4.5 图乘法原理
1. 教学要求
正确理解图乘法和应用条件以及图乘法的含义，能够利用图乘法计算梁、刚架的位移，理解各种弯矩图的叠加并能够根据叠加进行图乘。

2. 教学内容
4.5.1 图乘法及应用条件
4.5.2 常见图形的面积和形心
4.5.3 图乘法的几个具体问题
4.5.4 图乘法应用举例
4.5.1 图乘法及应用条件
（1）问题的提出
梁和刚架位移的公式：
积分计算复杂，在已知荷载和虚设单位力作用下的弯矩图下，能否找到更好的方法。

（2）公式推导
图4.9为某直杆段AB 的两个弯矩图，其中Mi 图为直线，抗弯刚度EI 为常数：
图4.9
在多个杆件情况下，
式中：
A 是Mx 图的面积；
y0是在Mx 图形心C 对应处的Mi 图标距
（3）应用条件：
杆件应是等截面直杆；
两个图形中至少有一个是直线，标距y0 应取自直线图形中。

（4）正负号规定：
面积A 与标距y0 在同一侧时，两者乘积取正号；反之取负号。

4.5.2 常见图形的面积和形心
常见图形的形心和面积（图4.10）。

图4.10
以上图形的抛物线均为标准抛物线：抛物线的顶点处的切线都是与基线平行
4.5.3 应用图乘法时的几个具体问题
(1) 如果两个图形都是直线图形，标距可任取自其中一个图形（图4.11）。

图4.11
(2) 如果有一个图形为折线，则应分段考虑（图4.12）
图4.12
(3) 如果图形比较复杂，应根据弯矩图的叠加原理将图形分解为几个简单图形，分项计算后再进行叠加图4.13
图4.13
（图4.13b中A1与y1的乘积为负值；图4.13c中抛物线为非标准曲线）。

4.5.4 图乘法应用举例
例5：试计算图4.14悬臂梁B 点和C点的竖向位移、B点的转角位移，EI 为常数。

图4.14
解: （1）虚设单位荷载，作实际状态和虚设单位荷载的弯矩图
（B 点和C点的竖向位移、B点的转角位移分别为图4.15a、b和c)。

图4.15
2）实际荷载弯矩图中计算面积，单位荷载弯矩图中计算竖标, 代入公式，图乘。

B 点竖向位移：
C 点竖向位移：
B 点转角位移：
例5：试求出图4.16刚架结点B 的水平位移和转角，EI 为常数
图4.16
解: （1）虚设单位荷载，作实际状态和虚设单位荷载的弯矩图（图4.17a、b、c）
图4.17
（2）代入公式，图乘。

B 点竖向位移：
B 点转角位移：。