4
å ( ) = elit i =1
fiTMx(0) ai
fi
( ) 代入初始条件及复模态
令复常数为
Ti =
fiTMx(0) ai
éêêêë
x1 x2
ùúúúû
=
e(-n1 +iwd1)tT1f1
+ e(-n1-iwd1)tT2f2
+ e(-n2 +iwd2 )tT3f3
+ e(-n2 -iwd2 )tT4f4
对于特征值问题，设
x = felt
x Î Rn
得到：
(Ml2 + Cl + K)f = 0
f 有非零解的充要条件 ：Ml2 + Cl + K = 0
一般粘性阻尼系统的特征方程
2n 个特征值： 1，2，，2n 实数或复数
3. 物理空间的复模态
一般粘性阻尼系统的特征方程: Ml2 + Cl + K = 0
复模态分析基础
• 1. 引言1－粘性阻尼单自由度系统自由振动 • 2. 引言2－对称阻尼矩阵 • 3. 物理空间的复模态 • 4. 状态空间的复模态 • 5. 复模态叠加法
董兴建 上海交通大学 振动，冲击，噪声研究所
机械大楼 A832
1. 引言1－粘性阻尼单自由度系统自由振动
粘性阻尼单自由度系统自由振动方程
Apz + Bpz = ΦTP(t)
Ψ
=
éêêêë
ΦΛ Φ
ùúúúû
在复模态空间已经完全解耦，第 i 个方程写为
aizi + bizi = fiTP(t)
或者 zi - lizi =
1 ai
-l
i
fiTP(t)
=
bi ai
得到复模态空间的解
ò zi (t )
=
zi (0)elit
+1 ai
t 0
fT
mx + cx + kx = 0
衰减系数
n
定义： 2n = c
m
wn2
=
k m
那么有：
x
+ 2nx
+
w2
n
x
=
0
进一步令
z= n w
n
从而有 x + 2zwnx + wn2x = 0
相对阻尼系数
z
特征根：
s1,2
=
-zw
n
i
w
n
1- z2
阻尼固有频率
wd = wn 1 - z 2
欠阻尼自由振动解：
x = e-zwnt (c1 cos wdt + c2 sin wdt)
2n 个特征值： 1，2，，2n 实数或复数
相对应，2n 个特征向量:
f1 ,f2 ,,f2n
因为特征方程的系数都是实的
(fi Î Rn´1)
所以特征值为复数时，必定以共轭形式成对出现
相应地，特征向量也是共轭成对的复向量 复模态 或 复振型
复模态矩阵： Φ = éêë f1 f1 f2n ùúû
这是一种具有相位关系的振型，不再具有原来主振型的意义
当特征值为具有负实部的复数时，每一对这样的共轭特征值 对应系统中具有特定的频率和衰减系数的自由衰减振动
4. 状态空间的复模态
系统在物理空间中的坐标只有n 个，而复模态却有 2n 个，所 以不能用 上述的复模态矩阵 对前面的物理坐标下的振动方程 进行解偶。为此，引入状态空间方程。
Mx + Cx + Kx = P(t)
在阻尼力较小时，或激励远离系统的固有频率时，可以忽略阻 尼力的存在，近似地当作无阻尼系统
当激励的频率接近系统的固有频率，激励时间又不是很短暂的 情况下，阻尼的影响是不能忽略的。
一般情况下，可将各种类型的阻尼化作等效粘性阻尼
2. 引言2－对称阻尼矩阵
有阻尼的 n 自由度系统： Mx + Cx + Kx = P(t)
= ( e-zwntA cos wdt - q )
无阻尼自由振动解： x = c1 cos wnt + c2 sin wnt
= A cos( wnt - q )
2. 引言2－对称阻尼矩阵
实际机械系统中不可避免地存在着阻尼: 材料的结构阻尼，介质 的粘性阻尼等. 阻尼力机理复杂，难以给出恰当的数学表达
特征值相同
得特征值问题： ( Al + B )y = 0
l = -n iwd
y
=
éêêêë
lf f
ùúúúû
4. 状态空间的复模态
复模态的正交性及其归一化
正交性：
Ay + By = 0
y = yelt
yT
i
Ayj
=
0
yiTAyi = ai
yiTByj = 0 yiTByi = bi
-l = bi i ai
ùúúúû
+
éêêêë -2cc
-c 2c
ùúúúû
éêêêë
x1 x2
ùúúúû
+
éêêêë
2k -k
-k 3k
ùúúúû
éêêêë
x1 x2
ùúúúû
=
éêêêë
0 0
ùúúúû
例题
2. 求解复模态
假设
éêêêë
x1 x2
ùúúúû
=
éêêêë
fe1 fe2
ùúúúû
elt
得到矩阵特征值问题
êêêëé
最后，由复模态空间返回到物理空间
å2n
x(t) = Φz(t) = fizi(t)
+
Mx(0)
+
Cx(0))
y=
éêêêë
x x
ùúúúû
i =1
å =
2n elit i=1 ai
fifiT
éë M (x(0) +
lix(0)) +
Cx(0)ùû
å ò + 2n 1 f fT i=1 ai i i
t P(t)eli (t-t)dt
0 2m 0
0 0 3m
ùúúúúúû
CP
= ΦTCΦ =
éêêêêêë
c -c
c
-c
c -c
c -c
c
ùúúúúúû
C = éêêêêêëc00
0 0 0
0 0 0
ùúúúúúû
ΦTKΦ
=
éêêêêêë
6k 0 0
0 6k 0
0 0 12k
ùúúúúúû
非对角
2. 引言2－对称阻尼矩阵
若 CP 非对角，则在无阻尼系统中介绍的主坐标方法或正则坐标 方法都不再适用，振动分析将变得十分复杂
相对阻尼系数：
i
c pi
2i m pi
ampi bk pi
2i m pi
1a (
2 i
bi )
（3）由实验测定n 阶振型阻尼系数 i (i 1 ~ n)
7
3. 物理空间的复模态
• 一般粘性阻尼系统的响应
• 当阻尼矩阵 C 不允许忽略非对角元素，以上近似方法不成立 • 须用复模态进行求解
n 自由度系统：Mx + Cx + Kx = P(t)
=
ëéêêê
2r11e-n1t 2r21e-n1t
cos(wd1t cos(wd1t
- q11) + - q21) +
2r12e-n2t 2r22e-n2t
cos(wd 2t cos(wd 2t
-
qq1222))ùúúúû
0
y = Ψz
Ψ
=
éêêêë
ΦΛ Φ
ùúúúû
例题
如图，三个阻尼器的阻尼系
数相同，为 c = 0.5 km
2
已知始条件为：
x1(0) = x2(0) = 0 x1(0) = 0 x2(0) = v
用复模态方法求系统的自由振动。
1. 系统的自由振动方程为
éêêêë m0
0 2m
ùúúúû
éêêêë
x1 x2
令：cPi / mPi = 2ziwi
hi
+ 2ziwihi
+ wi2hii
=
1 mPi
Qi
(t
)
zi 第 i 阶振型阻尼比或模态阻尼比
2. 引言2－对称阻尼矩阵
（2） 将矩阵 C 假设为比例阻尼
假定 C 有下列形式： C = aM + bK a, b：为常数
代入 Cp = ΦTCΦ 中 Cp = ΦT(aM + bK)Φ = aMp + bKp 对角阵
x Î Rn
假定已经得到无阻尼系统下的模态矩阵 Φ及谱矩阵 Λ
作坐标变换 x = Φh ΦTMΦh + ΦTCΦh + ΦTKΦh = ΦTP(t)
Mph + Cph + Kph = Q(t)
Cp = ΦTCΦ
模态阻尼矩阵
虽然主质量矩阵与主刚度矩阵是对角阵，但阻尼矩阵一般非
对角阵，因而主坐标 h 下的强迫振动方程仍然存在耦合。
i
P(t
)e
li
(t
-t
)dt
5. 复模态叠加法
zi
- lizi
=
1 ai
fiTP(t)
ò zi (t )
=
zi (0)elit
+1 ai
t 0
fT
i
P(t
)eli
(t
-t