带电粒子在磁场中运动的临界问题一、“矩形”有界磁场中的临界问题【例1】如图所示，一足够长的矩形区域abcd 内充满方向垂直纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场，在ad 边中点O ，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad 边夹角θ＝30°、大小为v 0的带正电粒子，已知粒子质量为m ，电量为q ，ad 边长为L ，ab 边足够长，粒子重力不计，求(1)粒子能从ab 边上射出磁场的v 0大小范围。
(2)若粒子速度不受上述v 0大小的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间。
解析: (1)①假设粒子以最小的速度恰好从左边偏转出来时的速度为v 1，圆心在O 1点，如图 (甲)，轨道半径为R 1，对应圆轨迹与ab 边相切于Q 点，由几何知识得：R 1＋R 1sin θ＝0.5L由牛顿第二定律得1211R v m B qv =； 得m qBLv =1②假设粒子以最大速度恰好从右边偏转出来，设此时的轨道半径为R 2，圆心在O 2点，如图 (乙)，对应圆轨迹与dc 边相切于P 点。
由几何知识得：R 2＝L由牛顿第二定律得2222R v m B qv =；得m qBLv =2粒子能从ab 边上射出磁场的v 0应满足mqBLv m qBL ≤≤3(2)如图 (丙)所示，粒子由O 点射入磁场，由P 点离开磁场，该圆弧对应运行时间最长。
粒子在磁场内运行轨迹对应圆心角为πα35=。
而απ2T t m = 由Rv mqvB 2=，得qB mv R =，qBmT π2= qBmt m 35π=【练习1】如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是它的两条边界线，现有质量m 、电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，要使粒子不能从边界NN ′射出，粒子最大的入射速度v 可能是( )A ．小于mqBdB ．小于()mqBd22+C ．小于mqBd2 D ．小于()mqBd22—解析:BD二、“角形磁场区”情景下的临界问题【例2】如图所示，在坐标系xOy 平面内，在x ＝0和x ＝L 范围内分布着匀强磁场和匀强电场，磁场的下边界AB 与y 轴成45°，其磁感应强度为B ，电场的上边界为x 轴，其电场强度为E .现有一束包含着各种速率的同种粒子由A 点垂直y 轴射入磁场，带电粒子的比荷为q /m .一部分粒子通过磁场偏转后由边界AB 射出进入电场区域．不计粒子重力，求： (1)能够由AB 边界射出的粒子的最大速率；(2)粒子在电场中运动一段时间后由y 轴射出电场，射出点与原点的最大距离． 解: (1)由于AB 与初速度成45°，所以粒子由AB 线射出磁场时速度方向与初速度成45°角．粒子在磁场中做匀速圆周运动，速率越大，圆周半径越大．速度最大的粒子刚好由B 点射出． 由牛顿第二定律Rv mB qv 2=由几何关系可知 r ＝L ，得 mqBLv =(2)粒子从B 点垂直电场射入后，在竖直方向做匀速运动，在水平方向做匀加速运动． 在电场中，由牛顿第二定律Eq ＝ma 此粒子在电场中运动时221at L =d ＝vt ，得mEqLBL d 2=【例3】如图所示，M 、N 为两块带异种电荷正对的金属板，其中M 板的表面为圆弧面，P 为M 板中点；N 板的表面为平面，Q 为N 板中点的一个小孔．PQ 的连线通过圆弧的圆心且与N 板垂直．PQ 间距为d ，两板间电压数值可由从0到某最大值之间变化，图中只画了三条代表性电场线．带电量为＋q ，质量为m 的粒子，从点P 由静止经电场加速后，从小孔Q 进入N 板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向外，CD 为磁场边界线，它与N 板的夹角为α＝45°，孔Q 到板的下端C 的距离为L .当M 、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD 板上． 不计粒子重力，求：(1)两板间电压的最大值Um ；(2)CD 板上可能被粒子打中的区域长度x ； (3)粒子在磁场中运动的最长时间tm .解: (1)M 、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD 板上，所以圆心在C 点，如图所示． C H ＝QC ＝L ，故半径R 1＝L又1211R v m B qv = 2121mv qU m =得mL qB U m 222=(2)设轨迹与CD 板相切于K 点，半径为R 2在△AKC 中：2245sin R L R -=︒，得()L R 122-=因KC 长等于()L R 122-=，所以，CD 板上可能被粒子打中的区域长度x 为HK ：()L R R x 2221-=-=(3)打在QE 段之间的粒子在磁场中运动时间最长，均为半周期：qBm T t m π==21三、“圆形磁场区”情景下的临界问题 【例4】（2012，揭阳调考）如图，相距为R 的两块平行金属板M 、N 正对放置，s 1、s 2分别为M 、N 板上的小孔，s 1、s 2、O 三点共线且水平，且s 2O ＝R 。
以O 为圆心、R 为半径的圆形区域内存在大小为B 、方向垂直纸面向外的匀强磁场。
收集板D 上各点到O 点的距离以及板两端点的距离都为2R ，板两端点的连线垂直M 、N 板。
质量为m 、带电量为＋q 的粒子，经s 1无初速进入M 、N 间的电场后，通过s 2进入磁场。
粒子重力不计。
(1)若粒子恰好打在收集板D 的中点上，求M 、N 间的电压值U ； (2)求粒子从s 1到打在D 的最右端经历的时间t 。
解：(1)粒子从s 1到达s 2的过程中，根据动能定理得221mv qU =粒子进入磁场后在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有Rv mB qv 2=当粒子打在收集板D 的中点时，粒子在磁场中运动的半径r ＝R 解得：mR qB U 222=(2)根据几何关系可以求得粒子在磁场中运动的半径()R R R r 3222=-=，得粒子进入磁场时速度的大小mqBrv =粒子在电场中经历的时间qBmv R t 3325.01==粒子在磁场中经历的时间qBm v R t 3332ππ=•=粒子出磁场后做匀速直线运动经历的时间qBmv R t 333==粒子从s 1到打在收集板D 上经历的时间为()qBmt t t t 333321π+=++=【例4】核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内，通常采用磁约束的方法(托卡马克装置)。
如图所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内，设环状磁场的内半径为R 1＝0.5m ，外半径R 2＝1.0m ，磁感应强度B ＝1.0T ，若被束缚带电粒子的比荷为q /m ＝4.0×107C/kg ，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，试求：(1)若粒子沿环状的半径方向射入磁场，则不能穿越磁场的最大速度为多大？(2)若粒子速度方向不受限制，则粒子不能穿越磁场的最大速度为多大？ 解析：(1)轨迹如图 (甲)所示。
设粒子的轨道半径为r 1.由几何知识得r 12＋R 12＝(R 2－r 1)2 得r 1＝0.375m 由牛顿第二定律 得v 1＝1.5×107m/s要使粒子不能穿越磁场的最大速度为 v 1＝1.5×107m/s(2)设粒子的轨道半径为r 2，如图 (乙)所示。
由几何知识得m R R r 25.02122=-=由2222r v m B qv =得v 2＝1.0×107m/s.即所有粒子不能穿越磁场的最大速度为1.0×107m/s 。
课后作业：1、（临界问题）如图所示，ABC 为与匀强磁场垂直的边长为a 的等边三角形，磁场垂直纸面向外，比荷为e/m 的电子以速度v 0从A 点沿AB 方向射入，现欲使电子能经过BC 边，则磁感应强度B 的取值应为( )A ．B ＞3mv 0ae B ．B ＜2mv 0aeC ．B ≤3mv 0aeD ．B ＞2mv 0ae答案：C2、（临界）如图所示，在x 轴上方的空间存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B .许多相同的离子，以相同的速率v ，由O 点沿纸面向各个方向(y >0)射入磁场区域．不计离子所受重力，不计离子间的相互影响．图中曲线表示离子运动的区域边界，其中边界与y 轴交点为M ，边界与x 轴交点为N ，且OM ＝ON ＝L .由此可判断( D )A ．这些离子是带负电的B ．当离子沿x 轴正方向射入磁场时会经过N 点C ．这些离子的比荷为q m ＝vLBD ．当离子沿y 轴正方向射入磁场时会经过N 点解析：根据左手定则，离子带正电，A 项错误；由题图可知，离子轨道半径为12L ，再根据qvB ＝mv 212L ，q m ＝2v LB ，C 项错误3、在光滑绝缘水平面上，一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴O 在匀强磁场中做逆时针方向的匀速圆周运动，磁场方向竖直向下，且范围足够大，其俯视图如图所示，若小球运动到某点时，绳子突然断开，则关于绳子断开后，对小球可能的运动情况的判断错误的是( )A ．小球仍做逆时针方向的匀速圆周运动，但半径减小B ．小球仍做逆时针方向的匀速圆周运动，半径不变C ．小球做顺时针方向的匀速圆周运动，半径不变D ．小球做顺时针方向的匀速圆周运动，半径减小解析：A 绳子断开后，小球速度大小不变，电性不变．由于小球可能带正电也可能带负电，若带正电，绳断开后仍做逆时针方向的匀速圆周运动，向心力减小或不变(原绳拉力为零)，则运动半径增大或不变．若带负电，绳子断开后小球做顺时针方向的匀速圆周运动，绳断前的向心力与带电小球受到的洛伦兹力的大小不确定，向心力变化趋势不确定，则运动半径可能增大，可能减小，也可能不变．4、如图所示，在屏MN 的上方有磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．P 为屏上的一小孔．PC 与MN 垂直．一束质量为m 、电荷量为－q 的粒子(不计重力)，以相同的速率v ，从P 处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域．粒子入射方向在与磁场B 垂直的平面内，且散开在与PC 的夹角为θ的范围内．则在屏MN 上被粒子打中的区域的长度为( )A ．2mv qBB ．2mvcos θqBC ．2mv (1－sin θ)qBD ．2mv (1－cos θ)qB解析：由图可知，沿PC 方向射入的带负电的粒子打在MN 上的R 点，离P 点最远，PR ＝2mv qB ；沿两边界线射入磁场的粒子打在MN 上的Q 点，离P点最近，PQ ＝2rcos θ＝2mvcos θqB.所以打在MN 上区域的长度为PR －PQ ＝2mv1－cos θqB，D 选项正确．5、如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B ＝0.60 T ，磁场内有一块平面感光板ab ，板面与磁场方向平行，在距ab 距离l ＝16 cm 处，有一个点状的α放射源S ，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v ＝3.0×106 m/s ，已知α粒子的比荷＝5.0×107 C/kg ，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab 上被α粒子打中的区域的长度．解析：α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R 表示轨道半径，有qvB ＝m v 2R ，由此得R ＝mvqB，代入数值得R ＝10 cm ，可见，R<l<2R.因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S ，由此可知，某一圆轨迹在图中N 左侧与ab 相切，则此切点P 1就是α粒子能打中的左侧最远点．NP 1＝R 2－l －R 2＝8 cm 再考虑N 的右侧．任何α粒子在运动中离S 的距离不可能超过2R ，以2R 为半径、S 为圆心作圆，交ab 于N 右侧的P 2点，此即右侧能打到的最远点．由图中几何关系得NP 2＝2R 2－l 2＝12 cm ，所求长度为P 1P 2＝NP 1＋NP 2，代入数值得P 1P 2＝20 cm.6、(2010年课标全国卷)如图所示，在0≤x ≤a 、0≤y ≤范围内有垂直于xOy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.坐标原点O 处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy 平面内，与y 轴正方向的夹角分布在0～90°范围内．已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a /2到a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一．求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的(1)速度的大小；(2)速度方向与y 轴正方向夹角的正弦．解析：设粒子的发射速度为v ，速度方向与y 轴正方向夹角为α的粒子最后离开磁场．据洛伦兹力提供向心力qvB ＝m v 2R ① 由①得R ＝mvqB因a2＜R ＜a ，在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹与磁场上边界相切，如图所示 ∵t ＝T 4，∴∠OCA ＝π2由几何关系知Rsin α＝R －a2② Rsin α＝a －Rcos α③又sin 2α＋cos 2α＝1④ 由①②③④式得R ＝(2－62)a v ＝(2－62)aqBm，sin α＝6－610.7、如图所示，在坐标系xOy 中，第一象限内充满着两个匀强磁场a 和b ，OP 为分界线，在区域a 中，磁感应强度为2B ，方向垂直纸面向里；在区域b 中，磁感应强度为B ，方向垂直纸面向外，P 点坐标为(4l,3l )．一质量为m ，电荷量为q 的带正电的粒子从P 点沿y 轴负方向射入区域b ，经过一段时间后，粒子恰能经过原点O ，不计粒子重力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．求：(1)粒子从P 点运动到O 点的时间最少是多少？ (2)粒子运动的速度可能是多少？解析：(1)设粒子的入射速度为v ，用R a 、R b 、T a 、T b 分别表示粒子在磁场a 区和b 区运动的轨道半径和周期，则：R a ＝mv 2qB ，R b ＝mv qB ，T a ＝2πm 2qB ＝πmqB，T b＝2πm qB粒子先从b 区运动，后进入a 区运动，然后从O 点射出时，粒子从P 运动到O 点所用时间最短．如图所示．tan α＝3l 4l ＝34，得α＝37°粒子在b 区和a 区运动的时间分别为：t b ＝290°－α360°T b ，t a ＝290°－α360°T a故从P 到O 时间为：t ＝t a ＋t b ＝53πm60qB.(2)由题意及图可知n(2R a cos α＋2R b cos α)＝3l 2＋4l 2 解得：v ＝25qBl12nm(n ＝1,2,3，…)．8、如图所示的直角坐标系中，在直线x =－2l 0到y 轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x 轴上方的电场方向沿y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿y 轴正方向。