二、多重共线性的后果
1、完全共线性下参数估计量不存在
多元线性模型
Y X
的普通最小二乘参数估计量为：
( X X ) 1 X Y
(2.6.4)
如果存在完全共线性，则(X’X) -1不存在，无法得 到参数的估计量。
例如：对一个离差形式的二元回归模型
y 1 x1 2 x2
如果两个解释变量完全相关，如x2 x1 ，则有
如果我们仅仅将 y 基于 X1 (排除了 X2 )进行回归，则估计量是：
b1 (X1 X1 )1 X1y β 1 (X1 X1 )1 X1 X2β 2 (X1 X1 )1 X1ε 取数学期望，我们发现，除非 X1 X2 0 或者β 2 0 ， 则 b1 将是有偏的。
三、 包括无关的解释变量
X 21 X 22
X k1 Xk2
1 X 1n X 2n X kn
中，至少有一列向量可由其他列向量（不包
括第一列）线性表出。
例：有人在建立某地区粮食产量回归模型时，以粮 食产量为因变量y，以化肥用量为x1，水浇地面积为 x2，农业投入资金为x3等作为自变量。 从表面上看到x1，x2，x3都是影响粮食产量的重要因 素，可是建立的回归方程效果很差，原因何在呢？
ln( GDPt ) 0 1t ut
得到一国GDP的年增长率的估计值，这里t为时间 趋势变量。
二、 遗漏有关的解释变量
模型中遗漏了对因变量有显著影响的解释变量 的后果是：可能使模型参数估计量不再是无偏估 计量。证明如下：
(1) 缺乏相关变量所导致的偏差 假设正确的模型指定形式是： y x1β 1 x2 β 2 ε 上述解释变量数据矩阵的列数维数分别是 K1 和 K 2 。
模型中包括无关的解释变量， （1）参数估计量仍无偏，但会增大估计量的方差，
即增大误差（证明如下：）。 （2）出现“过度拟合”，损失模型自由度。
(2) 方差变化证明
有偏估计 b1 的方差是 Var[b1] 2(X1X1)1 如果回归方程包括 X2 ，则 X1 的最小二乘系数估计为 b1.2 (X1M2X1)1X1M2Y ，其中， M 2 I X2 (X2X2 )1 X2 所以，它的协方差矩阵是矩阵 2 (XX) 1 的左上三角矩阵，
第五章 计量经济学检验 ——违背基本假设的情况
▪ 一方面，建立一个计量经济学模型要经过四 重检验，其中经济意义检验、统计检验、预 测检验已讲，这一章主要讲计量经济学检验 的范畴。
▪ 另一方面，前面讨论了最小二乘估计的优良 性质，但都是基于经典假设。如果这些假设 不满足，会出现什么问题呢？这一章对其进 行分析。
四、 解决解释变量误设定问题的原则
在模型设定中的一般原则是尽量不漏掉有关的解 释变量。因为估计量有偏比增大误差更严重。但如 果方差很大，得到的无偏估计量也就没有多大意义 了，因此也不宜随意乱增加解释变量。
在回归实践中，有时要对某个变量是否应该作为 解释变量包括在方程中作出准确的判断确实不是一 件容易的事，因为目前还没有行之有效的方法可供 使用。尽管如此，还是有一些有助于我们进行判断 的准则可用，它们是：
注意： 完全共线性的情况并不多见，一般出现的是在一定
程度上的共线性，即近似共线性。
2、实际经济问题中的多重共线性现象
▪ 经济变量的共同变化趋势
时间序列样本：经济繁荣时期，各基本经济 变量（收入、消费、投资、价格）都趋于增长； 衰退时期，又同时趋于下降。
横截面数据：生产函数中，资本投入与劳动 力投入往往出现高度相关情况，大企业二者都大， 小企业都小。
解该线性方程组得：
x1i yi
ˆ1
x2i yi x12i
x2i x1i
x1i x2i
x1i yi x12i
x22i
x1i yi 2
x12i 0
x1i x2i
x12i x12i
0
x22i
x12i 2 x12i
ˆ1 为不定式； 同理， ˆ2 也为不定式，其值无法确定。
五、 检验误设定的RESET方法
上面给出了选择解释变量的四条准则。可是，有 时这些准则不能提供足够的信息使研究人员确信其 设定是最恰当的，在这种情况下，可考虑使用一些 更正规的检验方法来比较不同估计方程的性质。这 类方法相当多，有一、二十种，这里就不一一列出， 仅介绍Ramsey的回归设定误差检验法（RESET法）。
RESET 检验是 Regression Specification Error Test （回归设定误差检验）的简写。
设 y x β zc ε 设定误差检验是检验上式中 c 是否为零。 但关键哪些变量应该进入 z 呢？ （1）在缺失变量的情况下，那些缺失变量将构成 z。 （2）在方程设定有误时，应如何处理呢？
从而造成所谓的“误设定”问题。
一、选择错误的函数形式
这类错误中比较常见的是将非线性关系作为线 性关系处理。
前面介绍了被解释变量和解释变量都采用对数 的双对数模型，下面再介绍一种比较常见的函数形 式的模型：半对数模型。
半对数模型
半对数模型指的是被解释变量和解释变量中一个
为对数形式而另一个为线性的模型。被解释变量为 对数形式的称为对数-线性模型(log-lin model)。解 释 变 量 为 对 数 形 式 的 称 为 线 性 - 对 数 模 型 (lin-log model)。我们先介绍前者，其形式如下：
▪ 滞后变量的引入
在计量经济模型中，往往需要引入滞后经济变 量来反映真实的经济关系。
例如，消费=f(当期收入, 前期收入）
显然，两期收入间有较强的线性相关性。
▪ 一般经验
对于采用时间序列数据作样本、以简单线性形 式建立的计量经济学模型，往往存在多重共线性。
以截面数据作样本时，问题不那么严重，但多 重共线性仍然是存在的。
2、近似共线性下普通最小二乘法参数估计量 非有效
在一般共线性（或称近似共线性）下，虽然可以得 到OLS法参数估计量，但是由参数估计量方差的表达 式为
Cov(ˆ ) 2 (XX)1
由于此时|X’X|0，从而使参数估计值的方差 增大，OLS参数估计量非有效。
当这四项用于判断一个变量是否应加进回归方程的准则 出现不一致的情况时，应当特别小心。在这种情况下，作出 正确判断不是一件容易的事，但可以让事情变得容易一些， 办法是将理论准则放在第一位，再多的统计证据也不能将一 个理论上很重要的变量变成“无关”变量。
在选择变量的问题上，应当坚定不移地根据理论而不是 满意的拟合结果来作决定，对于是否将一个变量包括在回归 方程中的问题，理论是最重要的判断准则。如果不这样做， 产生不正确结果的风险很大。
X X
x12i x2i x1i
x1i x2i
x
2 2i
x12i x12i
2
x12i x12i
x12i
1
Hale Waihona Puke 2X Y x1i x2i
yi yi
1
x1i yi
该回归模型的正规方程为
(XX)Bˆ XY
或
ˆ1 x12i ˆ2 x1i x2i x1i yi
ˆ1 x2i x1i ˆ2 x22i x2i yi
本章内容
▪ 误设定（Misspecification 或 specification error）
▪ 多重共线性（Multicollinearity） ▪ 异方差性（Heteroscedasticity） ▪ 自相关（Autocorrelation）
第一节 误设定
采用OLS法估计模型时，实际上有一个隐含的假 设，即模型是正确设定的。这包括两方面的含义： 函数形式正确和解释变量选择正确。在实践中，这 样一个假设或许从来也不现实。我们可能犯下列三 个方面的错误： ▪ 选择错误的函数形式 ▪ 遗漏有关的解释变量 ▪ 包括无关的解释变量
(3) 用F检验比较两个方程的拟合情况（类似于上一章中 联合假设检验采用的方法），如果两方程总体拟合情况 显著不同，则我们得出原方程可能存在误设定的结论。 使用的检验统计量为：
F (RSSM RSS ) / M RSS /(n k 1)
其中：RSSM为第一步中回归（有约束回归）的残差 平方和，RSS为第二步中回归（无约束回归）的残差 平方和，M为约束条件的个数，这里是M=3。
选择解释变量的四条准则
1.理论： 从理论上看，该变量是否应该作为解释变 量包括在方程中？
2. t检验：该变量的系数估计值是否显著? 3.R 2 ：该变量加进方程中后，R 2 是否增大？ 4. 偏倚： 该变量加进方程中后，其它变量的系数估
计值是否显著变化？
如果对四个问题的回答都是肯定的，则该变量应该包 括在方程中；如果对四个问题的回答都是“否”， 则该变 量是无关变量，可以安全地从方程中删掉它。
▪ Ramsey的RESET检验只适用于LS估计的方程。
第二节 多重共线性 （ Multi-Collinearity ）
▪ 多重共线性的概念 ▪ 多重共线性的后果 ▪ 多重共线性的检验 ▪ 克服多重共线性的方法
一、多重共线性的概念
1、多重共线性 对于模型
Yi=0+1X1i+2X2i++kXki+i
如果存在 c1X1i+c2X2i+…+ckXki+vi=0 i=1,2,…,n
其中ci不全为0，vi为随机误差项，则称为一般共线性
(近似共线性)或交互相关(intercorrelated)。
在矩阵表示的线性回归模型
Y=XB+N 中，完全共线性指：秩(X)<k+1，即矩阵
1 X 11
X
1
X 12
ln Yt 0 1Xt ut
对数-线性模型中，斜率的含义是Y的百分比变动， 即解释变量X变动一个单位引起的被解释变量Y的百 分比变动。这是因为，利用微分可以得出：