一、临界载荷的欧拉公式
F
F
画出偏离直线平衡
F
F 位置后的变形图
建立x坐标处梁段的平衡方程
M(x)
F
F
w
x
建立平衡微分方程
M ( x ) Fw
d 2w dx 2
M (x) EI
Page 9
第十一章 压杆稳定问题
F
F
d 2w dx2
F EI
w
F k2 EI
d 2w dx2
k
2w
0
通解可以写成 ： w Asin kx B cos kx
挠曲轴近似微分方程：
d 2w dx2
M(x) EI
d 2w dx2
F EI
w
FR EI
(l
x)
Page21
第十一章 压杆稳定问题
Fcr kl 临界载荷
F 驱动力矩 k l 恢复力矩
Page 3
第十一章 压杆稳定问题
思考： 如何分析右图两端铰支杠杆－蝶形弹 簧系统的临界载荷？ 人体中的什么结构可以简化成右 图所示的力学模型？
Page 4
第十一章 压杆稳定问题
受压细长弹性杆受横向微干扰后，同样有三种平衡形式
压力F 在扰动产生挠度w(x)时所能提供的力距
临界载荷的欧拉公式(欧拉临界载荷)
——与截面抗弯刚度成正比，与杆长的平方成反比。
Page11
第十一章 压杆稳定问题
➢ 临界载荷作用下压杆的挠曲线：
w Asin kx B cos kx B 0, k
l
w Asin x
l
• 两端铰支压杆临界状态时的挠曲轴为一（半）正弦曲线；
• A可取任意数，取决于横向扰动情况,反映了随动平衡特征
F
A
x
B
l
x 0, w 0,
边界条件： x 0, dw 0
dx
x l, w
B
Ak 0 Asin kl B cos kl
Page18
第十一章 压杆稳定问题
cos kl 0
kl （2n 1） (n 1,2)
2 k2 F
EI
F
（2n
1）2
( 2l )2
2 EI
当F Fcr时 压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳 －不稳定平衡
F ＝ Fcr 压杆在任意微弯位置均可保持平衡 －临界平衡
临界载荷－ Fcr: 使压杆直线形式的平衡，开始由稳定转变 为不稳定的轴向压力值
失稳: 压杆丧失其直线形式的平衡而过渡为曲线平衡，亦称 屈曲，压杆失稳后，基本上丧失了继续承载的能力
Page 6
第十一章 压杆稳定问题
其它失稳（屈曲）的例子
失稳（屈曲）始终与受压相联
Page 7
第十一章 压杆稳定问题 工程上，存在大量受压的杆件！
计算受压杆件的临界载荷是一个关键问 题，因为它决定了体系的稳定性。 临界载荷怎样计算？与那些因素有关？
Page 8
第十一章 压杆稳定问题
§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
第十一章 压杆稳定问题
第十一章 压杆稳定问题
§11-1 稳定性概念 §11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷 §11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 §11-4 中小柔度杆的临界应力 §11-5 压杆稳定条件与合理设计
Page 1
第十一章 压杆稳定问题
§11-1 稳定性概念
所谓稳定性，指的是构件保持其原有的平衡形式的能力， 是指平衡的稳定性。
三种平衡形式（性质）
F
F
FR
W
a. 合力FR指向平衡位置 稳定平衡
b. FR为0 临界(随遇)平衡
FR
W
c. FR离开平衡位置 不稳定平衡
Page 2
第十一章 压杆稳定问题
刚杆－弹簧系统的平衡形式和稳定性
a. F k l
F
稳定平衡
k
b. F k l
l
临界(随遇)平衡
c. F k l
不稳定平衡
位移边界条件：
x 0, w 0 x l, w 0
B0
Asin kl 0
存在非零解的唯一条件：
sin kl 0
Page10
第十一章 压杆稳定问题

sin kl 0
kl n
F
n2 2EI
l2
n=1，得到存在非零解的最小的压力：
k n
l F k2 EI
(n 1, 2)
Fcr
2EI
l2
取n=1, 得：
Fcr
2EI
( 2l )2
Page19
第十一章 压杆稳定问题
二、一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷
l
F 偏离直线平衡位置后的状态
FR F
x
Page20
第十一章 压杆稳定问题
建立x坐标处梁段的平衡方程：
M(x) FR
FR
Fw
F
lx
列出临界状态的平衡方程: M ( x) Fw FR (l x)
OAC(绿色): 小挠度理论
w m ax
AB的起始段平坦，与直线AC相切
OD(虚线): 实验曲线
Page14
第十一章 压杆稳定问题
作业 11－2 11－5
Page15
第十一章 压杆稳定问题
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
一、一端固支一端自由细长压杆的临界载荷 F
A
l
B
偏离直线平衡位置后的状态
M驱 Fw
F
扰动消失后，压杆的恢复力矩
（或者说维持挠度w(x) 所必须的弯矩）
M恢 EIw
a. M驱 M恢
稳定平衡
b. M驱 M恢
临界平衡
w
c. M驱 M恢
不稳定平衡
决定压杆平衡形式的关键因素是压力F 的大小
x
Page 5
第十一章 压杆稳定问题
一定存在一个关键载荷Fcr, 使得
当F Fcr 时 压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线平衡 －压杆具有抗干扰性，稳定平衡
A
l
F
B
Page16
第十一章 压杆稳定问题
建立梁段平衡方程
M(x)
F
F
w
l-x
M ( x) F ( w)
挠曲轴近似微分方程：
d 2w dx2
M(x) EI
d 2w dx2
F EI
(
w)
Page17
第十一章 压杆稳定问题
令 k2 F EI
d 2w dx2
k2w
k 2
满足方程的解为： w Asin kx B coskx
F
Page12
第十一章 压杆稳定问题
➢ 欧拉公式的适用范围：
Q 线弹性 Q 小挠度(小变形)
d 2w dx 2
M (x) EI
Q 压力沿杆件轴线
F
F
Q 理想均质材料,细长
F 如果支座为球形铰支座
F cr
2 EI
l2
( I Imin )
—— I 取压杆横截面的最小惯性矩
—— 失稳总是发生在最小刚度平面内
Page13
第十一章 压杆稳定问题
二、大挠度理论与实际压杆
挠曲轴控制方程：
1
（x)
M(x) EI
w( x)
M x
1 [w( x)]2 3 2 EI
F
Fcr A
O
OAB(兰色): 大挠度理论
B
F<Fcr ——直线平衡形态稳定
C
D
F>Fcr ——直线平衡形态不稳 曲线平衡形态稳定
F=1.015Fcr, wmax=0.11l