把式（4）往后挪一期，有
（4）
v(kt 1 ) u[wt 1 (1 rt 1 )kt 1 kt 2 ](1 rt 1 )
用式（5）代替式（3）中的 v(kt 1 ) ，可以得到
（5）
u(ct ) u(ct 1 )(1 rt 1 ) 0
第一部分
高级宏观经济学的数学基础
高级宏观经济学中许多模型用到了动态最优化理论。这一部分主要介绍动态最优 化理论的基本原理和方法，作为学习高级宏观经济学的必要准备知识。 动态最优化理论主要包括变分法、最优控制论和动态规划。
第三讲
动态规划
前面两节介绍了用变分法和最优控制理论（即极大值原理）求解动态最优化问题 （我们主要介绍的是连续时间问题）。同样，动态最优化问题也可以用动态规划方法 来求解。动态规划是美国数学家贝尔曼 1957 年提出的，同最优控制论一样，动态规划 也被说成现代变分法。 动态规划包括离散时间和连续时间两种情形，它在解决离散时间问题时较为方 便，我们这里重点讲离散时间下的方法。此外，动态规划可以解决确定性条件下和不 确定条件下的动态最优化问题，与变分法和最优控制相比，动态规划是求解不确定下 动态最优化问题很方便的工具，但由于要涉及大量其他数学工具以及课程时间所限， 我们这里只介绍解决确定性问题的方法。 一、动态规划原理与贝尔曼方程 （一）动态规划问题的特点
kt 1
（2）
式（2）的一阶条件（对 kt 1 求偏导）是
u[wt (1 rt )kt kt 1 ] v(kt 1 ) 0
让式（2）两边对 k t 求偏导，并应用包络定理，可以得到
（3）
v(kt ) u[wt (1 rt )kt kt 1 ](1 rt )
5
ct ,kt 1 t 0
max tU (ct )

s.t.
ct kt 1 wt (1 rt )kt kt lim 0 t t t 0 (1 rt )
这里， k0 给定， wt 是工资率， rt 是资本的租金率。
如果把消费者的这个最优化问题用贝尔曼方程的方法表示出来，为
v(kt ) max[u(ct ) v(kt 1 )]
ct ,kt 1
s.t.
ct kt 1 wt (1 rt )kt kt lim 0 t t 条件（1）代入目标函数中，有
v(kt ) max u[ wt (1 rt )kt kt 1 ] v(kt 1 )
1
（二）贝尔曼方程
2
3
二、离散时间无限界期的动态规划 贝尔曼方程的形式
4
动态规划的解
三、经济学应用：新古典增长模型中的消费者最优化问题 模型设定 消费者储存资本并进行投资，即消费者的财富是以资本的形式表示的。在每一期 里，消费者都会把资本租给厂商并向厂商出售自己的劳动。假设劳动并不会给消费者 带来任何负效用，因此，不论工资率为多少，劳动供给始终是 1 单位。消费者实际上 就相当于在求解如下一个跨期最优化问题：
该方程就是实现消费者最优的欧拉方程。
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