、若AD AC ,是切线，则CD 与AO 的交点即为B ；7、若点B 做圆O 的不与CD 重合的弦EF ，则AB 平分EAF ∠；三、补充说明1、关于性质1的证明定理：B A ,为两已知点，Q P ,分别为线段AB 的定比为()1≠λλ的内、外分点，则以PQ 为直径的圆O 上任意点到B A ,两点的距离之比等于常数λ。

证明：不妨设1>λ1,1,1,1,-=-=+=+==λλλλλλaBQ a AQ a BP a AP CD PQ O B a AB ，则垂直的弦的与直径作圆过点设 由相交弦定理及勾股定理得：λλλλλλλλ=-=-=-=-+=+=-=⋅=BC ACa AC a BC a a a BC AB AC a BQ BP BC 则于是,1,111122222222222222从而C Q P ,,同时在到B A ,两点距离之比等于λ的曲线（即圆）上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此圆O 上任意点到B A ,两点距离之比等于常数。

2、关于性质6的补充若已知圆O 及圆O 外一点A ，则可作出与点A 对应的点B ，只要过点A 作圆O 两条切线，切点分别为D C ,，连结CD 与AQ 即交于点B 。

反之，可作出与点B 对应的点A四、典型例题例1 （教材例题）已知一曲线是与两个定点(0,0)O 、(3,0)A 距离的比为12的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。

解：设点(,)M x y 是曲线上任意一点，则222212(3)x y x y +=-+，整理即得到该曲线的方程为：22(1)4x y ++=。

例2 （2003北京春季文）设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ，求P 点的轨迹. 解：设动点P 的坐标为（x ，y ）由a yc x y c x a a PB PA =+-++>=2222)()()0(||||，得.化简得.0)1()1()1(2)1(2222222=-+-+++-y a a c x a c x a当01)1(2,122222=++-++≠y c x a a c x a 得时，整理得222222)12()11(-=+-+-a ac y c a a x . 当a =1时，化简得x =0.所以当1≠a 时，P 点的轨迹是以)0,11(22c a a -+为圆心，|12|2-a ac为半径的圆； 当a =1时，P 点的轨迹为y 轴.例3 （2005江苏高考数学）如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O .圆2O 的切线PM 、PN （M.N 分别为切点），使得PN PM 2=试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程解：以1O 2O 的中点O 为原点，1O 2O 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则1O （-2，0），2O （2，0）， 由已知PN 2PM =，得222PN PM =因为两圆的半径均为1，所以)1(212221-=-PO PO设),(y x P ，则]1)2[(21)2(2222-+-=-++y x y x ， 即33)6(22=+-y x ，所以所求轨迹方程为33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）例4 （2006四川高考理）已知两定点(2,0)A -、(1,0)B ，如果动点P 满足2PAPB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（ ） （A ） （B ）4 （C ）8 （D ）9解：B例5 （2008江苏高考）BC AC AB ABC 2,2==∆中，，则ABC S ∆的最大值为________. 答案：34变形：3:5:,4==∆CB CA AB ABC 中，，则ABC S ∆的最大值为________. 答案：215 例6 设点D C B A ,,,依次在同一直线上，2,3,6===CD BC AB ，已知点P 在直线AD 外，满足CPD BPC APB ∠=∠=∠，试确定点P 的几何位置。

解：先作线段AC 关于2:1的阿氏圆1ϖ，再作线段BD 关于3:2的阿氏圆2ϖ，两圆交点即为点P ，同时该点关于直线AD 的对称点也为所求。

例7 （2011年南通一模）已知等腰三角形一腰上的中线长为3，则该三角形面积的最大值为__________.例8 （2013江苏高考）如图，在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在上．（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．解：（1）联立：，得圆心为：C (3，2)． 设切线为：， d ＝，得：．故所求切线为：．xy A lO（2）设点M (x ，y )，由，知：，化简得：， 即：点M 的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ． 又因为点在圆上，故圆C 圆D 的关系为相交或相切． 故：1≤|CD |≤3，其中．解之得：0≤a ≤125 ．例9 圆21,O O 圆不等且外离，现有一点P ，它对于1O 圆所张的视角与对于2O 圆所张的视角相等，试确定点P 的几何位置答案：做圆21,O O 圆的内、外公切线，分别交连心线21O O 于点B A ,，以线段AB 为直径的圆 ，就是线段21O O 关于21:r r 的阿氏圆，该圆上任意一点都符合要求。

例10 在x 轴正半轴上是否存在两个定点A 、B ，使得圆224x y +=上任意一点到A 、B 两点的距离之比为常数12？如果存在，求出点A 、B 坐标；如果不存在，请说明理由。

解：假设在x 轴正半轴上是否存在两个定点A 、B ，使得圆224x y +=上任意一点到A 、B 两点的距离之比为常数12，设(,)P x y 、1(,0)A x 、2(,0)B x ，其中210x x >>。

即221222()12()x x y x x y -+=-+对满足224x y +=的任何实数对(,)x y 恒成立， 整理得：222212212(4)43()x x x x x x y -+-=+，将224x y +=代入得： 2212212(4)412x x x x x -+-=，这个式子对任意[2,2]x ∈-恒成立，所以一定有：12222140412x x x x -=⎧⎨-=⎩，因为210x x >>，所以解得：11x =、24x =。

所以，在x 轴正半轴上是否存在两个定点(1,0)A 、(4,0)B ，使得圆224x y +=上任意一点到A 、B 两点的距离之比为常数12。

例11 铁路线上线段100AB =km ，工厂C 到铁路的距离20CA =km 。

现要在A 、B 之间某一点D 处，向C 修一条公路。

已知每吨货物运输1km 的铁路费用与公路费用之比为3:5，为了使原料从供应站B 运到工厂C 的费用最少，点D 应选在何处？解：建立如图所示直角坐标系，先求到定点A 、C 的距离之比为35的动点(,)P x y 的轨迹方程，即：222235(20)x y x y +=+-，整理即得动点(,)P x y 的轨迹方程：2244909000x y y ++-=，令0y =，得15x =±（舍去正值）即得点(15,0)D -15,25DA DC ==。