集合中的元 素没有固定 的顺序
集合的分类
不含任何元素的集合
空集
含有有限个元素的集合
有限集
含有无穷个元素的集合
无限集
集合的表现形式
把集合中的元素一一列举 出来，写在大括号内，元 素之间用逗号分开的方法
列举法围 成的图形（文氏 图）表示集合
图示法
描述法
把集合中坎的共 同特性描述出来 ，写在大括号内
表现 形式
图纸
表格
示意图 列表 动画
几何直观运用领域
运用于数学的各个领域
数与代数领域 空间与图形领域 统计与概率领域 实践与统合应用领域
我们不仅在几何教学中要重视几何直观，在整个数学教学中 都应该重视几何直观，培养几何直观应该贯穿于教学始终。
平移与旋转
9的乘法口诀
计算公式的推导 1 1+3 1+3+5 1+3+5+7
填空题
判断题 假设思想的应用 应用题
分数中单位1
鸡兔同笼问题
假设思想方法
比和比例 实际问题
逻辑推理问题
图形的周长、面积和体积 等问题中都有应用
案例1：小明和妈妈恰好花100元买了10本书， 单价有8元一本的和13元一本的两种。 其中8元一本的和13元一本的各买了几本？
案例2：足球比赛门票是20元一张，平均每场有 5000名观众，降价后每场观众增加了50%， 收入增加了20%，降价后门票的价格是多少？
小学里的集合
图示法
用封闭曲线圈起来看作一个整体——集合 圈内对象——为元素
集合与集合的关系（包含） 集合与集合的交集、 集合与集合的并集 等运算在小学数学中应用
2 12 4 6 14 8 16 10 20
认数 与记数
一年级上册
加法 运算
同样多 的概念 公约数 公倍数
一年级上册
渗透等价集合的概念
两个数共同的约数和倍数
四基
基础 知识
基本 技能
基本 思想
基本 活动 经验
数学教材的两条主线
数学 基础知识
数学基础知识是一条明线 数学思想方法是一条暗线
数学 思想方法
教学时应充分挖掘由数学基础知识所反映出来的数学思想方法
数学思想方法
数学 思想
数学思想方法
数学 方法
指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某
数学 思想
些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它 揭示了数学发展中普遍的规律，它直接支配着 数学实践活动，这是对数学规律的理性认识。
数形结合思想
数形结合思想 数形结合思想包含两个方面
Content Title 往往在研究“数”的时候借助于“形”
以形助数
借助形的生动和直观性来阐 明数之间的联系
往往在探讨“形”的性质时又离不开 “数”
以数辅形
借助于数的精确性和规范严 密性来阐明形的某些属性
几何直观的表现形式
图形
几何图形 线段图 数轴 方格纸 坐标 方向标
校 门
180米
妹：
每分钟60米
兄妹二人走的时间不变
可逆思想
思维的可逆性，即从正向思维转为逆向思维 可逆是逻辑思维中的基本思想 心理学家皮亚杰把可逆思维作为儿童智慧发 展的重要标准
逆向 数数 逆运算 公式的 双向应用 实际问题 应用时 整除
倒着数数 减法和除法 如在面积=长×宽中已知面积和长，求宽
简便运算
计算：12×25 可以通过转化， 将12分解成3×4 这样就变成 12×25=（3×4）×25 =3×（4×25）=300
28 3 7 10 10 4 1 7
这样利用约分 就能很快获得本题的解
“分而治之、各个击破、综合归纳”
作用 数学知识的分类有助于学 生对知识的梳理和建构 不同的分类标准就会有不同的 分类结果，从而产生新的概念 概念
数学教学 就是数学 思维活动 的教学 数学教育 承载着“发 展儿童的思 维”的重任
在教师 的指导下
由于数学 自身的特点
数学教学实质上就是学生在教师指导下， 通过数学思维活动，学习数学家思维活动 的成果，并发展数学思维，使学生的数学 思维结构向数学家的思维结构转化的过程
数学课程标准 2011版
CEO 双基
数学 方法
就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问 题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是
解决数学问题的策略。
小学数学思想方法
由于小学数学内容比较简单，知识 最为基础，所以隐藏的数学思想和数学 方法很难截然分开，更多的反映在联系 方面，其本质往往是一致的。如常用的 分类思想和分类方法，集合思想和集合 在本质上都是相通的，所以小学数学通 常把数学思想和方法看成一个整体概 念，即小学数学思想方法。
其本身的大小不变，由一种形式变换成另一种形式的思想方法
这里的变换是可逆的双向变换
转换可以是等价的，也可以是不等价的 在解决数学问题时，转换是一种非常有用的策略
对问题进行转换时,既可转换已知条件,也可转换问题的结论
分数与小数的乘除法
计算：2.8÷113÷17÷0.7 直接计算比较麻烦， 而分数的乘除运算比小数 方便，故可将原问题转换为：
加法交换律
方程的意义
可以激发学 生的创造力
类比思想方法
不仅使数学知识容 易理解而且使公式 的记忆变得顺水推 舟得自然和简洁
将已知的一类数 学对象的性质迁 移到另一类数学 对象上去的思想
数学家波利亚所说：“我们应该讨论一般化和特殊化和 类比的这些过程本身，它们是获得发现的伟大源泉。”。
乘法交换律
象形统计图 单式统计表 复式统计表 单式条形统计图
单式折线统计图
一年级统计
条形统计图
折线统计图
平均数
复式横向条形统计图
扇形统计图
概率
统计与概率
概率是对随机事件发生的可能性大小的一种度量
概率值
事件的概率是确定 的、不变的常数， 是理论上的精确值， 它的值大于零小于1
小学中的概率
主要认识事件的可能 性大小以及等可能
学习的意义
有助于正确把握教材体系
有助于培养学生思维能力
有助于对小学生进行辩证唯物主义的启蒙
有助于对学生进行美育渗透
数学美
数学美的特点
有序
简明
对称
统一
对应 思想
小学数学
思想 方法
数形结 合思想
集合 思想
统计 思想
符号化
思想
极限 思想
对应思想方法
对应指的是一个系统 中的某一项在性质、作用、 位置上跟另一系统中的某 一项相当。对应是人们对 两个集合因素之间的联系 的一种思想方法。
目
前 言
录
小学数学思想方法 小学数学思想方法梳理
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后 记
小学数学教育的现代化，不是内容现代 化，而是数学思想及教育手段的现代化
教学实践表明 能力培养 社会对数学 价值的要求
加强数学思想的教学是基 础数学教育现代化的关键
数学思想 方法的渗透
人类的活动离不开思维，思维能力的发展程度 是整个智力发展的缩影和标志。
3. Title
小学采用直观 手段，利用图 形和实物渗透 集合思想
集合思想的特征
集合是现代数学的基础
给定一个集 合，按照明 确的判断标 准确定一个 元素，或者 在这个集合 里，或者不 在这个集合 里，不能模 棱两可
集合中的元 素一定是不 同的. 即集 合中的元素 没有重复的
确定性
互异性
集合特征
无序性
小学生思维以形 象思维为主逐步 向逻辑思维过渡
渗透有限与无限、 在小学数学中渗 曲与直、变与不变 透着既对立又统 的辩证关系 一的辩证思维
刘徽“割圆术”
庄子
3.14159
“一尺之棰， 日取其半， 万世不竭。”
自然数
直线、射线与线段
“自然数” “奇数” “偶数”
循环小数
平行与垂直
一个数量的变化，往往会引起另一个数 量的变化，但是在诸多变化的条件中，常常 会有一些不变的数量，我们解决问题时，往 往需要抓住这些不变量，寻找解决问题的突 破口，这就是“变中抓不变”的思想方法。
一支铅笔、一本书、一栋房子对
应一个抽象的数“1”， 两只眼睛、一对耳环、双胞胎对
应一个抽象的数“2”
直线上的点（或数轴）与表示具 体的数是一一对应
在“多与少”这一内容中，一个 茶杯盖与每一个茶杯对应
对应思想方法
本质是一一对应
提高学生分析问题 和解决问题的能力
可化抽象为具体
面积 （物体面积与单位对应）
三角形的面积
长方形的面积公式 为长×宽＝a×b， 通过类比两个相同的三角形
圆锥体体积
由加法交换律 a＋b＝b＋a
圆柱体体积公式 为底面积×高， 那么圆锥体体积
的学习迁移到
乘法交换律 a×b=b×a 的学习
可以拼成一个长方形，
因此得到三角形的面积公式为 长（底）×宽（高）÷2
可以理解为
底面积×高÷3
＝a×b（h）÷2
俄国教育家乌申斯基说过：“比较是一切理解和一切思维的基础。”
比较 思想 方法
人类对一切 事物的认识 都是建筑在 比较的基础上 或同中辨异 或异中求同
比较思想是 数学中常见的 思想方法之一 是促进学生思 维发展的手段
小学生学习数学知识，也同样需要通过对数学材料的比 较，理解新知的本质意义，掌握知识间的联系和区别。
直线、射线与线段
三角形的分类
集合思想
把若干确定的有 区别的事物合并 起来，看作一个 整体，就称为一 个集合，各事物 称为集合的元素 .
1. Title
把一些能够确定 的不同对象看成 一个整体，就说 这个整体是由这 些对象的全体构 成的集合