1.3.2 含有一个量词的命题的否定
一、基础过关
1． 已知命题p ：∀x ∈R ，cos x ≤1，则命题p ：____________________________________.
2． 命题“一次函数都是单调函数”的否定是____________________________________．
3． 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是______________________．
4． 命题“某些平行四边形是矩形”的否定是____________________．
5． 命题p ：“存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根”，则“非
p ”形式的命题为____________________________________．
6． 已知命题p ：“∃x ∈R ＋，x >1x ”，命题p 的否定为命题q ，则q
是“__________”；q 的真假为________(填“真”或“假”)．
7． 已知命题q ：“三角形有且仅有一个外接圆”，则命题q 为“_________________”．
8． 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图象都开口向下；
(3)存在一个四边形不是平行四边形．
二、能力提升
9． 已知命题p ：“a ＝1”是“∀x >0，x ＋a x ≥2”的充要条件，命题
q ：∃x 0∈R ，x 2＋x －1>0.则下列结论中正确的序号为________． ①命题“p ∧q ”是真命题；
②命题“p ∧命题q ”是真命题；
③命题“命题p ∧q ”是真命题；
④命题“命题p ∨命题q ”是假命题．
10．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则
实数m 的取值范围是________________________________________________________________________．
11．命题p 是“对某些实数x ，有x －a >0或x －b ≤0”，其中a 、b 是常数．
(1)写出命题p 的否定；
(2)当a、b满足什么条件时，命题p的否定为真？
12．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax ＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．
三、探究与拓展
13．已知命题p：∀m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥m2＋8；命题q：∃x，使不等式x2＋ax＋2<0.若p或q是真命题，命题q是真命题，求a的取值范围．
答案
1． ∃x ∈R ，cos x >1
2． 有些一次函数不是单调函数
3． 存在一个能被2整除的数不是偶数
4． 每一个平行四边形都不是矩形
5． 对任意实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实数根
6． ∀x ∈R ＋，x ≤1x 假
7． 存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆
8． 解 (1)是全称命题且为真命题．
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.
(2)是全称命题且为假命题．
命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．
(3)是存在性命题且为真命题．
命题的否定：任意一个四边形都是平行四边形．
9． ③
10．3≤m <8
11．解 (1)命题p 的否定：对任意实数x ，有x －a ≤0且x －b >0.
(2)要使命题p 的否定为真，需要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －a ≤0，x －b >0
的解集不为空集，
通过画数轴可看出，a 、b 应满足的条件是b <a .
12．解 由已知得命题p ：∀x ∈[1,2]，
x 2＋2ax ＋2－a ≤0成立．
∴设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，
则⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0f (2)≤0，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋2a ＋2－a ≤04＋4a ＋2－a ≤0， 解得a ≤－3，∵命题p 为假，
∴a >－3，即a 的取值范围是(－3，＋∞)．
13．解 根据p 或q 是真命题，命题q 是真命题，得p 是真命题，q 是假命题．
∵m ∈[－1,1]，∴m 2＋8∈[22，3]．
因为∀m ∈[－1,1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8，
所以a 2－5a －3≥3，∴a ≥6或a ≤－1.
故命题p 为真命题时，a ≥6或a ≤－1.
又命题q ：∃x ，使不等式x 2＋ax ＋2<0，
∴Δ＝a2－8>0，∴a>22或a<－22，
从而命题q为假命题时，－22≤a≤22，所以命题p为真命题，q为假命题时，
a的取值范围为－22≤a≤－1.。