高斯-克吕格投影我国现行的大于1：50万比例尺的各种地形图都采用高斯-克吕格（Gauss-Kruger ）投影。

从地图投影的变形角度来看，高斯-克吕格投影属于等角投影。

该投影没有角度变形。

从几何概念来分析，高斯-克吕格投影是一种横切椭圆轴投影。

它是假想一个椭圆柱横套在地球椭球体上，使其与某一条纬线（称为轴子午线或中央子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过地球椭球的中心，用解析法按等角条件，将椭球面上轴子午线东西两侧一定经差范围内的区域投影到椭球柱面上，再沿着过极点的母线将椭圆柱剪开，然后将椭圆柱展开成平面，即获得投影后的图形。

如图6-12所示，为高斯-克吕格投影的几何概念图。

图6-12 高斯-克吕格投影的几何概念高斯-克吕格投影的基本条件为：（1） 中央子午线的投影为直线，而且是投影的对称轴，赤道的投影为直线并与中央子午线正交；（2） 投影后没有角度变形，即经纬线互相垂直，且同一地点各方向的长度比不变；（3） 中央子午线上没有长度变形。

若以高斯-克吕格投影中的中央子午线的投影为X 轴，以赤道的投影为Y 轴，两轴的交点为原点，则就构成高斯-克吕格平面直角坐标系，如图6-12所示。

根据高斯-克吕格投影的上述三个条件，即可导出高斯-克吕格投影的大地坐标（L ，B ）与高斯平面直角坐标（x ，y ）之间的函数关系式（6-8）。

+++-++=)49tan 5(cos sin 24cos sin 2422342ηηB B B N L B B N L S x++-++-+=)tan tan 185(cos 120)tan 1(cos 6cos 42552233B B B N L B B N L B LN y η（6-8） 式中：x 、y −− 平面直角坐标系的纵、横坐标；L 、B −− 椭球面上大地坐标系的经、纬度；S −− 由赤道至纬度B 的经线弧长；N −−卯酉圈曲率半径；η −− η2 = e '2cos 2B ，其中e '为地球的第二偏心率。

高斯-克吕格投影的没有角度变形，面积变形是通过长度变形来表达。

长度变形的基本公式为：44424222cos 81)tan 2(cos 61)1(cos 211BL L B B L B --+++=ημ （6-9） 由公式（6-9）可知高斯-克吕格投影长度变形的规律是：中央子午线没有长度变形；沿纬线方向，离中央子午线越远变形越大；沿经线方向，纬度越低变形越大；最大投影变形在赤道和投影最外一条经线的交点上。

如在6︒分带投影中，长度最大变形为0.138%。

显然，随着投影带的增大，变形误差会继续增加，这就是采取分带投影的原因。

我国1:2.5万~1:25万地形图均采用分带投影，1:1万及更大比例尺地形图采用3︒分带投影，以保证地图有必要的精度。

6︒分带法：从格林尼治0︒经线（子午线）开始，自西向东每6︒为一投影带，全球共分60个投影带，各带的编号用自然数1，2，3，⋯，60表示，如图6-13所示。

东半球各投影带中央子午线的经度为(6n-3)︒，其中n 为投影带号。

我国领土位于东经72︒~136︒之间，共包括11个投影带，即13~23带。

3︒分带法：从东经1︒30'经线开始，每3︒为一投影带，将全球共分120个投影带。

各投影带中央子午线的经度分别为东经，9︒，⋯⋯，180︒，西经177︒，⋯⋯，3︒，0︒。

东半球各投影带中央子午线的经度为(3n)︒。

如图6-14为6︒带与3︒带的中央子午线与带号关系。

图6-13 高斯-克吕格投影分带示意图在高斯-克吕格平面直角坐标系中，由于我国位于北半球，X 值全为正，而在每个投影带中，位于中央子午线以西的点的Y坐标均为负值。

为避免Y坐标出现负值，可将各带的坐标纵轴向西平移500km（半个投影带的最大宽度不超过500km），图6-14所示。

此外，由于采用了分带方法，各带的投影完全相同，具有相同坐标值的点在每个投影带中均有一个对应点，为确定该点在地球上的正确位置，还需要在其横坐标之前加上带号，这样的坐标称为通用坐标。

图6-14 纵坐标轴西移一、问题的提出目前，大多公路设计单位在公路控制测量普遍采用GPS测量，在测量作业中，有些设计单位经常把公路控制测量和地形图测量委托给测绘部门进行，而一般测绘部门都是按照国家控制测量的做法和要求进行测量，没有考虑公路测量的特殊要求，这样经常会遇到一个问题：就是控制测量报告中提到的精度一般比较高，比如某导线的导线全长相对闭合差达十几万分之一，可到现场用全站仪实测却往往“不是那么一回事”，实测某两点之间的距离与用坐标反算的距离相差很大，有时可达几千分之一，无法满足工程施工的要求。

这一问题产生的原因从本质上讲是国家控制测量与公路行业控制测量的差别所致。

二、国家控制测量与公路控制测量的区别国家控制测量与公路控制测量的技术侧重点是不同的。

国家控制测量一般着重解决从地球表面经参考椭球面至高斯平面的计算基准问题，对投影变形大小仅作宏观控制，无法顾及个别区域变形很大的问题；而公路控制测量不仅要解决从球面到平面的计算基准问题，同时还要考虑工程施工时如何将理论数据从平面经参考椭球面再回放到地球表面的问题。

一方面有投影就不可避免地产生变形，另一方面工程施工要求不改化，解决矛盾的方法只有一个，就是选择合适的投影形式，使得工程项目的全部区域范围之内的投影变形都要足够小，而且小到可以忽略不计的程度，这就是公路控制测量选择计算基准面的根本要求。

国家控制测量统一采用高斯投影形式，如我国通常采用北京54坐标或西安80坐标，国际上常用WGS-84坐标。

而公路控制测量却不拘束于高斯投影方式，只要其坐标系统的投影变形足够小即可。

那么多么小才可以忽略不计呢？一般认为，投影变形小于控制测量要求精度的1/5~1/2时，可以忽略之，《公路勘测规范JTJ061-99》明确规定:“平面控制网的坐标系的确定，宜满足测区内投影长度变形值不大于2.5cm/km”。

这时的相邻点相对点位中误差为1/20000。

所以国家控制测量使用的坐标系统有时不一定适用于公路控制测量。

[例1]广东省廉江市拟设计的某地公路，其起点经纬度为北纬21度38分57.46秒，东经110度07分46.91秒；终点经纬度为北纬21度38分15.40秒，东经110度12分29.33秒。

该路线平均高程约为33米，路线呈东西走向，按北京54坐标，它位于第19个6度带的中央子午线东经111度的投影带内，但其起终点的投影变形长度均大于1/40000，不满足公路控制测量要求，故不能直接采用国家控制测量坐标（具体算法见本文投影长度变形值的计算）。

三、公路控制测量坐标系统的选择既然国家控制测量的坐标系统不一定适用于公路控制测量，那么公路控制测量应该如何选取坐标系统呢？在《公路全球定位系统（GPS）测量规范JTJ/T066-98》（以后简称《测量规范》）中规定：“3.2.2.GPS的WGS-84大地坐标系统转换到所选平面坐标系统时，应使测区内投影长度变形值不大于2.5cm/km。

根据测区所处地理位置及平均高程情况，可按下列方法选定坐标系统：3.2.2.1当投影长度变形值不大于2.5cm/km时，采用高斯正形3。

带平面直角坐标系。

3.2.2.2当投影长度变形值大于2.5cm/km时，可采用公路抵偿坐标系统，并可选用下列方式：（1）投影于1954年北京坐标系或1980年西安坐标系椭球面上的高斯正形投影任意带平面直角坐标系。

（2）投影于抵偿高程面上的高斯正形投影3。

带平面直角坐标系。

（3）投影于抵偿高程面上的高斯正形投影任意带平面直角坐标系。

”1、投影长度变形值的计算但其投影长度变形值该如何计算呢？这就涉及到地球表面与参考椭球面，高斯平面之间的改化计算关系了。

大家都知道，与大地水准面比较吻合的地球椭球面称之为参考椭球面，它与地球表面大致相差一个大地高Hm，可近似等于当地的海拔。

地球表面至参考椭球面的边长改化公式如下：S=S0(1－Hm/R)其中，S0为地面观测点AB边长的平距值，S为参考椭球面两点的弧长，Hm为两点大地高的平均值，R为测线方向的法截弧曲率半径，取6370km即可。

而参考椭球面至高斯平面的距离改化计算公式如下：S0′=S(1+ym2/2/Rm2)其中，S0′为高斯平面两点间的曲线弦长，S为参考椭球面两点的弧长，ym为高斯平面两点平面直角横坐标自然值的平均值，Rm为两点间平均纬度处参考椭球平均曲率半径，一般取6370km，Rm=R。

所以可推导出S0′=S0(1－Hm/R)(1+ym2/2/Rm2)S0′=S0(1+ym2/2/R2－Hm/R－Hmym2/2/R3)一般取ym2/2/R2－Hm/R即可。

即S0′=S0(1+ym2/2/R2－Hm/R)故（S0′－S0）/S0=ym2/2/R2－Hm/R令K=（S0′－S0）/S0所以某点的投影长度变形值K=ym2/2/R2－Hm/R如例1，利用高斯正算公式，可算得其在WGS-84坐标系中的坐标。

起点（2395220.023，19409908.836）终点（2393882.827，19418023.550）其起点横坐标的自然值y=409908.836－500000=-90091.164m终点横坐标的自然值y=418023.550－500000=-81976.45m起点的投影长度变形值=（-90091.164）2/2/63700002-33/6370000≈1/9506终点的投影长度变形值=（-81976.45）2/2/63700002-33/6370000≈1/11365起终点的投影长度变形值均大于每公里2.5cm，即1/40000。

所以，本例子不能套用国家控制坐标系北京54坐标或西安80坐标，也不能套用国际WGS-84坐标。

该测区的坐标系统可采用公路抵偿坐标系统，使其投影长度变形值小于1/40000。

2、公路抵偿坐标系统的具体算例对例1，按《测量规范》，我们可选用：（1）投影于1954年北京坐标系或1980年西安坐标系椭球面上的高斯正形投影任意带平面直角坐标系。

这次我选用投影于1954年北京坐标系椭球面上的高斯任意带平面直角坐标系作例。

假设新的中央子午线设在两点中间，可取整数，即东经110度，通过高斯正算公式，可算得起终点在新坐标系的坐标为起点（2395015.893，513425.729），终点（2393731.054，521548.308）。

当选择Hm=33m时，可验算测区起、终点的投影长度变形值分别约为1/330000，1/1800000。

均小于1/40000。

（2）投影于抵偿高程面上的高斯正形投影3。

带平面直角坐标系。

从投影长度变形值公式K=ym2/2/R2－Hm/R可知，如果ym2/2/R2=Hm/R，即Hm=ym2/2/R，这时的投影长度变形值接近于零。