2017年普通高等学校招生全国统一考试适应性训练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知全集R U =，集合()()}031|{},22|{≥-+=<<-=x x x B x x A ，则)(B C A R 等于( )A ．(1,2)-B ．(]1,2--C ．()1,2--D ．()3,22．设复数z 的共轭复数为z ，且满足i iiz z ⋅-+=-11，i 为虚数单位，则复数z 的虚部．．是( ) A ．12 B ．2 C ．12- D ．2- 3．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()22,0N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间()4,2内的概率为( )（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,σμN ，则()6826.0=+<<-σμξσμP ， ()9544.022=+<<-σμξσμP ，()330.9974P μσξμσ-<<+=） A ．0456.0 B ．1359.0 C ．2718.0 D ．3174.04．已知()x x a x f a 22,1+=>，则使()1<x f 成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．02<<-xB ．12<<-xC ．01<<-xD ．01≤<-x 5．定义运算b a *为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则⎪⎭⎫ ⎝⎛*⎪⎭⎫ ⎝⎛125cos 125sin ππ的值为( )A ．432-B ．432+ C ．41 D ．436．已知向量()1,3=a ,()3,1=b ,()2,-=k c ，若()b c a //-，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是（ ）A ．55B ．51C ．55- D ．51-7．设函数()x x f ωsin =()0>ω，将()x f y =的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象与函数x y ωcos =的图像重合，则ω的最小值是（ ）A ．31B ．3C ．6D ．98．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（ ）A ．102B ．22C ．29 D9．已知异面直线a 、b 成80 角，A 为空间中一点，则过A 与a 、b 都成40 角的平面共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知AB 为经过抛物线26y x =焦点F 的弦，C 为抛物线的准线与x 轴的交点，若弦AB 的斜率为43，则∠ACB 的正切值为（ ）A ．409B ．821- C ．1 D ．不存在11．已知数列{}n a 是等比数列，若8852-=a a a ，则959151941a a a a a a ++（ ） A ．有最大值12- B ．有最小值21 C ．有最大值25 D ．有最小值2512．已知函数()x xe x f =（注：e 是自然对数的底数），方程()()210f x tf x ++=，()t R ∈有四个实数根，则t 的取值范围为( )A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞+,12e eB ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞-e e 1,2C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-2,12e eD ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+e e 1,22第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填写在答题卡相应的位置）13．若数列{}n a 是正项数列，且n n a a a n 3221+=+++ ，则=++++13221n a a a n ． 14．512⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x a x 展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ．15．过(,)P a b 向圆22(2)(3)1x y -+-=引切线PT ，T 为切点，若|PT|=|PO|（O 为坐标原点），则切线|PT|的最小值为 ．16．若整数．．y x ,满足不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩，则y x 43+三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)己知函数()()21cos sin 2f x x x x x R =++∈，（Ⅰ）当,46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()x f 的最小值和最大值；（Ⅱ）设ABC ∆的内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，且3=c ，()2=C f ，若向量()a ,1=与向量()b ,2=共线，求b a ,的值．18．(本小题满分12分)在三棱柱111C B A ABC -中，侧面11A ABB 为矩形，2=AB ，21=AA ，D 为1AA 的中点，BD 与1AB交于点O ，⊥CO 侧面11A ABB . （Ⅰ）证明：1AB CD ⊥； （Ⅱ）若OA OC =，求直线D C 1与平面ABC 所成角的正弦值． 19．(本小题满分12分)某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（1）的前提下，记X 为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X 的概率分布及生产1件芯片甲和1件芯片乙所得总利润的平均值．20．(本小题满分12分)已知双曲线C ：22221x y a b-=（,0a b >），12,F F 为C 的左右焦点，P 为C 右支上一点，且使123F PF π∠=，又12F PF ∆的面积为2．（Ⅰ）求双曲线C 的离心率e ；（Ⅱ）设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上任意一点，问是否存在常数λ（λ>0），使得22QF A QAF λ∠=∠恒成立，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数()(ln 1)1f x b x =++的图像在1x =处的切线方程为230x y +-=． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：当0x >ln x >；（Ⅲ）证明：对于任意给定的正数M ，总存在正实数0x ，使得当0x x >时，恒有ln M x >．请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆的外接圆的切线AE 与BC 的延长线相交于点E ，BAC ∠的平分线与BC 相交于点D ，22==BD AE ．（Ⅰ）求证：ED EA =； （Ⅱ）求BE DC ⋅的值． 23．（本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x （α为参数），在以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为24sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的倾斜角；（Ⅱ）设点()2,0P ，直线l 和曲线C 交于B A ,两点，求PB PA +的值． 24．（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知实数n m ,满足关于x 的不等式96322--≤++x x n mx x 的解集为R ， （Ⅰ）求n m ,的值；（Ⅱ）若+∈R c b a ,,，且n m c b a -=++，求证：3≤++c b a ．数学（理科）答案一．选择题：CABCC ADCCA DB二．填空题：13．226n n +； 14．40； 15．13136； 16．16 三．解答题：17．【解答】：（Ⅰ）()sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,则()f x 的最大值为32,最小值为0；（2）由()2f C =知，3C π=，由//m n 知，2b a =，则12a b =⎧⎨=⎩18．【解答】：（Ⅰ）证明：由题意可知，在ABD RT ∆中，22tan =∠ABD ，在1ABB RT ∆中，22tan 1=∠B AB .所以B AB ABD 1∠=∠， 所以2111π=∠+∠=∠+∠BAB B AB BAB ABD ，所以BD AB ⊥1，又⊥CO 侧面11A ABB ，所以CO AB ⊥1.又因为O CO BD = ，所以⊥1AB 平面CBD ,所以BC AB ⊥1.（Ⅱ）如图所示，分别以OC OB OB ,,1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，以O 为原点，建立空间直角坐标系，则()()()()()0,0,22,0,1,0,2,0,0,0,2,0,0,0,21B D C B A --,由11CC BB =求得()2,2,221-C ,设平面ABC 法向量为，则求得()2,1,2--=，设直线D C 1与平面ABC 所成角为θ，则sin θ=19．【解答】：（Ⅰ）芯片甲为合格品的概率约为4032841005++=，芯片乙为合格品的概率约为4029631004++=．（Ⅱ）随机变量X 的所有取值为90,45,30,15-．()43390545P X ==⨯=；()133455420P X ==⨯=；()41130545P X ==⨯=；()11115,5420P X =-=⨯=X的期望6020．【解答】：（Ⅰ）由定义122r r a-=，又12221121223sin12PF FS rr rr aπ∆==⇔=2221212342cosc r r rrπ=+-()2222212121212416c r r r r r r r r a⇔=+-=-+=∴e=2（Ⅱ）∴e=2，可设双曲线方程为：222213x ya a-=，即为22233x y a-=假设存在常数λ，使得22QF A QAFλ∠=∠恒成立，取(2,3)Q a a，则2Q FA∠=90°，由于A（-a，0），∴22||||3AF QF a==，∴2QAF∠=45°，λ=2以下证明一般性：任取0000(,),(,0)Q x y x y>则2220033x y a-=设2QAFθ∠=，则0tanAQykx aθ==+，这时000022222200002()2()2tantan21tan()()3()y x a y x ax a y x a x aθθθ++===-+-+--22tan2QFyk QF Ax a=-=-=∠-，∴恒有222QF A QAF∠=∠21．【解答】：（Ⅰ）∵()bf xx'=+，()f x在1x=处的切线方程为230x y+-=∴(1)1111111(1)222f a baabf b=++=⎧⎧=⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨'=-=-+=-⎩⎪⎪⎩⎩（Ⅱ）由（Ⅰ）知()lng x x，∴1()g xx'=-=当(0,4)x∈，()0g x'<，当(4,)x∈+∞，()0g x'>，∴()(4)2ln40g x g≥=->ln x>（Ⅲ）【方法一】：由ln x>111142421ln ln ln22xx xx x x>⇔>⇔>，对于任意给定的正数M lnM x>，只要144162xM x M≤⇔≥，取416x M=，当0x x >ln M x >【方法二】：由（Ⅱ）ln x >111133621ln ln ln 33xx x x x x >⇔>⇔>对于任意给定的正数M ln M x >，只要133273xM x M ≤⇔≥，取3027x M =，当0x x >ln M x > 【方法三】：显然对0x ∀>都有1111444444ln ln ln ln x x M x x x x M x x e e e e≤⇔≤⇔≤⇔≤对于任意给定的正数M ，ln M x >，只要41444M M x x e e ⎛⎫≤⇔≥ ⎪⎝⎭取404M x e ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，当0x x >ln M x >【方法四】：显然对0x ∀>ln M x >，设2x t =则只要2ln t M t t>⇐>由（Ⅱ）ln t >1<即24t M >，取204t M =，即240016x t M == 22．【解答】（Ⅰ）因为AE 为圆的切线，所以CAE ABD ∠=∠, 又因为AD 平分BAC ∠，所以BAD DAC ∠=∠,因为,ADB ABD BAD DAE DAC CAE ∠=∠+∠∠=∠+∠,所以DAE ADE ∠=∠, 所以EA ED =（Ⅱ）2,3EA DE EB ED DB ===+=,因为2EA EC EB =⋅,所以4,3EC =则23DC =,所以2DC BE ⋅=23．【解答】（Ⅰ）曲线C 的普通方程：1922=+y x ， 直线l 的直角坐标方程：02=-+y x ，倾斜角为43π（Ⅱ）由上知，P 在直线l 上，设直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=22222y x （t 为参数） 代入曲线C 的方程得：02721852=++t t ，由直线上的点()0,2在曲线C 内知方程有两个不同的解21,t t ，即为点B A ,对应的参数，则527,52182121=-=+t t t t ，0,02121><+t t t t ，则0,021<<t t ， 所以()521821=+-=+t t PB PA24．【解答】（Ⅰ）将3,1x x ==-代入不等式得39010m n n m ++=⎧⎨-+=⎩，得23m n =-⎧⎨=-⎩（Ⅱ）1a b c ++=，由柯西不等式知， ()()2111a b c ++++≥，所以。