勾股定理
一、勾股定理：
1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么
a 2＋
b 2＝
c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
A
B
C
a b c
弦股
勾
勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个
三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么
ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。

）
*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13
3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2
+b 2
=c 2
，那么这个三角形是直角
三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）
其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
（1）确定最大边（不妨设为c ）；
（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；
例 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，已知：a=13, b=12, c=5. ABC ∆ 是什么三角形？
4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的
一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角
等于30°。

5. 勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）利用勾股定理，作出长为n 的线段
类型四：利用勾股定理作长为
的线段
【变式】在数轴上表示的点。

作法：如图所示在数轴上找到A 点，使OA=3，作AC ⊥OA 且截取AC=1，以OC 为
半径，
以O 为圆心做弧，弧与数轴的交点B 即为。

5、作长为
、
的线段。

命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。

原命题：例如：同位角相等，两直线平行 逆命题：例如：两直线平行，同位角相等 性质：
原命题为真，它的逆命题不一定为真
如：原命题：全等三角形的对应角相等。

真 逆命题：对应角相等的两个三角形全等。

假 练习：下列各命题的逆命题成立的是（ ） A ． 全等三角形的对应角相等
B ． 如果两个数相等，那么他们的绝对值相等
C ． 两直线平行，同位角相等
D ． 如果两个角都是45°，那么这两个角相等
勾股定理：
（一）结合三角形：
1.以4,5,x 为边组成直角三角形,则x 应满足( ) A.2
41x
B.3x
C.2
41x 或x=3 D.9x
2、下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是( )
A ．1.5，2，3 B. 7，24，25 C ．6，8，10 D. 3，4，5
3.3个正方形面积如图(3)，正方形A 的面积为( ) A. 6 B. 36 C. 64 D. 8
22. 一个三角形的三个内角之比为1:2:3，则此三角形是____三角形；若此三角形的三边为a 、b 、c ，则此三角形的三边的关系是__________
4.在∆ABC 中，若2
a =（
b +
c ）（b -c ），则∆ABC 是 三角形，且∠ ︒90 5.已知,0)10(8262
=-+-+-c b a 则以a 、b 、c 为边的三角形是
图(3)
A
100
64
6、若△ABC 的三边a 、b 、c 满足(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，则△ABC 是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
7.在∆ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长为 （三）求边长：
1.在R t ABC ∆中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，已知：∠C=︒90，a =40，b =9，求c ；
2.如图所示，在四边形ABCD 中，∠BAD=︒90，∠DBC=︒90，AD=3，AB=4，BC=12，求CD 。

（五）方向问题：
1.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km ，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．
⑴ 此时轮船离开出发点多少km?
⑵ 若轮船每航行1km ，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?
（六）利用三角形面积：
已知：如图，AD=3，AB=4，∠BAD=90°，BC=12，CD=13，求四边形ABCD 的面积
2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系：
1．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________
（二）、实际应用：
题型三：实际问题中应用勾股定理
例5.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两
树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的
树梢，至少飞了m
分析：根据题意建立数学模型，如图8
AB=m，2
CD=m，
8
BC=m，过点D作DE AB
⊥，垂足为E，则6
AE=m，
8
DE=m。

在Rt ADE
∆中，由勾股定理得2210
AD AE DE
=+=
答案：10m
1. 梯子滑动问题：
（1）一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动米
（2）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为米
3. 爬行距离最短问题：
1.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B 是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是分米？
2.如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的路程最短为（）
A. a3
B. ()a2
1+ C. a3 D.a5
B
A
Q
N
M
P
（八）折叠问题：
A
B C
D
E
1. 如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝，宽AB=3㎝， 将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长是多少？
2.如图，在长方形ABCD 中，将∆ABC 沿AC 对折至∆AEC 位置， CE 与AD 交于点F 。

（1）试说明：AF=FC ；（2）如果AB=3，BC=4，求AF 的长
课后练习：
1. 已知：在∆ABC 中，三条边长分别为a 、b 、c ，
a =12-n ，
b =2n ，
c =12+n （n >1）
试说明：∠C=︒90。

2. 有一次，小明坐着轮船由A 点出发沿正东方向AN 航行，在A 点望湖中小岛M ，测得∠MAN ＝30°，当他到B 点时，测得∠MBN ＝45°，AB ＝100米，你能算出AM 的长吗？
M
A B N
（2）如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，3.如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）
8
6
4.如图，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，CD上的点F距地面的高FD=8㎝，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是 cm
5.如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
6.如图，∠B=90°，AB=BC=4，AD=2，CD=6
（1）△ACD是什么三角形？为什么？
（2）把△ACD沿直线AC向下翻折，CD交AB于点E，若重叠部分面积为4，求D'E的长。

E D C
B
A C'。