所以该渐近线的斜率为 ,
所以 ,即 ,
所以 ,
故选:A.
【点睛】
本题考查双曲天走的路程构成了公比 的等比数列,再根据求和公式列式求解即可.
【详解】
由题意可知,此人每天走的路程构成了公比 的等比数列,
设该数列为 ,其前 项和为
则有 ,解得 ,
故 ,
故选:A.
【点睛】
本题考查不等式的基本性质,结合了指数函数,属于简单题.
4．A
【分析】
根据直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，可得“ ”等价于“ ”,再判断充要性即可.
【详解】
根据直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，则 等价于“ .
故“ ”是“ ”的充分不必要条件,
故选:A.
【点睛】
本题考查命题的充要关系,结合的直线倾斜角,斜率等相关知识,难度不大.
5．C
【分析】
运用三角形法则和平行四边形法则将式子化简,再利用数量积公式求解即可.
【详解】
在正方形 ,有 ,
,
故选:C.
【点睛】
本题考查向量的基本运算,需要灵活运用各类公式,属于简单题.
6．A
【分析】
根据题意求出渐近线的斜率,从而得到 之间的等量关系,进而求出离心率.
【详解】
因为双曲线的一条渐近线与直线 垂直,
北京市北京大学附属中学2020-2021学年高三上学期月考（12月）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合A={x|x<1}，B={x| }，则
A． B．
C． D．
2．已知复数 的实部和虚部相等，则 （）
A． B．
C． D．
7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
二、填空题
10．抛物线 的准线方程为______.
11．已知四个函数：① ，② ，③ ，④ ，从中任选2个，若所选2个函数的图像有且仅有一个公共点，则这两个函数可以是______.（写出一对序号即可）
12．在正项等比数列 中，若 ， ， ， 成等差数列，则 ______.
【点睛】
本题考查了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键.
8．D
【分析】
作出 的图像,结合图像一一分析选项正误即可.
【详解】
作出 的图像如下图所示:
当 时, ,故不论 取何值, ,故A选项正确;
当 时, ,其值域为 ,故B选项正确;
若 在 上单调递增,结合上图可知 或 ,故C选项正确;
21．已知数列 ： ， ， ，…， 为1，2，3，…， 的一个排列，若 互不相同，则称数列 具有性质 .
（1）若 ，且 ，写出具有性质 的所有数列 ；
（2）若数列 具有性质 ，证明： ；
（3）当 时，分别判断是否存在具有性质 的数列 ？请说明理由.
参考答案
1．A
【解析】
∵集合
∴
∵集合
∴ ，
故选A
2．B
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围.
17． 的内角 的对边分别为 已知 .
（1）求角 和边长 ；
（2）设 为 边上一点，且 ,求 的面积.
18．已知 过 ， ， 三点.
（1）求 的标准方程；
（2）直线 ： 与 相交于 ， 两点，求 的面积（ 为圆心）.
19．已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 ，证明“ ”是“ ”的充分不必要条件.
20．已知椭圆 ： 与 轴交于 ， 两点， 为椭圆 的左焦点，且 是边长为2的等边三角形.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过点 的直线与椭圆 交于不同的两点 ， ，点 关于 轴的对称点为 （ 与 ， 都不重合），判断直线 与 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.
【解析】
【分析】
化简复数 ,求出其实部,虚部,列式求解即可.
【详解】
,
因为复数 的实部和虚部相等,
所以 ,即 ,
故选:B.
【点睛】
本题考查复数,属于简单题.
3．D
【分析】
根据不等式的性质逐一判断选项正误即可.
【详解】
若 ,则 , , ,故A,B,C选项错误;
因为 在 上递增,所以 ,故D选项正确;
故选:D.
若方程 有解,结合上图可知 或 ,故D选项错误;
故选:D.
【点睛】
本题考查分段函数,要求学生具有结合图像进行分析推导的能力.
9．A
【分析】
根据题意可知: 的纵坐标 的纵坐标, 为线段 中点与原点连线的斜率,故结合图像即可得出结论.
【详解】
①因为 为第 名工人在这一天中加工的零件总数,
则 的纵坐标 的纵坐标;
13．方程 在区间 上的解集为______.
14．设a＞0,b＞0．若关于x,y的方程组 无解，则 的取值范围是．
15．对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 和 之间的新运算 ： .若非零的平面向量 ， 满足： 和 都在集合 中，且 .设 与 的夹角 ，则 ______.
三、解答题
16．已知函数 .
的纵坐标 的纵坐标;
的纵坐标 的纵坐标;
结合图像可知: , , 中的最大值为 ;
②因为 为第 名工人在这一天中平均加工的零件数,
A．-1B．1
C．2D．-2
3．已知 ，则下列不等式成立的是（）
A． B．
C． D．
4．已知直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知正方形 的中心为 ，且边长为1，则 （）
A．-1B．
C．1D．
6．双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的离心率为（）
A．96里B．48里
C．192里D．24里
8．已知函数 ，则下列结论错误的是（）
A． B． 时， 的值域为
C． 在 上单调递增时， 或 D．方程 有解时，
9．三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 的横、纵坐标分别为第 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 的横、纵坐标分别为第 名工人下午的工作时间和加工的零件数， .记 为第 名工人在这一天中加工的零件总数，记 为第 名工人在这一天中平均加工的零件数，则 ， ， 中的最大值与 ， ， 中的最大值分别是（）