第十三章 曲线积分与曲面积分定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.第一节 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为()x f y =，[]b a x ,∈，其上每一点的密度为()y x ,ρ．如图13-1我们可以将物体分为n 段，分点为n M M M ,...,,21, 每一小弧段的长度分别是12,,...,n s s s ∆∆∆．取其中的一小段弧i i M M 1-来分析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点(),i i ξη的密度(),i i ρξη来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于(),i i i s ρξη∆．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即()∑=∆≈ni i i i s y x M 1,ρ．用λ表示n 个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当0λ→时的极限，从而得到图13-11lim (,).ni i i i M s λρξη→∞==∆∑即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义：定义13.1 设L 是xoy 面的一条光滑曲线，函数()y x f ,在L 上有界，用L 上任意插入一点列n M M M ,...,,21将曲线分为n 个小段. 设第i 段的长度为i s ∆(1,2,,i n =)，又()i i ηξ,为第i 个小段上任意取定的一点，作乘积()i i i s f ∆ηξ,，并作和()i i i ni s f ∆∑=ηξ,1，若当各小段的长度λ的最大值趋于零时，此和式的极限存在，称此极限为函数()y x f ,在曲线L 上对弧长的曲线积分, 也称为第一类曲线积分, 记作()⎰Lds y x f ,, 即1(,)lim (,)ni i i Li f x y ds f s λξη→==∆∑⎰,其中()y x f ,叫做被积函数，L 称为积分弧段．当L 是光滑封闭曲线时，记为()⎰Lds y x f ,．类似地，对于三元函数()z y x f ,,在空间的曲线L 上光滑，也可以定义()z y x f ,,在曲线L 上对弧长的曲线积分()⎰Lds z y x f ,,．这样，本节一开始所要求的构件质量就可表示为(,).LM x y ds ρ=⎰由对弧长的曲线积分的定义可以知道，第一类曲线积分具有下面的性质： 性质1（线性性）若,f g 在曲线L 上第一类曲线积分存在，,αβ是常数, 则(,)(,)f x y g x y αβ+在曲线L 上第一类曲线积分也存在，且()()()()(),,,,LLLf x yg x y ds f x y ds g x y ds αβαβ±=±⎰⎰⎰；性质２（对路径的可加性）设曲线L 分成两段12,L L . 如果函数f 在L 上的第一类曲线积分存在，则函数分别在1L 和2L 上的第一类曲线积分也存在. 反之，如果函数f 在1L 和2L 上的第一类曲线积分存在，则函数f 在L 上的第一类曲线积分也存在. 并且下面等式成立1212L L L L fds fds fds +=+⎰⎰⎰．(12L L +表示L )对于三元函数也有类似的性质，这里不再一一列出． 二、第一类曲线积分的计算定理13.1 设有光滑曲线():,[,].()x t L t y t ϕαβψ=⎧∈⎨=⎩ 即'()t ϕ,'()t ψ连续. 若函数(,)f x y 在L 上连续，则它在L 上的第一类曲线积分存在，且()()()(,,Lf x y ds f t t βαϕψ=⎰⎰证明 如前面定义一样，对L 依次插入121,,...,n M M M -，并设0((),())M ϕαψα=，((),())n M ϕβψβ=. 注意到01.n t t t αβ=<<<= 记小弧段1i i M M -的长度为i s ∆，那么,1,2,.ii t i t s i n -∆==⎰1,(').i i t i i i i t s t t τ--∆=<<⎰所以, 当('')i i x ϕτ=,('')i i y ψτ=时,ii i 11(,)((''),(t ,n niiii i f x y s f ϕτψτ==∆=∑∑这里i 1i i i t ',''t .ττ-≤≤ 设ni i i 1f ((''),(i t σϕτψτ==∆∑则有n niiii i i i 1i 1f (x ,y )s f ((''),(t .ϕτψτσ==∆=+∑∑ 令12n t max{t ,t ,,t },∆=∆∆∆ 要证明的是t 0lim 0.σ∆→=因为复合函数f ((t),(t))ϕψ关于t 连续，所以在闭区间[,]αβ上有界，即存在M ，对一切t [,]αβ∈有|f ((t),(t))|M.ϕψ≤在[,]αβ上连续，所以它在[,]αβ上一致连续. 即当任给0ε>，必存在0δ>，当t δ∆<时有|.ε≤从而1||().ni i M t M σεεβα=≤∆=-∑所以lim 0.t σ∆→=再从定积分定义得ni i i 0i 1lim f ((''),(t t ϕτψτ∆→=∑((),(.f t t βαϕψ=⎰所以当n niiii i i i 1i 1f (x ,y )s f ((''),(t ϕτψτσ==∆=+∑∑两边取极限后，即得所要证的结果.特别地，如果平面上的光滑曲线的方程为(),,y y x a x b =≤≤则()()()()()2,,1'b Laf x y ds f x y x y x dx =+⎰⎰．例13.1 计算曲线积分⎰Lds y ，其中L 是抛物线2x y =上的点()0,0A 与点()1,1B 之间的一段弧．（如图13.1-2）图13-2解：积分曲线由方程[]1,0,2∈=x x y给出，所以()()⎰⎰+=1222'1dx x x ds y L12014x dx =+⎰()1241121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x =()155121-. 例13.2 计算积分()22nLxy ds +⎰，其中L 为圆周:sin ,x a t =cos ,y a t =02t π≤≤.解：由于L 为圆周：π20,cos ,sin ≤≤==t t a y t a x ，所以()()()()2222222220sin cos cos (sin )nnLxyds a t a t a t a t dt π+=++-⎰⎰⎰==ππ20222n na dt a．对于三元函数的对弧长的曲线积分，可以类似地计算．例如：若曲线L 由参数方程()()()t z z t y y t x x ===,,，βα≤≤t 确定，则有()()()dt t z t y t x ds 222'''++=，从而()()()()()()()()dt t z t y t x t z t y t x f ds z y x f L⎰⎰++=βα222''',,,,．例13.３ 计算曲线积分()⎰Γ++ds z y x222，其中Γ是螺旋线cos ,x a t = sin ,y a t =z kt =上相应于t 从0到π2的一段弧．解：由上面的结论有()()()()()()()dt k t a t a kt t a t a ds z y x⎰⎰++-++=++Γπ20222222222cos sin sin cos()()2222220222224332k a k a dtk a t k aπππ++=++=⎰例14.4 计算2Lx ds ⎰, 其中L 为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周.解：由对称性可知222,LLLx ds y ds z ds ==⎰⎰⎰所以22222312().333L L L a x ds x y z ds ds a π=++==⎰⎰⎰习题13.11. 计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I （设线密度1μ=）.2. 计算曲线积分222()xy z ds Γ++⎰，其中Γ为螺旋线cos x a t =，sin y a t =，z kt=上相应于t 从0到2π的一段弧. 3. 计算,x Cye dS -⎰其中C 为曲线2ln(1),23x t y arctgt t =+=-+由0t =到1t =间的一段弧.4. 求L xydS ⎰，其中L 是椭圆周22221x y a b+=位于第一象限中的那部分。

5.计算⎰，其中L 为曲线222.x y y +=-6. 求LxdS ⎰，其中L 为双曲线1xy =从点1(,2)2到点(1,1)的一段弧。

7. 计算()Lx y ds +⎰其中L 为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段.8. 计算22x y Leds +⎰其中L 为圆周222x y a +=,直线y x =及x 轴在第一象限所扇形的整个边界. 9. 计算2,x yzds Γ⎰其中Γ为折线,ABCD 这里A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)。

10. 计算22()Lxy ds +⎰，其中L 为曲线(cos sin )x a t t t =+, (sin cos )y a t t t =-(02)t π≤≤.11. 设L 为双纽线222222()()x y a x y +=-, 计算积分||LI y ds =⎰.12. 设L 为椭圆22143x y +=, 其周长为a , 求22(234)L xy x y ds ++⎰. 参考答案1．3(sin cos )R ααα- 2.22224)3a k ππ+ 3.213ln 21624ππ-+ 4.22()3()ab a ab b a b +++5. 04sin 4sin 8d d ππθθθθ--=-=⎰⎰6. 21111[ln ]2241t t t -=++7.8. 224ae a π⎛⎫+- ⎪⎝⎭9. 910. 2322(12)a ππ+11. 22(2a12. 12a第二节 对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质在实际中还碰到另一种类型的曲线积分问题. 例如一质点在空间中沿着一条光滑曲线()()():,,L x x t y y t z z t ===运动，当a t =时，对应曲线上的一个端点A ，当b t =时，对应曲线的另一个端点B ，在外力()()()()k z y x R j z y x Q i z y x P z y x F ,,,,,,,,++=的作用下质点从A 移动到B ，现在求力F 所作的功．由物理学的知识知道：若力与位移都是常量，则有s F W ⋅=．现在的是一个变量，位移→s 也是变量．为了求这个力所作的功我们可以将曲线分为若干段，即插入n 个分点B M M M A M n ==,...,,,210这些点对应的t 分别是b t t t a n ==,...,,10．在每一小段弧i i M M 1-上，可以认为位移就是i i M M 1-，在小弧段i i M M 1-上任意一点()i i i ζηξ,,的力()i i i F ζηξ,,→来近似质点在这一小弧段上移动所受到的力．于是当质点从1-i M 移到i M 时，力→F 所作的功近似为()i i i i i M M F 1,,-→⋅ζηξ，将力在每一小段上所作的功相加，就得到了在力→F 的作用下质点从A 移动到B 所作的功的一个近似值．即()i i ni i i i M M F W 11,,-=⋅≈∑ζηξ注意()()()()},,,,,,,,{,,z y x R z y x Q z y x P z y x F =，而},,{1i i i i i z y x M M ∆∆∆=-，所以()i i ni i i i M M F W 11,,-=⋅≈∑ζηξ()()()()i i i i i i i i i i i i ni z R y Q x P ∆+∆+∆=∑=ζηξζηξζηξ,,,,,,1．再对上面的式子在所有小弧段的长度的最大值λ趋于零时取极限，若此极限存在，则它就是变力F 所作的功．即()()()()i i i i i i i i i i i i ni z R y Q x P W ∆+∆+∆=∑=→ζηξζηξζηξλ,,,,,,lim 1．从上面的分析可以看出，这个极限和前面讲的定积分、重积分、第一类曲线积分有很多的相似之处，它们都是一个乘积和式的极限．这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二类曲线积分.定义13.2 (对坐标的曲线积分或第二类曲线积分) 设L 是空间中的一条有向光滑的曲线，两个端点分别为A 和B . ()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,为定义在曲线L 上的函数．在L 依次插入点121,...,,-n M M M ，并令0000(,,)M x y z A =, (,,)n n n n M x y z B =.并且这些点是从A 到B 排列的. 这样就将曲线L 分为n 个小的弧段i i M M 1-(1,2,,i n =)．设1--=∆i i i x x x ，1i i i y y y -∆=-，1i i i z z z -∆=-．记各弧段长为i s ∆, 1max{}i i ns λ≤≤=∆. 在小弧段i i M M 1-上任意取一点()i i i ζηξ,,，若()∑=→∆ni iiiixP 1,,limζηξλ存在，则称之为函数()z y x P ,,在有向曲线L 上对坐标x 的曲线积分(或称第二类曲线积分)．记为()⎰Ldx z y x P ,,．即()⎰Ldx z y x P ,,＝()∑=→∆ni iiiix P 1,,lim ζηξλ．类似地，有()⎰Ldy z y x P ,,＝()∑=→∆ni iiiiy Q 1,,lim ζηξλ；()⎰Ldz z y x P ,,＝()∑=→∆ni iiiiz R 1,,lim ζηξλ．分别称为函数在有向曲线L 上对坐标y 和对坐标z 的曲线积分．这些积分统称为第二类曲线积分．若L 为封闭有向曲线,则记为(),,LP x y z dx ⎰、(),,LP x y z dy ⎰或(),,LP x y z dz ⎰．由对坐标的曲线积分的定义可以知道，第二类曲线积分具有下面的性质：１．()()()()()()⎰⎰⎰⎰++=++LLLLdz z y x R dy z y x Q dx z y x P dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ,,,,,,,,,,,,；２（线性性）：若两个向量值函数(,,)(,,)(,,)i i i LP x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰(1,2,,i k =)存在, 则()1111,k k k ki i i i i i i iiiL LLLi i i i c P dx c Q dy c R dz c Pdx Q dy R dz ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑⎰⎰⎰⎰其中(1,2,,)i c i k =为常数．３（路径可加性）：设定向分段光滑曲线L 分成了两段1L 和2L ，它们与L 的取向相同（记12L L L =+），则向量函数(,,)f x y z 在L 上的第二类曲线积分的存在性等价于(,,)f x y z 在1L 和2L 上的第二类曲线积分的存在性．且有()()()⎰⎰⎰+=+1221,,,,,,L L L L dx z y x f dx z y x f dx z y x f ；４（方向性）：如用L -表示与L 方向相反的曲线．则有()()⎰⎰-=-LLdx z y x f dx z y x f ,,,,．二、对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)的计算设L 的参数方程为()()()⎪⎩⎪⎨⎧===t z z t y y t x x ,[,]t αβ∈，起点为()()()(),,A x y z ααα ，终点为()()()(),,B x y z βββ，函数()()()t z t y t x ,,都具有连续导数．在曲线弧上插入若干个点02,,...,n M M M ，相应于t 的取值分别是012,,,...n t t t t αβ==，()i i i i z y x M ,,，()()()⎰-'=-=∆-ii t t i i i dt t x t x t x x 11 ，而1--=∆i i i t t t ，于是由积分中值定理有()i i i t x x ∆'=∆τ．此时取i i i ςηξ,,分别为)(i x τ,),(i y τ)(i z τ，则()()()()()()()()()()01,,lim ,,,,niiiii LP x y z dx P x y z t P x t y t z t x t dtλβατττ→==∆'=∑⎰⎰类似地可以求()⎰Ldy z y x Q ,,和()⎰Ldz z y x R ,,．最后得到()()()()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,',,P x y z dx Q x y z dy R x y z dzP x t y t z t x t Q x t y t z t y t Rz t dt βα++''=++⎰⎰在这里的积分的上限下限分别对应的是终点和起点．求曲线积分的一般步骤是：１．将z y x ,,用各自的参数方程代替；２．将曲线的终点和起点所对应的参数的值作为定积分的上下限； ３．将曲线积分化为定积分，计算定积分，即得曲线积分的值．特别地，当L 是平面xoy 上的光滑曲线时，设曲线方程为()y y x =，起点和终点对应的x 的值分别是,a b ，则有()()()()()()(),,,,'baLP x y dx Q x y dy P x y x Q x y y x dx +=+⎰⎰．例13.5 计算曲线积分⎰Lxydx ，其中L 为抛物线2x y =从点()1,1A 到点()1,1-B 的一段弧，如右图．解：将要计算的积分化为对x 的定积分，即以x 为积分变量，曲线段的起点和终点对应的x 的值分别是1和1-，将曲线积分中的y 用2x 代替，所以()1241111|04Lxydx x x dx x --===⎰⎰． 例13.6 计算曲线积分⎰-Lydx xdy ，其中L 为椭圆12222=+b y a x 沿逆时针方向．解：椭圆的参数方程为cos ,sin ,02x a t y b t t π==≤≤，所以可以将曲线积分化为对参数t 的积分，起点和终点所对应的t 的值分别为0和π2，y x ,分别用参数方程代替，由此得到()()abdt ab t a td b t b td a ydx xdy Lπππ21cos sin sin cos 2020==-=-⎰⎰⎰注意，这个积分刚好是椭圆面积的两倍．例13-4图 例13-5图 例13.7 计算曲线积分⎰+Lydx xdy ．其中L 分别是下面的曲线段．(1) 抛物线x y =2上从点()0,0O 到点()1,1A 的一段弧； (2) 直线x y =上从点()0,0O 到点()1,1A 的一段弧；(3) 从点()0,0O 到沿x 轴点()0,1B ，再由()0,1B 竖直向上至()1,1A ．图13-3解：(1) 将积分化为对y 的定积分，起点和终点对应的y 的值分别是10和，x 用2y 代替，得到()1|31031021022===+=+⎰⎰⎰y dy y y yd dy y ydx xdy L(2) 将积分化为对x 的定积分，起点和终点对应的y 的值分别是10和，y 用x 代替，得到()1|21021010===+=+⎰⎰⎰x xdx x xd xdx ydx xdy L(3) 曲线可以分为两段，其中一段的曲线方程为0=y ，另一段的曲线方程为1=x ，所以()()111001010=+++=+++=+⎰⎰⎰⎰⎰yd dy dx xd ydxxdy ydx xdy ydx xdy OA OB L从上面的例子可以看出，尽管积分的路径不同，但是积分的值仍然有可能相同． 例13.8 计算2Ly dx ⎰,其中L 为(1) 半径为a 、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周；（2）从点(,0)A a 沿x 轴到点(,0)B a -的直线段．解 （1）因为cos :sin x a L y a θθ=⎧⎨=⎩，02θπ≤≤. 那么2220sin (sin )Ly dx a a d πθθθ=-⎰⎰32304(1cos )(cos ).3ad a πθθ=-=-⎰(2) 积分路径为:0,L y = x 从a 变到a -, 因此200.aLay dx dx -==⎰⎰从这个例子可以看出: 被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.三、两类曲线积分的联系设有向光滑曲线段L 的参数方程为()()t g y t f x ==,，[,]t αβ∈，起点和终所对应的分别是A 和B ，且()()022≠'+'t g t f ，函数()()y x Q y x P ,,,在曲线段L 上连续，则对坐标的曲线积分()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()dtt g t g t f Q t f t g t f P t g d t g t f Q t f d t g t f P dy y x Q dx y x P b aba L),,(,,,,'+'=+=+⎰⎰⎰又有向曲线的切向量为()()},{t g t f T ''=，它的方向余弦为()()()t g t f t f 22cos '+''=α，()()()t g t f t g 22cos '+''=β，注意到ds =，所以由对弧长的曲线积分公式，得到()()[]()()()()()()()()[]⎰⎰'+'=+b aL dtt g t g t f Q t f t g t f P dsy x Q y x P ,,cos ,cos ,βα由此得到两类曲线积分之间的联系：()()()()[]⎰⎰+=+LLds y x Q y x P dy y x Q dx y x P βαcos ,cos ,,,．类似地，可以得到两类空间曲线积分之间的联系：()()()⎰++L dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ,,,,,,()()()[]⎰++=Lds z y x R y x Q y x P γβαcos ,,cos ,cos ,这种联系还可以用向量表示：⎰⎰⋅=⋅ds d L．其中},,{R Q P A =，}cos ,cos ,{cos γβα=T 为在曲线上点()z y x ,,处的单位切向量，},,{dz dy dx d =称为有向曲线元．习题13.21. 求22LI xy dy x ydx =-⎰. 其中曲线C 为圆周222x y a +=, 积分方向为顺时针方向, 0a >. 2. 求()()()Lx z y dx y x z dy z y x dz -+-+-⎰, 其中L 是由球面2222x y z R ++=与平面0x =, 0y =, 0z =(0,0,0)x y z ≥≥≥的交线AB ,BC 和CA 组成.3. 求22(sin )LI xy dx =-⎰. 其中曲线L 由折线AOB 及曲线1:sin (2)C x y y ππ=≤≤两段组成, 起点为(1,0)A , 其中(0,0)O =, (0,)B π=4. 求22()Lx y dy +⎰. 其中L 是由直线1x =, 1y =, 3x =及5y =构成的正向矩形回路. 5. 求2222()()Lx y dx x y dy ++-⎰. 其中L 为曲线1|1|y x =--上对应于x 从0到2的一段. 6. 试将(||,||)Lf x y dy ⎰表示成定积分. 其中L 是以(1,2)A ,(1,1)B -及(2,0)C 为顶点的三角形的正向. 7. 求Ldx dy ydz -+⎰. 其中L 为有向闭曲线ABCA , 这里,,A B C 依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).8. 一力场由沿横轴正方向的常力F 所构成. 试求当一质量为m 的质点沿圆周222x y R +=按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所作的功.9. 一力场中的力的大小与作用点到z 轴的距离成正比, 方向垂直向着该轴. 试求当质量为m 的质点沿圆周cos ,1,sin x t y z t ===由点(1,1,0)M 依正向移动到点(0,1,1)N 时,力场所作的功.10. 求(1).Lxdx ydy x y dz +++-⎰L 是从点(1,1,1)A 到点(2,3,4)B 的一段直线.参考答案 1. 42a π-2. 32R3.53π+ 4. 32 5. 436. 0122010(1,)(1,)(2,)(2,)2yf y dy f y dy f y y dy f y dy --+-++-+-⎰⎰⎰⎰7.128. ||F R - 9.ln 22k10. 13第三节 Green 公式及曲线积分与路径的无关性一 Green 公式本节将建立对坐标的曲线积分与二重积分之间的联系．即要建立起平面区域D 上的二重积分与D 的边界曲线L 上的第二类曲线积分之间的联系.我们知道闭区域有两种，一种是单连通的，一种是多连通的．若区域D 中的任意一条封闭曲线的部的所有的点都属于D ，则D 是单连通的，否则是多连通的．如图13-6是单连通的，图13-7是多连通的．例如区域()}1|,{22≤+=y x y x D 是单连通的，而区域()}10|,{22≤+≤=y x y x D 是多连通的．通俗的说，多连通区域就是有“洞”的区域．对于区域的边界曲线，我们规定它的正方向如下：当观察者沿着曲线移动时，区域D 总是在他的左边．由此定义可以知道，当区域D 是单连通区域时，其边界曲线的正方向时逆时针方向．当D是多连通时，如其边界曲线为L,则其外面的曲线的方向是逆时针的，部的曲线的方向是顺时针的．如图．图13-6 图13-7 定理13.2（Green公式）若有界闭区域2D⊂ℜ的边界由分段光滑的曲线L所围成，函数()()y x QyxP,,,在区域D中具有一阶连续偏导数，则有()(),,LDQ Pd P x y dx Q x y dyx yσ⎛⎫∂∂-=+⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰，其中L取正向．证明：(1)．设区域D是有界单连通的闭区域，平行于坐标轴的直线与D的边界的交点不多于两个，即D既是-x型，又是-y型的区域．不妨设()()()12{,|,}D x y a x b x y xψψ=≤≤≤≤或12{(,)|()(),}D x y y x y c y dϕϕ=≤≤≤≤，则()()()()()2121(),(),d yc yDdcQ Qdxdy dy dxx xQ y y Q y y dyψψψψ∂∂=∂∂=-⎰⎰⎰⎰⎰(,)(,)CBE CAEQ x y dy Q x y dy=-⎰⎰(,)(,)CBE EACQ x y dy Q x y dy=+⎰⎰(,)LQ x y dy=⎰同理可证yxo a bDcd1()y xϕ=2()y xϕ=ABCE2()x yψ=1()x yψ=图13-8(),L DPd P x y dx y σ∂=-∂⎰⎰⎰． 于是()LDQ Pdxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰(2)．若平行于坐标轴的直线与D 的边界的交点多于两个，可以引入辅助曲线将区域划分为有限个区域使得每个部分符合(1)中所讨论的形式．如图13-9所示.将D 分成三个既是X -型区域又是Y -型区域1D ，2D ，3D ．于是 图13-9123()()DD D D Q P Q P dxdy dxdy x y x y ++∂∂∂∂-=-∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰ 123()()()D D D Q P Q P Q Pdxdy dxdy dxdy x y x y x∂∂∂∂∂∂-+-+-∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 123L L L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy =+++++⎰⎰⎰LPdx Qdy =+⎰(1,23,L L L 对D 来说是正方向)(3)．若区域D 不止有一条闭曲线所围成, 如图13-10.这时可适当添加直线段,AB CE , 则D 的边界曲线由AB ,2L ,BA ,AFC ,CE ,3L ,EC 及CGA 构成. 这样就把区域转化为(2)的情形来处理. 由(2)可知图13-10()DQ Pdxdy x y∂∂-∂∂⎰⎰{}23()ABL BAAFCCEL ECCGAPdx Qdy =+++++++⋅+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰231()()L L L Pdx Qdy =+++⎰⎰⎰LPdx Qdy =+⎰(1,23,L L L 对D 来说为正方向)Green 公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系. 从而可应用它来简化某些曲线积分或二重积分的计算.为了便于记忆, Green 公式也可写成下面形式LDx y dxdy Pdx Qdy P Q∂∂∂∂=+⎰⎰⎰下面介绍一个Green 公式的简单应用．设()x y x Q y y x P =-=,,),(，则有格林公式，有⎰⎰⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=-DD L d d y P x Q ydx xdy σσ2．所以区域D 的面积为12L A xdy ydx =-⎰，其中L 是区域D 的边界曲线． 若取0,P Q x ==, 也有D 的面积LA xdy =⎰.若取,0P y Q =-=, 也有D 的面积LA ydx =-⎰.例13.9 计算星形线33cos ,sin x a t y b t ==所围成的图形的面积． 解：所成的面积为232320222202121[cos 3sin cos sin (3cos sin )]23sin cos 23.8L S xdy ydx a t a t t a t a t t dt a t tdta πππ=-=⋅-⨯-==⎰⎰⎰从上面的例子可以看到，有时用公式⎰-=L ydx xdy S 21计算面积相当容易．下面利用Green 公式计算一个对坐标的曲线积分．例13.10 计算()()⎰+--+Ldx y x dy y x 3,其中+L 是曲线()()94122=-+-y x ，方向是逆时针方向．解：+L 是区域()()}941{22≤-+-=y x D 的边界，所以有Green 公式有()()()()()ππσσ18322332=⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂-+∂∂=--+⎰⎰⎰⎰⎰+DD L d d y x y y x x dx y x dy y x上面的例子中的曲线是封闭曲线，对于不是封闭曲线的曲线，也可以考虑用Green 公式，不过这时要先将加一段曲线使得原来的曲线封闭．看下面的例子．例13.11 计算曲线积分()⎰-+Ldy xy ydx x 222，其中L 是半圆周122=+y x ，0≥x 上从点()1,0-A 到()1,0B 的曲线．解：为了能利用Green 公式，连接B A ,，得到封闭曲线BA L +．所以()()2222/212/22116L BADx ydx xy dy x y d d r rdr ππσθπ+-+-=--=-=-⎰⎰⎰⎰⎰又()4221122==-+⎰⎰-dy dy xy ydx x BA．所以()⎰-+Ldy xy ydx x222＝()()⎰⎰-+--++BABAL dy xy ydx x dy xy ydx x 222222＝44--π.例13.12 计算曲线积分⎰+-Ly x xdyydx 22，其中L 是一条不经过原点的光滑闭曲线，方向为逆时针方向． 解：令()()2222,,,y x xy x Q y x y y x P +-=+-=，注意到()xQy x x y y P ∂∂=+-=∂∂22222． 设L 所围的区域为D ，若()D ∉0,0，则022=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+-⎰⎰⎰σd y P x Q y x xdyydx D L． 若()D ∈0,0，则函数()()y x Q y x P ,,,在点()0,0不可微，所以不能直接用Green 公式，取()0,0的一个充分小的邻域εD （其边界为l ,顺时针方向），使得D D ⊂ε．（如图13.11）则()()y x Q y x P ,,,在区域εD D -中是可微的，所以022=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+-⎰⎰⎰-+σεd y P x Q y x xdyydx D D lL ． ⎰⎰⎰+--+-=+-+l L lL y x xdy ydx yx xdy ydx y x xdy ydx 222222 所以 图13-11()()ππ2cos sin cos sin 2022222=-=+-=+-⎰⎰⎰r t r td r t r td r y x xdy ydx y x xdy ydx l L． 例13.13 计算抛物线2()(0)x y ax a +=>与x 轴所围成的图形的面积. 解ONA 为直线0y =,曲线AMO 由函数,[0,]y ax x x a =-∈表示,如图13-12. 因此图13-12(,0)A a NMo12L A xdy ydx =-⎰ 1122ONA AMO xdy ydx xdy ydx =-+-⎰⎰ 12AMOxdy ydx =-⎰ 011))2a x dx x dx =--⎰201.6a ==二 曲线积分与路径的无关性由上节例13.12可知起点与终点相同, 尽管积分的路径不同，但是积分的值仍然有可能相同．而由例13.13可知起点与终点相同, 若沿的路径不同,则其积分值也不同. 本部分将讨论曲线在什么条件下,它的值与所沿的路径无关. 下面先给出积分与路径无关的定义.定义13.3 设D 为平面区域,(,),(,)P x y Q x y 为D 上的连续函数. 如果对于D 以,A B 两点为起点和终点的逐段光滑曲线L , 积分值LPdx Qdy +⎰只与,A B 两点有关, 而同从A 到B 的路径L 无关,就称曲线积分LPdx Qdy +⎰与路径无关.否则称为与路径有关.由Green 公式可以得到下面的定理。