习题1—1解答 1． 设y x xy y x f +=),(，求),(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解yxxy y x f +=--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1(2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++=),(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=⋅+⋅+⋅+⋅=++=⋅=3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),(22-+-=y x y x f（2）;)1ln(4),(222y x y x y x f ---=（3）;1),(222222cz b y a x y x f ---=（4）.1),,(222zy x z y x z y x f ---++=解（1）（2） （3） （4）4（1）1limy x →→（2）lim1→→y x（3）41)42()42)(42(lim 42lim000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x（4）2)sin(lim )sin(lim202=⋅=→→→→x xy xy y xy y x y x5．证明下列极限不存在：（1）;lim 00yx y x y x -+→→ （2）2222200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim0020-=-+=-+→→=→x x xx y x y x x x y x ；如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim 0020==-+→→=→y yy x y x y y x y所以极限不存在。

（2）证明 如果动点),(y x P 沿x y =趋向)0,0(则1lim )(lim 4402222200==-+→→=→x x y x y x y x x x y x ； 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0(，则044lim )(lim 244022222020=+=-+→→=→x x x y x y x y x x x y x 所以极限不存在。

6．指出下列函数的间断点：（1）xy xy y x f 22),(2-+=； （2）y x z -=ln 。

解 （1）为使函数表达式有意义，需022≠-x y ，所以在022=-x y 处，函数间断。

（2）为使函数表达式有意义，需y x ≠，所以在y x =处，函数间断。

习题1—2 1．（1）x y y x z +=,21x y y x z -=∂∂，21y xx y z -=∂∂. (2))]2sin()[cos()sin()cos(2)cos(xy xy y xy xy y xy y xz-=-=∂∂ )]2sin()[cos()sin()cos(2)cos(xy xy x xy xy x xy x yz-=-=∂∂(3)121)1()1(--+=+=∂∂y y xy y y xy y xz, lnz=yln(1+xy)，两边同时对y 求偏导得,1)1ln(1xyxy xy y z z +++=∂∂]1)1[ln()1(]1)1[ln(xyxy xy xy xy xy xy z y zy ++++=+++=∂∂; (4))(2213323y x x y x x y x x y x z +-=+-=∂∂,;11322y x x y x x y z +=+=∂∂ (5)x x zy z ux x z y u x z y x u z yz yz yln ,ln 1,21-=∂∂=∂∂=∂∂-; (6)z z y x y x z x u 21)(1)(-+-=∂∂-, z z y x y x z y u 21)(1)(-+--=∂∂-,zz y x y x y x z u 2)(1)ln()(-+--=∂∂; 2.(1)0,1,0,,=====yy xy xx y x z z z x z y z ;(2) ),(2sin ),(2sin by ax b z by ax a z y x +=+=)(2cos 2),(2cos 2),(2cos 222by ax b z by ax ab z by ax a z yy xy xx +=+=+=.3 2222,2,2x yz f z xy f xz y f z y x +=+=+=,,2,2,2z f x f z f yz xz xx ===0)0,1,0(,2)2,0,1(,2)1,0,0(=-==yz xz xx f f f .4)2(2cos ),2(2cos 2),2(2sin ),2(2sin 2tx z t x z t x z t x z tt xt t x --=-=-=--=0)2(2cos 2)2(2cos 22=-+--=+tx t x z z xt tt .5.(1) x yx e x y z 2-=, x y y e x z 1=,=dz +-dx e xy x y 2dy e x x y1;(2) )ln(2122y x z +=,22yx x z x +=,22y x y z y +=,dy y x y dx y dz 2222x x +++=;(3)2222)(1y x y x y x y z x +-=+-= , 222)(11y x x xy x z y +=+= ,22y x xdy ydx dz ++-=; (4) ,1-=yz x yzxu x zx u yz y ln =,x yx u yz z ln =, =du xdz yx xdy zx dx yzx yz yz yz ln ln 1++-.6. 设对角线为z,则,22y x z +=22yx x z x +=,22yx y z y +=, =dz 22yx ydy xdx ++当1.0,05.0,8,6-=∆=∆==y x y x 时,2286)1.0(805.06+-⨯+⨯=≈∆dz z =-0.05(m).7. 设两腰分别为x 、y,斜边为z,则,22y x z +=22yx x z x +=，22yx y z y +=, =dz 22yx ydy xdx ++,设x 、y 、z 的绝对误差分别为x δ、y δ、z δ,当1.0,1.0,24,7=≤∆=≤∆==y x y x y x δδ时, 2524722=+=z222471.0241.07+⨯+⨯≤≤∆dz z =0.124,z 的绝对误差124.0=z δz 的相对误差≈∆z z %496.025124.0=. 8. 设内半径为r ，内高为h ，容积为V ，则h r V 2π=,rh V r π2=,2r V h π=,dh r rhdr dV 22ππ+=,当1.0,1.0,20,4=∆=∆==h r h r 时,)(264.551.0414.31.020414.3232cm dV V =⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=≈∆.习题1—31.=∂∂+∂∂+∂∂=dxdz z f dx dy y f dx dx x f dx du ++2)(1z xy z y +⋅+ax ae zxy z x2)(122)(1z xy z xy +-)1(2+⋅ax a=222)]1(2[y x z ax axy axz z y ++-+=axax ex ax x a e ax 22422)1()1()1(++++. 2.x f x f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ηηξξ=4432224arcsin 11y x x y x x+⋅+----ξξη=))(1()ln(1arcsin 422224444223y x y x y x x y x y x x +--+-+--y f y f y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ηηξξ=4432224arcsin 11y x y y x y+⋅+----ξξη=))(1()ln(1arcsin 422224444223y x y x y x y y x y x y +--+-+--.3. (1)xu ∂∂=212f ye xf xy +, y u ∂∂=212f xe yf xy+-.(2)x u ∂∂=11f y ⋅, y u ∂∂=2121f z f y x +⋅-,z u∂∂=22f zy ⋅-.(3)xu∂∂=321yzf yf f ++,y u ∂∂=32xzf xf +,z u ∂∂=3xyf .(4)x u ∂∂=3212f yf xf ++y u ∂∂=3212f xf yf ++,z u∂∂=3f .4 .(1)1yf xz=∂∂,21f xf y z +=∂∂, 11222f y x z =∂∂,12111121112)(yf xyf f f xf y f yx z ++=++=∂∂∂, 2221121122)(f xf f xf x yz +++=∂∂=22121122f xf f x ++ (2)2122xyf f y xz+=∂∂,2212f x xyf y z +=∂∂, 2222123114222212212112222442)2(22)2(f y x f xy f y yf xyf f y xy yf xyf f y y xz +++=++++=∂∂.1222223113212222121221121252222)2(22)2(2f y x yf x f xy xf yf f x xyf xy xf f x xyf y yf y x z++++=+++++=∂∂∂ 2241231122122221212211122442)2()2(22f x yf x f y x xf f x xyf x f x xyf xy xf y z +++=++++=∂∂ 5 yux u t y y u t x x u t u y u x u s y y u s x x u s u ∂∂+∂∂-=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂2123,2321, 222)(4323)(41)(y u y u x u x u s u ∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂,222)(4123)(43)(yu y u x u x u t u ∂∂+∂∂∂∂-∂∂=∂∂, 2222)()()()(yu x u t u s u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂∴. 6 (1) 设)(),,(z y x ez y x z y x F ++--++=, )(1z y x x e F ++-+=,)(1z y x y e F ++-+=,)(1z y x z e F ++-+=,1-=-=∂∂z x F F x z ,1-=-=∂∂zy F F y zxz y x y x zy x y x z y x x F yx z y x z z y x F x 2))(21(sec tan,tan ),,()2(23222222222222222---------=---=设=222222tany x xz yx z yx x -+---222secyx z -,)2())(21(sectan2322222222222yz y x y x zy x yx zyx yF y --------=- =222222tany x yz yx z yx y -----222secyx z -,-=1z F 22222sec yx z y x --221yx -=222tanyx z --,=∂∂x z )cot 1(cot 222222222y x z y x xz y x z y x x F F z x -+-+---=-,=∂∂y z ).cot 1(cot 222222222yx z yx yz y x z y x y F F z y -+-----=-(3) 设xyz z y x z y x F 22),,(-++=,x yz F x -=1yxzF y -=2zxyF x -=1, =∂∂xzz x F F -=xy xyz xyz yz --,=∂∂yzz y F F -=xyxyz xyz xz --2.(4) 设y z z x y z z x z y x F ln ln ln ),,(+-=-=,y F z F y x 1,1==z zx F z 12--=, =∂∂x z z x z F F z x +=-,=∂∂y z )(2z x y z F F z y +=-, 7.设)32sin(232),,(z y x z y x z y x F -+--+=,),32cos(21z y x F x -+-=)32cos(42z y x F y -+-=,)32cos(63z y x F z -++-=,∴=∂∂x z31=-z x F F ,=∂∂y z 32=-z y F F ,∴+∂∂x z =∂∂yz1. 8.设2121,,),,(),,(φφφφφb a F c F c F bz cy az cx z y x F z y x --===--=,=∂∂x z211φφφb a c F F z x +=-,=∂∂y z ,212φφφb a c F F z y +=- ∴+∂∂xzac y z b =∂∂. 9. (1)方程两边同时对x 求导得⎪⎩⎪⎨⎧=+++=,0642,22dx dzz dx dy y x dx dy y x dx dz 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=13,)13(2)16(z x dx dy z y z x dx dy(2) 方程两边同时对z 求导得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0222,01z dz dyy dz dx x dz dydz dx 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=.,yx xz dzdy yx zy dz dx(3) 方程两边同时对x 求偏导得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=,sin cos 0,cos sin 1x v v u v x u x u e x v v u v x u x u e u u 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=∂∂+-=∂∂.]1)cos (sin [cos ,1)cos (sin sin v v e u e v x v v v e v x u u uu 同理方程两边同时对y 求偏导得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=,sin cos 1,cos sin 0y v v u v y u y u e yvv u v y u y u e u u解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=∂∂+--=∂∂.]1)cos (sin [sin ,1)cos (sin cos v v e u e v x v v v e v x u u uu000000022200012141(1)23,(1,1,0),(1,1,2)22,44,60,4*((2)(),(1,1,1),(2,1,1);()()p p p p p p p pz z p p ul u x y z p l u x x u y y u zzl u l yu p l x u y yz x x x --∂∂=++=-∂==∂∂==∂∂==∂=∂∴=+=∂==-∂=-=∂习题。