指数与指数函数080612 一、考题选析：
例1、（07江苏）设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，
()31x f x =-，则有（ ）
Ａ．132323f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
<< ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
Ｂ．231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ Ｃ．213332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
Ｄ．321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
例2、（07上海春）若21,x x 为方程1
1
)2
1(2+-=x x
的两个实数解，则=+21x x ；
例3、（05全国Ⅱ）设函数11
()2
x x f x +--=，求使()f x ≥x 取值范围．
例4、（05江西10）已知实数a , b 满足等式,)3
1()2
1
(b
a
=下列五个关系式 ①0<b <a ②a <b <0
③0<a <b
④b <a <0 ⑤a =b
其中不可能．．．成立的关系式有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
例5、（06湖北21）设3x =是函数2
3()()()x
f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点。
（Ⅰ）、
求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；（Ⅱ）、设0a >，
225()()4
x
g x a e =+。
若存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，求a 的取值范围。
点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。
解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x 2＋(a －2)x ＋b －a ]e 3－
x ,
由f `(3)=0，得 －[32＋(a －2)3＋b －a ]e 3－3＝0，即得b ＝－3－2a ， 则 f `(x)＝[x 2＋(a －2)x －3－2a －a ]e 3
－x
＝－[x 2＋(a －2)x －3－3a ]e 3－x ＝－(x －3)(x ＋a+1)e 3－
x .
令f `(x)＝0，得x 1＝3或x 2＝－a －1，由于x ＝3是极值点， 所以x+a+1≠0，那么a ≠－4. 当a <－4时，x 2>3＝x 1，则
在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间（3，―a ―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间（―a ―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。
当a >－4时，x 2<3＝x 1，则
在区间（－∞，―a ―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（―a ―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a >0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，
而f (0)＝－（2a ＋3）e 3<0，f (4)＝（2a ＋13）e －
1>0，f (3)＝a ＋6， 那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a ＋3）e 3，a ＋6]. 又2
25()()4
x
g x a e =+
在区间[0，4]上是增函数， 且它在区间[0，4]上的值域是[a 2＋
425，（a 2＋4
25）e 4]， 由于（a 2＋
425）－（a ＋6）＝a 2－a ＋4
1
＝（21-a ）2≥0，所以只须仅须
（a 2＋
4
25
）－（a ＋6）<1且a >0，解得0<a <23.
故a 的取值范围是（0，
2
3
）。
二、考题精练： （一）选择题： 1、（06全国Ⅱ）函数y ＝ln x －1(x ＞0)的反函数为（ ）
A 、y ＝e x ＋1(x ∈R )
B 、y ＝e x －
1(x ∈R )
C 、y ＝e x ＋1(x ＞1)
D 、y ＝e x －
1(x ＞1)
2、（05全国Ⅲ）设7
1
3=
x
，则（ ） A 、－2<x <－1 B 、－3<x <－2 C 、－1<x <0 D 、0<x <1
3、（04天津11）函数1
2
3-=x
y （01<≤-x ）的反函数是 A. )31
(log 13≥+=x x y
B. )3
1(log 13≥+-=x x y
C. )13
1(log 13≤<+=x x y
D. )13
1(log 13≤<+-=x x y
4、（04湖北）若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x
、三、四象限，则一定有（ ）
A ．010><<b a 且
B ．01>>b a 且
C ．010<<<b a 且
D ．01<>b a 且
（二）填空是：
5、（07上海4）方程 96370x x -•-=的解是 ；
6、（07湖北15）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小
时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为
116t a
y -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，
回答下列问题：
（I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 ；（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室；
7、（05江苏16）若3a =0.618,a ∈[),1k k +,k ∈Z ，则k = ；
8、（05全国Ⅰ）若正整数m 满足m m 102105121<<-，则m = 155 ；)3010.02(lg ≈ 9、（04湖南16）若直线y=2a 与函数y=|a x -1|(a >0,且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是_______。
（三）解答题： 10、（04全国）解方程4x +|1-2x |=11.。