一元二次方程辅导教案
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教学课题九年级数学第一章一元二次方程
一、知识框架
1.1一元二次方程
1．一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b 是一次项系数；c是常数项．
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
4.一元二次方程根的重要结论
（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若
x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.
（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若
x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.
（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，
则一元二次方程必有一根为0.
1.2一元二次方程的解法
1．直接开方法解一元二次方程：
(1)直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
(2)直接开平方法的理论依据：
平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
若，则；表示为，有两个不等实数根；
若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
若，则方程无实数根．
②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
.
2．配方法解一元二次方程：
(1)配方法解一元二次方程：
将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.
(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
3.公式法解一元二次方程
一元二次方程，当时，.
一元二次方程根的判别式：．
①当时，原方程有两个不等的实数根；
②当时，原方程有两个相等的实数根；
③当时，原方程没有实数根.
用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
①把一元二次方程化为一般形式；
②确定a、b、c的值（要注意符号）；
③求出的值；
④若，则利用公式求出原方程的解；
若，则原方程无实根.
4.因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
平均增长率公式为(1)n
a x b
+=
(2)降低率问题：
平均降低率公式为(1)n
a x b
-=
3.利息问题
(1)概念：
本金：顾客存入银行的钱叫本金.
利息：银行付给顾客的酬金叫利息.
本息和：本金和利息的和叫本息和.
期数：存入银行的时间叫期数.
利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.
(2)公式:
利息=本金×利率×期数
利息税=利息×税率
本金×(1+利率×期数)=本息和
本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)
4.利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
5.形积问题
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
二、重点和难点 一元二次方程
1. 一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式：
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
一元二次方程的解法 1．基本思想
一元二次方程−−−
→降次
一元一次方程 2．基本解法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 3. 注意事项
解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系
类型二、一元二次方程的解法
例2．用适当的方法解一元二次方程
(1) 0.5x2-=0；(2) (x+a)2=；
(3) 2x2-4x-1=0；(4) (1-)x2=(1+)x．
【答案与解析】
(1)原方程可化为0.5x2=
∴x2=
用直接开平方法，得方程的根为
∴x1=，x2=-．
(2)原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+
∴x2=a2
用直接开平方法，得原方程的根为
∴x1=a，x2=-a．
(3) a=2，b=-4，c=-1
b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0
x=
∴x1=，x2=.
(4)将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0
用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0
∴ x1=0，x2=-3-2．
类型三、一元二次方程根的判别式的应用
例3．已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x +l ＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A 、a ＜2 B 、a ＞2 C 、a ＜2且a ≠l D 、a ＜﹣2
【答案】C ；
【解析】△＝4﹣4（a ﹣1）＝8﹣4a ＞0 得：a ＜2． 又a ﹣1≠0 ∴a ＜2且a ≠1． 故选C ．
【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两不等的实数根，得到判别式大于零，求出a 的取值范围，同时方程是一元二次方程，二次项系数不为零．
类型四、一元二次方程的根与系数的关系
例4．已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t -++=的两个不相等的实数根，
（1）求t 的取值范围； （2）设22
12s x x =+，求s 关于t 的函数关系式．
【答案与解析】
(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t ＜-1． (2)由一元二次方程根与系数的关系知：122x x +=，1
22x x t =+，
从而22
12
s x x =+21212()2x x x x =+-222(2)2t t =-+=-，即2(1)s t t =-<-． 【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题.
类型五、一元二次方程的应用
例5．如图所示，在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．
【答案与解析】
11。