湖南涉外经济学院计算机科学与技术专业《算法设计与分析》课程
线性时间选择（中位数）
实验报告
班级：
学号：
姓名：
教师：
成绩：
2012年5月
【实验目的】
1 掌握线性时间选择的基本算法及其应用
2 利用线性时间选择算法找出数组的第k小的数
3 分析实验结果，总结算法的时间和空间复杂度
【系统环境】
Windows7 旗舰版平台
【实验工具】
VC++6.0英文企业版
【问题描述】
描述：随机生成一个长度为n的数组。
数组为随机生成，k由用户输入。
在随机生成的自然数数组元素找出这n个数的第k小的元素。
例：A[5]={3,20,50,10,21} k=3,则在数组A中第3小的元素为20
【实验原理】
原理：将所有的数（n个），以每5个划分为一组，共[n/5]组（将不足五个的那组忽略）；然后用任意一种排序算法（因为只对五个数进行排序，所以任取一种排序法就可以了，这里我选用冒泡排序），将每组中的元素排好序再分别取每组的中位数，得到[n/5]个中位数；再取这[n/5]个中位数的中位数（如果n/5是偶数，就找它的2个中位数中较大的一个）作为划
分基准，将全部的数划分为两个部分，小于基准的在左边，大于等于基准的放右边。
在这种情况下，找出的基准x至少比3(n-5)/10个元素大，因为在每一组中有2个元素小于本组的中位数，中位数处于1/2*[n/5-1]，即n/5 个中位数中又有(n-5)/10个小于基准x。
同理，基准x也至少比3(n-5)/10个元素小。
而当n≥75时，3(n-5)/10≥n/4所以按此基准划分所得的2个子数组的长度都至少缩短1/4。
思路：如果能在线性时间内找到一个划分基准，使得按这个基准所划分出的2个子数组的长度都至少为原数组长度的ε倍(0<ε<1是某个正常数)，那么就可以在最坏情况下用O(n)时间完成选择任务。
例如：若ε=9/10，算法递归调用所产生的子数组的长度至少缩短1/10。
所以，在最坏情况下，算法所需的
计算时间T(n)满足递归式T(n)≤T(9n/10)+O(n) 。
由此可得T(n)=O(n)。
方法：利用函数的相互调用和函数的递归调用实现程序的最终实现，一个主函数，三个子函数。
在主函数中只是单独的调用中位数算法的select函数，然后以select为入口进行调用bubble排序函数和partition划分函数。
【源程序代码】
#include<iostream>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
using namespace std;
#define MAX_VALUE 100
#define random() rand()%MAX_VALUE #define N 10
#define MIDDLE 5
int a[N];
class Find
{
public:
//冒泡排序
void bubble(int first,int end)
{
for(int i = first; i < end; i++)
for(int j = end; j > i; j--)
if(a[j]<a[j-1])
{
swap(a[j], a[j - 1]);
}}
//数组a中从a[p]到a[r]的元素按照x划分,大于x的在左边,小于x的在右边int partition(int p,int r,int x)
{
int i = p - 1, j = r + 1;
while (1)
{
while (a[++i] < x && i < r);
while (a[--j] > x);
if (i >= j)
break;
swap(a[i], a[j]);
}
return j - 1;
}
//寻找中位数
int select(int p,int r,int k)
{
if(r - p < 75)
{
bubble(p,r);
return a[p+k-1];
}
for(int i = 0; i < (r - p - 4) / 5; i++)
{
int s = p + 5 * i, t = s + 4;
bubble(s,t);
int temp = a[p + i];
a[p + i] = a[s + 2];
a[s + 2] = temp;
}
// 找中位数的中位数
int x = select(p, p + (r - p - 4) / 5, (r - p - 4) / 10);
i = partition(p, r, x);
int j = i - p + 1;
if(k <= j)
return select(p, i, k);
else
return select(i + 1, r, k - j);
}
};
int main()
{
srand((int)time(NULL));
for(int k = 0; k < N; k++)
{
a[k] = random();
cout << a[k] << "\t";
}
cout << endl;
Find f;
int n = MIDDLE;
cout << "The No."<< n << " is :" << f.select(0, N-1, n) << endl;
return 0;
}
【实验结果】
运行结果图（k=5）：
运行结果图（k=4）：
实验结果分析：通过上面的结果图可以证明程序可以得到正确的排序结果。