第十二章解题方法归纳 一、正项级数敛散性的判定方法 1. 一般项极限不趋于零则级数发散• 2. 比较审敛法3. 比较审敛法的极限形式4. 比值审敛法5. 根值审敛法1. 一般项极限不趋于零则级数发散例1判定级数a n s= 1 • 2s• 3s • 「n s*11 (s 0)的敛散性.n 4『方法技巧』无论是正项级数还是任意项级数，判定其敛散性时一般第 步都是验证一般项的极限是否为零.2. 比较审敛法n a 2n1 a1 ln 3n的敛散性.由于lim ns=邑学0，所以总n s发散.n =100 an 判定级数二诗(a 0)的敛散性.当a 1时,n a 2n1 ana 2n1 ana '2n a<a n，而二a n收敛，所以二nW00门"■: ，而—an收敛, n故v —J 收敛.nV 1 a1，则n4. 比值审敛法解 lim nu n =lim 也 芋=—lim(1 —)nn 存 * f 2n 2n、任意项级数敛散性的判定lim W = lim 山 n ?：V nr‘U n二 lim —二 lim x3 — (3)J ：In n J ：ln x二 lim 2x 门：31 n x x 「：：二 lim —— = lim —=::， J 和6 由比较审敛法的极限形式得1发散.例4判定级数v n!e 的敛散性.nnU n 1n 1 n(n 1)!e n解 lim J =limn 1F u n F (n +1)无法断言原级数是否收敛，但e>1，从而u n 单调递增且5 = e,故m U n 0nn ：!n5.根值审敛法 例5判定级数二(n 1)n2nnn 2的敛散性.(n 1)n2故由根值审敛法知二(n 1)nn n 2nm 2 n发散. 例6试研究级数曰 a1 a n(a - 0)是绝对收敛、条件收敛还是发散. oOa解先考虑级数nd 畀的敛散性.当a 1时， an ：：：二，而J 亠收敛，故由比较审敛法得 n(1 +a ) a令 f(x) =x(1 a x)，则 f (x) =1 a xxa xlna,当 x 充分大时,「(x)二 a xlna[2 xlna]：：：0，所以 f (x)单调递减，且x 1a1 l-n^ + i m a1- l h _J i m x 厂：a x 厂：-ln aa所以f(x) 1，函数f (x)= x (1a x)单调增加，故后单调减少，且n im ：応=。

，所以交错级数二呼忌收敛，故〔呼汴条件收敛.『方法技巧』正项级数敛散性取决于参数a 的取值，因此先就a 的情况进 行了讨论，另交错级数数列「u 「的单调性应用函数的导数来说明三、幕级数的收敛半径、收敛域的求法 1. 不缺项的幕级数收敛半径的求法 2. 缺项的幕级数收敛半径的求法3. 非标准形式的幕级数收敛半径、收敛域的求法 1. 不缺项的幕级数收敛半径的求法001x n例7求幕级数a的收敛半径.n^3n+2nn解 由于级数是不缺项的，故收敛，从而V n 4 ::字忌绝对收敛. 当a <1时, 是)益,而鳥发散，故由比较审敛法得:: S (1a n)发散.F 面讨论级数、 「匚⑪ J 的敛散性. n 4n 1 aoOl i mf x( -)1 a l n xlai xmXx厂:2. 缺项的幕级数收敛半径的求法oO例8求幂级数：〒x2n的收敛域.径，故解得x ：迈，故收敛半径为R .3. 非标准形式的幕级数收敛半径、收敛域的求法 例9求级数'凹■( —)n 的收敛域.n 二 n 2x +1x°°(—1)n解 令t 二-^，则原级数变形为a 3t n ，此时级数不缺项，故心 ndt n 的收敛域为(-1,1］，从而原级数在-仁:^^ -1内收敛，故级数n 的收敛域为x 乞-1或x —丄n $n 2x 13四、幕级数和函数的求法R = lim n _；=a nan 13n1■ 2n 112= lim ，屮 1 (2\ cO 1 x n所以幂级数二上佥的收敛半径为3.解 由于级数缺项，故需要采用正项级数的比值 (根值) 审敛法确定收敛半U n 1(X ) lim f U n (x)(n +1)2n2x 二 x 2limn厂 2(n 1) 2Jx 2：：1，又当w 、2时，幕级数变为、「n ， nA显然'丁 n 发散，故收敛域为n 吕 2x 1 RJim：a n a 1= lim 丄亠1,n当t 一1时，1发散；当t =1时，、 n# n3收敛;n三n2x 11. 利用微分、积分的方法求和函数2. 转化为微分方程求和函数3 •利用已知的函数的幕级数展开式求和函数 1. 利用微分、积分的方法求和函数 例10求幕级数（2n 1）x n的和函数. n 30解因为且x 时级数发散，故幕级数的收敛域为（-1,1）OQQ QQ Q设S （x ）八一（2n 1）x^x?2nx n（直接积分无效，只能进行拆项）n zSn z0n^0x ::::= 2x M nx nJ1=2x( °C 二 nx n ')dx) = 2x(二 x n)n =1n =1 n =12. 转化为微分方程求和函数旳x4n例10求幕级数的和函数.心（4n ）!解 易求此幕级数的收敛域为（-"'，•：：）.因此，y （o ）",y （o ）=y （o ）=y （o ）=o 且 y ⑷（x ） -y （x ）=o ,a n a n 1= lim 沁n2n 1 =1, COS (x)二2nx nnT= 2^ —I 1 — x 」2x (1-x)2一 1 ：： X ：：： 1COS 2(x)八 x nn=01 1-x-1 ：：： x ::: 1所以 S(x) P(x) S 2(x)二2x (1-x)21 1 xr ---------- = ---------------------1-x (1-x)2一 1 :： X :: 1 .□0设 y(x)二、 n=&4nx丽ad 则 y (x)二、' 4n -1x(4n_ 1)! y(x)八n¥4n -2x(4n_ 2)!y (x)八n#4n -3x(4n -3)!y ⑷(x)八n =14n -4X(4n 「4)!n=o(4n)!=y(x)，1 €3^1. 利用定义求常数项级数的和2. 利用幕级数的和函数求常数项级数的和3. 利用级数的傅里叶级数求常数项级数的和 1. 利用定义求常数项级数的和Q Q例12求级数Z n 三 n(n 1)(n 2)的和.解因为u1「 1n一 n(n +1)(n +2) 2 [n(n +1)(n +2) 一 2|L n(n 1) (n 1)(n 2)'由常系数齐次线性方程组的解法有 y =G e x• C 2e» • c 3 cosx • C 4sinx ,、 1111由初始条件得 G = C 2, C 3 , C 4 = 0 ,从而 y(x) (^ e") cosx ,42 421 1(e xe») cosx x (一心，：：).n=o (4n)! 4 2n 2亠111求幕级数nn'x n 1的和函数. ^o3nn!z 亠亠+送亠亠+送 n=2 (n-2)! nm (n -1)! n=on!2X x+1 =x(—+—+1)e 3 , x €(-°o ,畑).9 3五、常数项级数的和:=x 4n3. 利用已知的函数的幕级数展开式求和函数近 n(n_ 1) + n +1n'X3nn!7(讥 3nn!oa n^3nn!cdn 1X vn^)3n-n!：：3 3 n^(n -2)! 3 nm(n-1)!n =2n =0n!2.利用幕级数的和函数求常数项级数的和 °° (_1)n」n例13求级数a (__--的和. n 二(2n +1)! 解 由于级数中含因子-——，因而考虑sinx 的展开式，故幕级数设为缺(2n +1)!n 1项形式•令S(x)八•上丿 -X 2-」，(」：「：)，则n 壬(2n +1)!故级数二汕代⑴冷伽1®1).『方法技巧』 所求常数项级数的一般项中若含有n!, (2n 十1)!, (2n -1)!时,所构造的幕级数的和通常为e x,si nx,cosx 等，注意灵活运用幕级数球和函数的方 法.3. 利用级数的傅里叶级数求常数项级数的和例14将函数f(x)=2 + x | (x <1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并求级数由于f(x)=2+|x|是偶函数，故bn=O, (n = 1,2,川)，迟-的和.n# n1 ：(1)n」x 2 1 1：：(_1)nxn2 1S = — J |2 H 2岛一4[乂3 4汇 4」—1一 一 All一n n (1) (n 1)(2)——5—f52 12 n 什 fh>( 2)I i n$h 二 I i=m2 1 2 n( 1)(2)odz n (n 1)(n2) 4n / n』:S(x)dx::右严如几:右乂対匕丄：已乂2-T (2n 1)!1+ x)=——(x-sinx),(2n 1)! 2x求导得1S(x) = [ (x -sin x)]=2xs inx-x c°sx,x = o .2x 21.直接展开的方法 2•间接展开的方法例15将函数f(x)二secx 展开成x 的幕级数. 解 由于f(x)二secx 是偶函数，它的导数必是奇函数,幕级数展开式中只含x 的偶次幕，故可设secx 」’ a 2n x2nn =024中COS"1吆和川(-一X 」)，故l 1解 a 0 = | J 0 f (x)dx=2 J0(2+x)dx=5,2 ln 二 x 1f (x)cos dx = 2 o (2 x)cos n 二 xdx =2 ..{xsin n 二 x a n1xd sin n 二 xdx所以六、 1 10「; sin n 二 xdx} 12 2 cos n二 x0 n兀2 n_4 -~~2~2 [( _1) - U = ~~2~2(n =1,3,5,丨1(),n ■:2 + x=={cosCOz1 1二x 2cos3二 x 2cos5二 x ||(} (_1_x_1),3 52 5n4(2n - 1)n±(2 n 1)22n^(2 n 1)圧1 2吕(2n吕(2 n 1)4n4 n3〔 二 1— -2 -4 n j n 2 ?n 吕n n生(2门1)8所以二1\丄 - 2 n二2二2函数展开为幕级数的方法 即f (2n」)(x)是奇函数,(2nd)因而f (2n')(0) = 0,因此f(x)二secx 展开式中奇次幕的系数(2n_ 1)!(叭 0 ,即 f (x)，而 secx cosx = 1，从而n n' a k 1 八k =i k =1k 1k f(x)dx 二:: n.f(x)dx E' ak，i k』2 42 4 XXsecx cosx = (a0 a2x a4x HI) (1 )=1 ,2! 4!比较系数得a o 1=1, a2 1-色=0, a4 1-勺虫7川2! 2! 4!所以a°= 1, a? = 1, a4 =-4 ,| |(,2 251 2 4 4因此，secx = 1 x x T 1(.5『方法技巧』本题虽然采用间接的方法，但与以前的例题有所不同的是利用了函数自身的性质以及三角恒等式的关系•同理，你可以试着将f(x) 二展1 +e x 开为x的幕级数.七、函数展开为傅里叶级数例16 f(x)在［」卫］上满足f(x")= f(x，试证其傅里叶系数a2nJL 讥」证1 二a2n A f (x)cos(2 n -1)xdx1 01 二f (x)cos(2 n-1)xdx f (x)cos(2 n-1)xdx令x -二t，则兀0 0f (x)cos(2n-1)xdx f (二t)cos(2nTXdt f (二x)cos(2n-1)xdx0 ■- ■-故a2n4 =0，同理.七、综合杂例旳1例17证明柯西积分判别法，并判定级数—的敛散性.n=2 ln( n!)设f(x)在x_1上非负、连续且单调递减，则f( n)与.「■ f (x)dx同敛散. n A证由于k乞x^k，1时，f (k，1)乞f(x)乞f(k)，因此k十a k 1 = f(k 1)乞f(x)dx 咗f (k) =a k,knn比-a^< i'f(x)dx<^ a k ,k 4'kJ由上式知' f( n)与十''f (x)dx 敛散性一致. n 4 1 1 1,Inn ! ) I n 1 -1 in 2 n Inn n<d|二A又因为 —d^lnln三发散，故由柯西积分判别法知 —发、2xln xn=2 n In nO0 A散，再由比较审敛法得级数V 丄发散•n=2ln(n!)例18(09数一)设a n 为曲线y=x n与y = x n 1(n=1,2川I)所围成区域的面 积，记0八「a .，S 2八，求的值.n T n 丑解 曲线 y=x n与y=x n1的交点为(0,0),(1,1).所以旳1而71 *发散.ni2:_ n所以，级数在小时收敛；在心时发散-a n从而003 =、anN=lim ' a n 二 lim-1 — n=1N —丿n吕N ?:23N 1/ / n n卅、』 z 1n 卅1n 42、0(x -x )dx =(FT —R x )1N 2□a S 2 二' a 2n 4n 4n * 2n丄)丄1丄-1丄」I ，2n 12 3 4 5 611 由于 ln(1 x) = x x 2x 323nm ^1)nJ —n11111ln 2=1-(—-— —-— — TH)=1 -S 2，所以 S 2=1 -1n2.2 3 4 5 6因为n n『方法技巧』比较审敛法中，选作参照物的级数可以是P-级数，也可以是等比级数.3. 比较审敛法的极限形式----- L ------------------------------ = ( —L 2x n A (2n +1)! 2x 心。