y = Φ(ϕ )，于是有
dΦ = dy dx = − sinϕ dy = − 1 − x2 dy
dϕ dx dϕ
dx
dx
( ) dΦ = dy dx = d ( − 1 − x2 dy ) dx = −x dy + 1 − x2 d 2 y
dϕ dx dϕ dx
dx dϕ dx
dx 2
将 x, y, 及 y 的导数代入式（6.1.6）中，整理得
分离变量θ ,ϕ ，则有
−
1 Θ
d 2Θ dθ 2
=
1 Φ
sin ϕ
d dϕ
⎜⎜⎝⎛ sin ϕ
dΦ dϕ
⎟⎟⎠⎞
+
n(n
+ 1)sin 2
ϕ
此式的左端只于θ 有关，因此只有二者均为常数时它们才能相等。由于式（6.1.1）在球坐标系下的一 切（单值）解都应是关于变量θ 的周期函数，周期为 2 π ，因而 Θ 也是以 2π 为周期的周期函数。与
第6章 勒让德多项式
本章我们将研究勒让德多项式在解决数学物理方程定解问题中的一些应用。首先应用分离变量法， 在球坐标系中对拉普拉斯方程进行分离变量，导出勒让德方程；并讨论这个方程的解法及解的有关性 质；指出勒让德方程在区间[-1，1]上的有界解构成了一类正交函数系—勒让德多项式。
6．1 勒让德方程的导出
对上式求导，得出 y′, y′′ 的级数表达式，连同式（6.2.2）一齐代入式（6.2.1），整理得
（6.2.1） （6.2.2）
∞
∑{(k + 1)(k + )2 ak+2 + [n(n + 1) − k(k + 1)]ak }xk = 0
k =0
由于上式为恒等式，所以 x 的各次幂的系数必需都是零，所以
(k + 1)(k + )2 ak+2 + [n(n + 1) − k(k + 1)]ak = 0
得
ak +2
=
−
(n − (k
k )(n + k −1) +1)(k + 2)
ak
(k = 0,1,2,L)
（6.2.3）
令 k = 0,2,4,L, 得
a2
=
−
n(n +
2!
1)
a0
a4
=
−
n(n
−
2)(n +1)(n
dx 2
dx
式（6.1.8）称为勒让德方程。一部分定解问题的求解，最后都归纳为勒让德方程的求解。
（6.1.8）
6．2 勒让德方程的求解
பைடு நூலகம்
和求贝赛尔方程一样，我们设勒让德方程
的解为
( ) 1 − x2 d 2 y − 2x dy + n(n + 1)y = 0
dx 2
dx
∞
∑ y = ak x k k =0
式中，A，B 为任意常数。
式（6.1.3）中喊有两个自变量θ ,ϕ ，再次应用分离变量的方法，令Y (θ ,ϕ ) = Θ(θ )Φ(ϕ )，代入（6.1.3）
式中，整理得
1 sin ϕ
d dϕ
⎜⎜⎝⎛ sin ϕ
dΦ dϕ
⎟⎟⎠⎞Θ
+
1 sin 2 ϕ
d 2Θ dθ 2
Φ
+
n(n
+ 1)ΘΦ
=
0
4!
+
3) a0
a6
=
−
n(n
−
2)(n
− 4)(n +1)(n
6!
+ 3)(n
+ 5)
a0
M
再令 k = 1,3,5,L, 得
a3
=
−
(n
− 1)(n
3!
+
2)
a1
a5
=
−
(n
− 1)(n
− 3)(n
5!
+
2)(n
dr
1 sin ϕ
∂ ∂ϕ
⎜⎜⎝⎛ sin ϕ
∂Y ∂ϕ
⎟⎟⎠⎞ +
1 sin 2 ϕ
∂ 2Y ∂θ 2
+ n(n + 1)Y
=
0
（6.1.2） （6.1.3）
式（6.1.3）的解 Y (θ ,ϕ) 与半径 r 无关，故称之为球面函数，或简称为球函数。
式（6.1.2）是欧拉方程，其通解为
R(r ) = Ar n + Br −(n+1)
在前面的章节里，我们利用格林函数研究了拉普拉斯方程
∂2u + ∂2u + ∂2u = 0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
的求解问题。本节，在球坐标系下，我们应用分离变量的方法来处理拉普拉斯方程。在球坐标系中， 拉普拉斯方程为
1 r2
∂ ⎜⎛ r 2 ∂r ⎝
∂u ∂r
⎟⎞ ⎠
+
r
2
1 sin
ϕ
⎜⎜⎝⎛
（6.1.5）
式中， C1 ， C2 为任意常数。
对式（6.1.5）进行整理，有
d 2Φ dϕ 2
+
cot ϕ
dΦ dϕ
+
⎢⎡n(n
⎣
+1) −
m2 sin 2 ϕ
⎥⎤Φ ⎦
=
0
这个方程称为连带的勒让德方程。
（6.1.6）
为了表达上的方便，我们引入新的变量 x = cosϕ 。由于 0 ≤ ϕ ≤ π ，所以 −1 ≤ x ≤ 1 ，并记
sin
ϕ
∂u ∂ϕ
⎟⎟⎠⎞
+
1 r 2 sin 2 ϕ
∂2u ∂θ 2
=0
（6.1.1）
式中，0 ≤ ϕ ≤ π ， 0 ≤ θ ≤ 2π 。
令式（6.1.1）的解为 u(r,θ ,ϕ ) = R(r )Y (θ ,ϕ), 代入式（6.1.1），整理得
1 r2
d ⎜⎛ r 2 dR ⎟⎞Y + [
dr ⎝ dr ⎠
( ) 1− x2
d2y dx 2
−
2x
dy dx
+
⎢⎡n(n
⎣
+1) −
m2 1− x2
⎤ ⎥ ⎦
y
=
0
（6.1.7）
若 u(r,θ ,ϕ )与θ 无关，则由式（6.1.4）可知， Θ(θ ) 是常数，则 m = 0 。这时，式（6.1.7）简化为
( ) 1 − x2 d 2 y − 2x dy + n(n + 1)y = 0
我们在第 5 章讨论的一样，这个常数必需等于 m2 (m = 0,1,2,L)，从而有
d 2Θ + m2Θ = 0 dθ 2
{6.1.4}
式（6.1.4）的通解为
1 sin ϕ
d dϕ
⎜⎜⎝⎛ sin ϕ
dΦ dϕ
⎟⎟⎠⎞
+
[
n(n +1) −
m2 sin 2 ϕ
]Φ = 0
Θ(θ ) = C1 cos mθ + C2 sin mθ
r2
1 sin ϕ
∂ ∂ϕ
⎜⎜⎝⎛ sin ϕ
∂Y ∂ϕ
⎟⎟⎠⎞
+
r2
1 sin 2
ϕ
∂ 2Y ∂θ 2
]R = 0
将变量 R(r), Y (θ ,ϕ) 分离，得
1 d ⎜⎛ r 2 dR ⎟⎞ = − 1 [
R dr ⎝ dr ⎠ Y
r2
1 sin ϕ
∂ ∂ϕ
⎜⎜⎝⎛ sin ϕ
∂Y ∂ϕ
⎟⎟⎠⎞
+
r2
1 sin 2
ϕ
∂ 2Y ∂θ 2
]
上式左端只于 r 有关，右端只与θ ,ϕ 有关，所以二者都是常数时才能恒等。为了方便后续的讨论，
我们把这个常数写成 n(n + 1) 的形式（这里的 n 可以是实数，也可以是复数），于是有
r 2 d 2 R + 2r dR − n(n + 1)R = 0
dr 2