《高职数学》公开课教案
课题：§ 4.4 分部积分法
课型：讲授
教学目的、要求：理解分部积分法的思想方法，正确选取u 、dv ，熟练掌握分部
积分法公式
教学重点、难点：分部积分法及其应用,恰当选取u 、dv
教学内容：
一、分部积分法
设函数u =u (x )及v =v (x )具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为
'+'='uv u (uv)v
移项得 v '-'='u (uv)uv
对这个等式两边求不定积分, 得
⎰⎰'-='vdx u uv dx v u , 或⎰⎰-=vdu uv udv ,称为不定积分的分部积分公式。

二、例题
例1
C e xe dx e xe xde dx xe x x x x x x +-=-==⎰⎰⎰ 例2 ⎰⎰⎰-==xdx x x x xd xdx x sin sin sin cos
C x x x ++=cos sin
. 利用这个公式的关键在于选取适当的u 和dv
选取的一般原则:1.v 容易求得(凑微分法);
2.u vd ⎰比⎰udv 容易求.
例3求
⎰dx e x x 2
解： x x de x dx e x ⎰
⎰=22 C e xe e x dx e xe e x dx
xe e x dx e e x x x x x x x x x x x ++-=--=-=-=⎰⎰⎰22)
(222222
2
例4求 ⎰xdx x arctan
解： ⎰⎰=2arctan 21arctan xdx xdx x [][]
C x x x x dx x x x dx x x x x x d x x x ++-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=⎰⎰⎰arctan arctan 2
1)111(arctan 211arctan 21arctan arctan 2122222222 例5 34434411111ln ln ()ln ln 444416
x x xd x x x x dx x x x C 分部积分法的使用技巧
(1)被积函数是两个不同类型函数的乘积； (2)u 的选取按“反、对、幂、三、指”顺序。

例6求xdx e x sin ⎰.
解 因为⎰⎰⎰-==x d e x e xde xdx e x x x x sin sin sin sin ⎰⎰-=-=x x x x xde x e xdx e x e cos sin cos sin ⎰+-=x d e x e x e x x x cos cos sin
⎰--=xdx e x e x e x x x sin cos sin ,
所以 C x x e xdx e x x +-=
⎰)cos (sin 21sin . 练习: (1)
(2)xdx x ln 2⎰
例7 求 ⎰dx e x
解： 令 t x =，则 2t x =，tdt dx 2=，因此
[]C x e C
e te dt
te tdt
e dx e x t t t t x +-=+-===⎰⎰⎰)1(2 2 2 2
三、小结
使用分部积分公式⎰⎰-=vdu uv udv
(1)原则:v 容易求得(凑微分法); u vd ⎰比⎰udv 容易求;
(2)U 的选取按 “反对幂三指”的顺序。

四、作业
习题4.3 P 109 2、（1）（4）（6）,习题4.4 P 111 1、（3）（5）（6）。