第三节图形旋转变换问题
,中考重难点突破)
旋转是图形的一种重要变换．在实际解题中，若我们能恰当地运用图形的旋转变换，往往能起到集中条件、开阔思路、化难为易的效果．图形的旋转变换，既要借助于推理，但更要借助于直觉和观察，变换的意识与变换的视角，会使这种直觉更敏锐，使这种观察更具眼力．
【例1】(2015莱芜中考)如图，已知△ABC 是等腰三角形，顶角∠BAC＝α(α＜60°)，D 是BC 边上的一点，连接AD ，线段AD 绕点A 顺时针旋转α到AE ，过点E 作BC 的平行线，交AB 于点F ，连接D E ，BE ，DF.
(1)求证：BE ＝CD ；
(2)若AD⊥BC，试判断四边形BDFE 的形状，并给出证明．
【解析】全等三角形的判定与性质；菱形的判定；旋转的性质．
【学生解答】证明：(1)∵△ABC 是等腰三角形，顶角∠BAC＝α(α＜60°)，线段AD 绕点A 顺时针旋转α到AE ，∴∠DAE ＝α，AE ＝AD ，∴∠BAE ＝∠CAD ，又∵等腰△ABC ，∴AB ＝AC.在△ABE 和△ACD 中，
⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD，AE ＝AD ，
∴△ACD ≌△ABE(SAS )，∴BE ＝CD ；(2)∵AD⊥BC，∴BD ＝CD ，∴BE ＝BD ＝CD ，∠BAD ＝∠CAD，∴∠BAE ＝∠BAD，在△ABD 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AD ，∠BAE ＝∠BAD，AB ＝AB ，
∴△ABD ≌△ABE(SAS )，∴∠EBF ＝∠DBF，∵EF ∥BC ，∴∠DBF ＝∠EFB，∴∠EBF ＝∠EFB，∴EB ＝EF ，∴BD ＝BE ＝EF ，∴四边形BDFE 为菱形．
【例2】(2016吉林中考)(1)如图①，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以点B 为中心，把△ABC 逆时针旋转90°，得到△A 1BC 1；再以点C 为中心，把△ABC 顺时针旋转90°，得到△A 2B 1C.连接C 1B 1，则C 1B 1与BC 的位置关系为________；
(2)如图②，当△ABC 是锐角三角形，∠ABC ＝α(α≠60°)时，将△ABC 按照(1)中的方式旋转α.连接C 1B 1，探究C 1B 1与BC 的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；
(3)如图③，在图②的基础上，连接B 1B ，若C 1B 1＝23
BC ，△C 1BB 1的面积为4，则△B 1BC 的面积为________．
【学生解答】解：(1)平行(或C1B1∥BC)；(2)C1B1∥BC.解法一：如图②，过点C1作C1D⊥BC于点D，过点B1作B1F⊥BC于点F，则C1D∥B1F，∠C1DB＝∠B1FC＝90°.由旋转可知，BC1＝BC＝CB1，∠C1BD＝∠B1CF.∴△C1BD≌△B1CF(AAS)．∴C1D＝B1F.又C1D∥B1F，∴四边形C1DFB1是平行四边形．∴C1B1∥BC.解法二：证明：如图③，过点C1作C1E∥B1C交BC于点E，则∠C1EB＝∠B1CB.由旋转可知，BC1＝BC＝B1C，∠C1BC＝∠B1CB.∴∠C1BC＝∠C1EB.∴C1B＝C1E.∴C1E＝B1C.又C1E∥B1C，∴四边形C1ECB1是平行四边形．∴C1B1∥BC；(3)6.
模拟题区
1．(2016遵义十一中二模)如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′(此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上)，A′B′交AD于点E，连接AA′、CE.求证：
(1)△ADA′≌△CDE；
(2)直线CE是线段AA′的垂直平分线．
证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADC ＝90°，∴∠A ′DE ＝90°，根据旋转的性质可得：
∠EA′D＝45°，∴∠A ′ED ＝45°，∴A ′D ＝DE ，在△ADA′和△CDE
中⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADA ′＝∠EDC，A ′D ＝ED ，∴△ADA ′≌△CDE(SAS )；(2)∵AC＝A′C，∠ACE ＝∠A′CE，∴点C 在AA′的垂直平分线上，∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴∠CAE ＝
45°，∵AC ＝A ′C ，CD ＝CB′，∴AB ′＝A′D，在△AEB′和△A′ED，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAB ′＝∠EA′D，∠AEB ′＝∠A′ED，AB ′＝A′D，
∴△AEB ′≌△A ′ED ，∴AE ＝A′E，∴点E 也在AA′的垂直平分线上，∴直线CE 是线段AA′的垂直平分线．
2.(2016遵义十二中三模)某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 与AFE 按如图(1)所示位置放置，现将Rt △AEF 绕A 点按逆时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，如图(2)，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P .
(1)求证：AM ＝AN ；
(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由．
解：(1)由题意，得AB ＝AF ，∠BAM ＝∠FAN ，在△ABM 和△AFN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FAN ＝∠BAM，AB ＝AF ，∠B ＝∠F，
∴△ABM ≌△AFN(ASA )，∴AM ＝AN ；(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF 是菱形．理由：连接AP ，∵∠α＝30°，∴∠FAN ＝30°，∴∠FAB ＝120°.∵∠B ＝60°，∴∠B ＋∠F AB ＝180°，∴A F∥B P ，∴∠F ＝∠FPC＝60°，∴∠FPC ＝∠B＝60°，∴AB ∥FP .∴四边形ABPF 是平行四边形，∵AB ＝AF ，∴平行四边形ABPF 是菱形．
中考真题区
3．(2014河北中考)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝40°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转100°.得到△ADE，连接BD ，C E 交于点F.
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求∠ACE 的度数；
(3)求证：四边形ABFE 是菱形．
解：(1)∵ABC 绕点A 按逆时针方向旋转100°，∴∠BAC ＝∠DAE＝40°，∴∠BAD ＝∠CAE＝100°，又∵AB＝
AC ，∴AB ＝AC ＝AD ＝AE ，在△ABD 与△AC E 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE，AD ＝AE ，
∴△ABD ≌△ACE(SAS )；(2)∵∠CAE＝100°，AC ＝AE ，∴∠ACE ＝12(180°－∠CAE)＝1
2
(180°－100°)＝40°；(3)∵∠BAD＝∠CAE＝100°，AB ＝AC ＝AD ＝AE ，∴∠ABD ＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC＝40°.∵∠BAE ＝∠BAD＋∠DAE＝140°，∴∠BAE ＋∠ABD＝180°，∴AE∥BF，∠BAE ＋∠AEF＝180°，∴AB ∥E F.∴四边形ABFE 是平行四边形，∵AB ＝AE ，∴平行四边形ABFE 是菱形．
4．(2015永州中考)在同一平面内，△ABC 和△ABD 如图①放置，其中AB ＝BD.小明做了如下操作：
将△ABC 绕着边AC 的中点旋转180°得到△CEA，将△ABD 绕着边AD 的中点旋转180°得到△DFA，如图②，请完成下列问题：
(1)试猜想四边形ABDF 是什么特殊四边形，并说明理由；
(2)连接EF ，CD ，如图③，求证：四边形CDEF 是平行四边形．
解：(1)四边形ABDF 是菱形．理由如下：∵△ABD 绕着边AD 的中点旋转180°得到△DFA，∴AB ＝DF ，BD ＝
FA ，∵AB ＝BD ，∴AB ＝BD ＝DF ＝FA ，∴四边形ABDF 是菱形；(2)∵四边形ABDF 是菱形，∴AB ∥DF ，且AB ＝DF ，∵△ABC 绕着边AC 的中点旋转180°得到△CEA，∴AB ＝CE ，BC ＝EA ，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AB ∥CE ，且AB ＝CE ，∴CE ∥FD ，CE ＝FD ，∴四边形CDEF 是平行四边形.。