1.3.1利用导数判断函数的单调性学案编号：GEXX1-1T3-3-1
【学习要求】1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
【学法指导】结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想.
一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
导数函数的单调性
f′(x)>0单调递
f′(x)<0单调递
f′(x)＝0常函数
探究点一函数的单调性与导函数正负的关系
问题1观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？
问题2若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？
问题3(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题1中(4)的单调区间.
(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？
例1已知导函数f′(x)的下列信息：
当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4或x<1时，f′(x)<0；当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0.
试画出函数f(x)图象的大致形状.
跟踪训练1函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状.
例2求下列函数的单调区间：
(1)f (x )＝2x (e x －1)－x 2； (2)f (x )＝3x 2－2ln x .
跟踪训练2 求下列函数的单调区间：
(1)f (x )＝x 2
－ln x ； (2)f (x )＝e x
x －2
； (3)f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x <2π).
探究点二 函数的变化快慢与导数的关系
问题 我们知道导数的符号反映函数y ＝f (x )的增减情况，怎样反映函数y ＝f (x )增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？
例3 如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.
跟踪训练3 已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象只可能是
( )
【达标检测】
1.函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是
( )
A.单调增函数
B.单调减函数
C.在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是增函数
D.在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1
e ，6上是减函数 2.
f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是 ( )
3.函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调增区间为
( )
A.⎝⎛⎭
⎫0，1
a B.⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞ C.(0，＋∞) D.(0，a )
4.(1)函数y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为______，减区间为______. (2)函数f (x )＝x 3－x 的增区间为______，减区间为______.
【课堂小结】1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.
2.利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤为(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求导数f ′(x )； (3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.
1. 3.1 利用导数判断函数的单调性 练习题
一、基础过关
1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是
( )
A ．(－∞，2)
B ．(0,3)
C ．(1,4)
D ．(2，＋∞)
3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b <0时，f (x )是 ( )
A ．增函数
B ．减函数
C ．常数
D ．既不是增函数也不是减函数 4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是
( )
A ．y ＝sin x
B ．y ＝x e 2
C ．y ＝x 3－x
D ．y ＝ln x －x
5．函数y ＝f (x )在其定义域⎝⎛⎭⎫－3
2，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．
6．函数y＝x－2sin x在(0,2π)内的单调递增区间为________________．
7. 已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，试画出函数y＝f(x)的大致图象．
二、能力提升
8．如果函数f(x)的图象如图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是()
9．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当a<x<b时，有() A．f(x)>g(x) B．f(x)<g(x) C．f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a) D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b) 10．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则a的取值范围为________．
11．求下列函数的单调区间：
(1)y＝x－ln x；(2)y＝1
2x.
12．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x －y＋7＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
三、探究与拓展
13．已知函数f(x)＝mx3＋nx2 (m、n∈R，m≠0)，函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与x轴平行．
(1)用关于m的代数式表示n；
(2)求函数f(x)的单调增区间．。