2020年中考数学试题分类四边形一、选择题10．（2020广州）如图5，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，6AB =，8BC =，过点O作OE ⊥AC ，交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，则OE EF +的值为（ * ）．（A ）485 （B ）325 （C ）245 （D ）125【答案】C8．（2020陕西）如图，在▱ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8．E 是边BC 的中点，F 是▱ABCD 内一点，且∠BFC ＝90°．连接AF 并延长，交CD 于点G ．若EF ∥AB ，则DG 的长为（ ）A ．B ．C ．3D ．2【解答】解：∵E 是边BC 的中点，且∠BFC ＝90°， ∴Rt △BCF 中，EF ＝BC ＝4，∵EF ∥AB ，AB ∥CG ，E 是边BC 的中点， ∴F 是AG 的中点，∴EF 是梯形ABCG 的中位线， ∴CG ＝2EF ﹣AB ＝3， 又∵CD ＝AB ＝5， ∴DG ＝5﹣3＝2， 故选：D ．图5OFE DC BA5.（2020乐山）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，120BAD ∠=︒，O 是对角线BD 的中点，过点O 作OE CD ⊥ 于点E ，连结OA ．则四边形AOED 的周长为（ ）A. 9+B. 9+C. 7+D. 8【答案】B【详解】∵四边形ABCD 是菱形，O 是对角线BD 的中点， ∵AO∵BD ， AD=AB=4，AB∵DC ∵∵BAD=120º，∵∵ABD=∵ADB=∵CDB=30º， ∵OE∵DC ，∵在RtΔAOD 中，AD=4 ， AO=12AD =2 ，=在RtΔDEO 中，OE=12OD =，3=，∵四边形AOED 的周长为 故选：B.7.（2020贵阳）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ） A. 5 B. 20C. 24D. 32【答案】B【详解】解：如图所示，根据题意得AO ＝1842⨯=，BO ＝1632⨯=，∵四边形ABCD 是菱形， ∵AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AC∵BD ， ∵∵AOB 是直角三角形，∵AB5=，∵此菱形的周长为：5×4＝20． 故选：B ．7.（2020湖北黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ） A. 4: 1B. 5: 1C. 6: 1D. 7: 1解：如图，AH 为菱形ABCD 的高，AH ＝2，∵菱形的周长为16， ∵AB ＝4，在Rt∵ABH 中，sinB ＝AH AB ＝2142=， ∵∵B ＝30°， ∵AB∵CD ， ∵∵C ＝150°， ∵∵C ：∵B ＝5：1． 故选：B ．7.（2020山东青岛）如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点.O 若5AE =，3BF =，则AO 的长为（ ）A.B.C. D. 【答案】C解：由对折可得：,,AFO CFO AF CF ∠=∠= 矩形ABCD ，//,90,AD BC B ∴∠=︒,CFO AEO ∴∠=∠,AFO AEO ∴∠=∠5,AE AF CF ∴=== 3,BF =4,AB ∴==BC=8AC ∴===由对折得：12OA OC AC === 故选C ．5．（2020上海）（4分）下列命题中，真命题是（ ） A ．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C ．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D ．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形【解答】解：A 、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误； B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误； C 、正确；D 、对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误； 故选：C ．7．（2020四川南充）（4分）如图，面积为S 的菱形ABCD 中，点O 为对角线的交点，点E 是线段BC 的中点，过点E 作EF ⊥BD 于F ，EG ⊥AC 于G ，则四边形EFOG 的面积为（ ）A ．14SB ．18SC ．112S D ．116S解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD ，S =12AC ×BD ， ∵EF ⊥BD 于F ，EG ⊥AC 于G ，∴四边形EFOG 是矩形，EF ∥OC ，EG ∥OB ， ∵点E 是线段BC 的中点， ∴EF 、EG 都是△OBC 的中位线， ∴EF =12OC =14AC ，EG =12OB =14BD ，∴矩形EFOG 的面积＝EF ×EG =14AC ×14BD =18S ； 故选：B ．3.(2020甘肃定西）若一个正方形的面积是12，则它的边长是（ ）A. B.3 C. D.4答案：A8.(2020甘肃定西）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE 间的距离.若AE 间的距离调节到60cm ，菱形的边长20cm AB =，则DAB ∠的度数是（ ）A.90°B.100°C.120°D.150°答案：C9．（2020辽宁抚顺）（3分）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝8．BD ＝6，点E 是CD 上一点，连接OE ，若OE ＝CE ，则OE 的长是（ ）A ．2B ．C ．3D ．4解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OB＝BD＝×6＝3，OA＝OC＝AC＝×8＝4，AC⊥BD，由勾股定理得，BC＝＝5，∴AD＝5，∵OE＝CE，∴∠DCA＝∠EOC，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DCA＝∠DAC，∴∠DAC＝∠EOC，∴OE∥AD，∵AO＝OC，∴OE是△ADC的中位线，∴OE＝AD＝2.5，故选：B．10．（2020内蒙古呼和浩特）（3分）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E、H 在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'、D点的对称点为D'，若∠FPG＝90°，S△A′EP＝8，S△D′PH＝2，则矩形ABCD 的长为（）A．6+10B．6+5C．3+10D．3+5解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，由翻折可知：P A′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，又∵∠A′PF＝∠D′PG＝90°，∴∠A′PD′＝90°，则∠A′PE+∠D′PH＝90°，∴∠A′PE＝∠D′HP，∴△A′EP∽△D′PH，∴A′P2：D′H2＝8：2，∴A′P：D′H＝2：1，∵A′P＝x，∴D′H＝x，∵S △D ′PH ＝D ′P •D ′H ＝A ′P •D ′H ，即，∴x ＝（负根舍弃），∴AB ＝CD ＝，D ′H ＝DH ＝，D ′P ＝A ′P ＝CD ＝，A ′E ＝2D ′P ＝，∴PE ＝，PH ＝，∴AD ＝＝，即矩形ABCD 的长为，故选：D ．5．（2020宁夏）（3分）如图，菱形ABCD 的边长为13，对角线AC ＝24，点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点，连接EF 并延长与AB 的延长线相交于点G ，则EG ＝（ ）A ．13B ．10C ．12D ．5解：连接BD ，交AC 于点O ，如图：∵菱形ABCD 的边长为13，点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点， ∴AB ∥CD ，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝13，EF ∥BD ， ∵AC 、BD 是菱形的对角线，AC ＝24， ∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ＝12，OB ＝OD ，又∵AB ∥CD ，EF ∥BD ，∴DE ∥BG ，BD ∥EG ， ∵DE ∥BG ，BD ∥EG ，∴四边形BDEG 是平行四边形， ∴BD ＝EG ，在△COD 中，∵OC ⊥OD ，CD ＝13，CO ＝12， ∴OB ＝OD ＝＝5，∴BD ＝2OD ＝10，∴EG ＝BD ＝10；故选：B ．8．（2020黑龙江龙东）（3分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若6OA =，48ABCD S =菱形，则OH 的长为( )A ．4B ．8C D ．6【解答】解：四边形ABCD 是菱形， 6OA OC ∴==，OB OD =，AC BD ⊥， 12AC ∴=，DH AB ⊥，90BHD ∴∠=︒，12OH BD ∴=，菱形ABCD 的面积11124822AC BD BD =⨯⨯=⨯⨯=， 8BD ∴=， 142OH BD ∴==； 故选：A ．10．（2020黑龙江龙东）（3分）如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），45DAM ∠=︒，点F 在射线AM 上，且AF ，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EF 、EG ．则下列结论： ①45ECF ∠=︒；②AEG ∆的周长为(1a +； ③222BE DG EG +=；④EAF ∆的面积的最大值是218a ；⑤当13BE a =时，G 是线段AD 的中点．其中正确的结论是( )A ．①②③B ．②④⑤C ．①③④D ．①④⑤解：如图1中，在BC 上截取BH BE =，连接EH ．BE BH =，90EBH ∠=︒，2EH BE ∴=，2AF BE =，AF EH ∴=，45DAM EHB ∠=∠=︒，90BAD ∠=︒，135FAE EHC ∴∠=∠=︒， BA BC =，BE BH =，AE HC ∴=，()FAE EHC SAS ∴∆≅∆， EF EC ∴=，AEF ECH ∠=∠， 90ECH CEB ∠+∠=︒， 90AEF CEB ∴∠+∠=︒， 90FEC ∴∠=︒，45ECF EFC ∴∠=∠=︒，故①正确，如图2中，延长AD 到H ，使得DH BE =，则()CBE CDH SAS ∆≅∆， ECB DCH ∴∠=∠，90ECH BCD ∴∠=∠=︒， 45ECG GCH ∴∠=∠=︒，CG CG =，CE CH =，()GCE GCH SAS ∴∆≅∆，EG GH ∴=，GH DG DH =+，DH BE =，EG BE DG ∴=+，故③错误， AEG ∴∆的周长2AE EG AG AE AH AD DH AE AE EB AD AB AD a =++=+=++=++=+=，故②错误，设BE x =，则AE a x =-，2AF x =， 222222*********()()()222244228AEF S a x x x ax x ax a a x a a ∆∴=-⨯=-+=--+-=--+， 102-<， 12x a ∴=时，AEF ∆的面积的最大值为218a ．故④正确，当13BE a =时，设DG x =，则13EG x a =+，在Rt AEG ∆中，则有22212()()()33x a a x a +=-+，解得2a x =， AG GD ∴=，故⑤正确，故选：D ．19．（2020黑龙江牡丹江）（3分）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，10BC =，点E 在BC 边上，DF AE ⊥，垂足为F ．若6DF =，则线段EF 的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：四边形ABCD 为矩形， 3AB CD ∴==，10BC AD ==，//AD BC ，AEB DAF ∴∠=∠，AFD EBA ∴∆∆∽，∴AF AD DFBE AE AB==，6DF =，8AF ∴==，∴81063BE AE ==，5AE ∴=， 853EF AF AE ∴=-=-=．故选：B ．6．（2020江苏连云港）（3分）如图，将矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的A '处．若24DBC ∠=︒，则A EB '∠等于( )A ．66︒B ．60︒C ．57︒D ．48︒【解答】解：四边形ABCD 是矩形， 90A ABC ∴∠=∠=︒，由折叠的性质得：90BA E A '∠=∠=︒，A BE ABE '∠=∠，11(90)(9024)3322A BE ABE DBC '∴∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒， 90903357A EB A BE ''∴∠=︒-∠=︒-︒=︒；故选：C ．10．（2020四川遂宁）（4分）如图，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，连接AE 、DE ，分别交BD 、AC 于点P 、Q ，过点P 作PF ⊥AE 交CB 的延长线于F ，下列结论： ①∠AED +∠EAC +∠EDB ＝90°，②AP ＝FP ，③AE =√102AO ，④若四边形OPEQ 的面积为4，则该正方形ABCD 的面积为36，⑤CE •EF ＝EQ •DE ．其中正确的结论有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【解答】解：如图，连接OE ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ＝OB ＝OD ，∴∠BOC ＝90°，∵BE ＝EC ，∴∠EOB ＝∠EOC ＝45°，∵∠EOB ＝∠EDB +∠OED ，∠EOC ＝∠EAC +∠AEO ，∴∠AED +∠EAC +∠EDO ＝∠EAC +∠AEO +∠OED +∠EDB ＝90°，故①正确， 连接AF ．∵PF ⊥AE ，∴∠APF ＝∠ABF ＝90°，∴A ，P ，B ，F 四点共圆，∴∠AFP ＝∠ABP ＝45°，∴∠P AF ＝∠PF A ＝45°，∴P A ＝PF ，故②正确，设BE ＝EC ＝a ，则AE =√5a ，OA ＝OC ＝OB ＝OD =√2a ，∴AE AO =√5a √2a =√102，即AE =√102AO ，故③正确， 根据对称性可知，△OPE ≌△OQE ，∴S △OEQ =12S 四边形OPEQ ＝2，∵OB ＝OD ，BE ＝EC ，∴CD ＝2OE ，OE ⊥CD ，∴EQDQ =OECD =12，△OEQ ∽△CDQ ， ∴S △ODQ ＝4，S △CDQ ＝8，∴S △CDO ＝12，∴S 正方形ABCD ＝48，故④错误，∵∠EPF ＝∠DCE ＝90°，∠PEF ＝∠DEC ，∴△EPF ∽△ECD ，∴EF ED =PE EC ，∴EQ ＝PE ，∴CE •EF ＝EQ •DE ，故⑤正确，故选：B ．8．（2020广西玉林）（3分）（2020•玉林）已知：点D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，如图所示．求证：DE ∥BC ，且DE =12BC ．证明：延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接FC ，DC ，AF ，又AE ＝EC ，则四边形ADCF 是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：①∴DF ∥=BC ； ②∴CF ∥=AD ．即CF ∥=BD ； ③∴四边形DBCF 是平行四边形；④∴DE ∥BC ，且DE =12BC ．则正确的证明顺序应是：（ ）A ．②→③→①→④B ．②→①→③→④C ．①→③→④→②D ．①→③→②→④【解答】证明：延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接FC ，DC ，AF ，∵点D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，∴AD ＝BD ，AE ＝EC ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∴CF ∥=AD ．即CF ∥=BD ， ∴四边形DBCF 是平行四边形，∴DF ∥=BC ， ∴DE ∥BC ，且DE =12BC ． ∴正确的证明顺序是②→③→①→④，故选：A ．9．（2020贵州遵义）（4分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝6，过点D 作DE ⊥BA ，交BA 的延长线于点E ，则线段DE 的长为（ ）A ．125 B ．185 C ．4 D ．245【解答】解：如图．∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝6，∴AC ⊥BD ，OA =12AC ＝3，BD ＝2OB ，∵AB ＝5，∴OB =√AB 2−OA 2=4，∴BD ＝2OB ＝8，∵S 菱形ABCD ＝AB •DE =12AC •BD ，∴DE =12AC⋅BD AB =12×6×85=245．故选：D ．3．（3分）（2020•荆门）如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，若EF ＝5，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．20B ．30C ．40D ．50【解答】解：∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF =12AB ＝5，∴AB ＝10，∵四边形ABD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝10，∴菱形ABCD 的周长＝4AB ＝40；故选：C ．11．（3分）（2020•烟台）如图，在矩形ABCD 中，点E 在DC 上，将矩形沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．若AB ＝3，BC ＝5，则tan ∠DAE 的值为（ ）A ．12B ．920C ．25D ．13 【解答】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ＝5，AB ＝CD ＝3，∵矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上的F 处，∴AF ＝AD ＝5，EF ＝DE ，在Rt △ABF 中，BF =2−AB 2=√25−9=4，∴CF ＝BC ﹣BF ＝5﹣4＝1，设CE ＝x ，则DE ＝EF ＝3﹣x在Rt △ECF 中，∵CE 2+FC 2＝EF 2，∴x 2+12＝（3﹣x ）2，解得x =43，∴DE ＝EF ＝3﹣x =53，∴tan ∠DAE =DE AD =535=13， 故选：D ．6.（2020东莞）如图，AC 是矩形ABCD 的对角线，且2AC AD =，那么CAD ∠的度数是（ ）A.30°B.45°C.60°D.75°答案：C12．（2020四川自贡）（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝2，AB =√6，∠B 是锐角，AE ⊥BC 于点E ，F 是AB 的中点，连结DF 、EF ．若∠EFD ＝90°，则AE 长为（ ）A ．2B ．√5C ．3√22D ．3√32解：如图，延长EF 交DA 的延长线于Q ，连接DE ，设BE ＝x ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DQ ∥BC ，∴∠Q ＝∠BEF ，∵AF ＝FB ，∠AFQ ＝∠BFE ，∴△QF A ≌△EFB （AAS ），∴AQ ＝BE ＝x ，∵∠EFD ＝90°，∴DF ⊥QE ，∴DQ ＝DE ＝x +2，∵AE ⊥BC ，BC ∥AD ，∴AE ⊥AD ，∴∠AEB＝∠EAD＝90°，∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，∴（x+2）2﹣4＝6﹣x2，整理得：2x2+4x﹣6＝0，解得x＝1或﹣3（舍弃），∴BE＝1，∴AE=√AB2−BE2=√6−1=√5，故选：B．7．（2020山东滨州）（3分）下列命题是假命题的是()A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．对角线相等的菱形是正方形D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形选：D．12．（2020山东滨州）（3分）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A'处，得到折痕BM，BM与EF相交于点EN=，则OD的长为()N．若直线BA'交直线CD于点O，5BC=，1A B C D【解答】解：1EN=，AM=，∴由中位线定理得2由折叠的性质可得2A M'=，∴∠=∠'，AD EF，AMB A NM//∠=∠'，A NM A MBAMB A MB∴∠'=∠'，A F'=∴'=，2A EA N2∴'=，3过M点作MG EF⊥于G，∴==，1NG EN∴'=，1AG由勾股定理得MG=BE OF MG∴===，∴=，:2:3OF BE解得OF=，∴==．OD故选：B．5．（2020四川眉山）（4分）下列说法正确的是（）A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形选：B．12．（2020四川眉山）（4分）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①∠EAB＝∠GAD；②△AFC∽△AGD；③2AE2＝AH•AC；④DG⊥AC．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，∴∠EAG＝∠BAD＝90°，∠F AG＝∠AFG＝∠DAC＝∠ACB＝45°，AF＝AG，AC ＝AD，∴∠EAG﹣∠BAC＝∠BAD﹣∠BAG，∴∠EAB＝∠DAG，故①正确；∵AF＝AG，AC＝AD，∴＝，∵∠F AG＝∠CAD＝45°，∴∠F AC＝∠DAG，∴△F AC∽△DAG，故②正确，∴∠ADG＝∠ACB＝45°，延长DG交AC于N，∵∠CAD＝45°，∠ADG＝45°，∴∠AND＝90°，∴DG⊥AC，故④正确，∵∠F AC＝∠F AH，∠AFG＝∠ACF＝45°，∴△AFH∽△ACF，∴，∴AF2＝AH•AC，∴2AE2＝AH•AC，故③正确，故选：D．11．（2020云南）（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD 的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于（）A ．B ．C ．D ．解：∵平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，∴点O 为线段BD 的中点．又∵点E 是CD 的中点，∴线段OE 为△DBC 的中位线，∴OE ∥BC ，OE ＝BC ，∴△DOE ∽△DBC ，∴＝（）2＝．选：B ． 9．（3分）（2020•怀化）在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，若△AOB 的面积为2，则矩形ABCD 的面积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10选：C ．10．（2020山东泰安）（4分）如图，四边形ABCD 是一张平行四边形纸片，其高AG ＝2cm ，底边BC ＝6cm ，∠B ＝45°，沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF ＝30°，则AF 的长为（ ）A ．lcmB ．√63cmC ．（2√3−3）cmD ．（2−√3）cm【解答】解：过F 作FH ⊥BC 于H ，∵高AG＝2cm，∠B＝45°，∴BG＝AG＝2cm，∵FH⊥BC，∠BEF＝30°，∴EH=√3AG=2√3，∵沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，∴AF＝CE，∵AG⊥BC，FH⊥BC，∴AG∥FH，∵AG＝FH，∴四边形AGHF是矩形，∴AF＝GH，∴BC＝BG+GH+HE+CE＝2+2AF+2√3=6，∴AF＝2−√3（cm），故选：D．11．（2020山东泰安）（4分）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAN＝∠BCM，∵BF⊥AC，DE∥BF，∴DE ⊥AC ，∴∠DNA ＝∠BMC ＝90°，在△DNA 和△BMC 中，{∠DAN =∠BCM∠DNA =∠BMC AD =BC，∴△DNA ≌△BMC （AAS ），∴DN ＝BM ，∠ADE ＝∠CBF ，故①正确；在△ADE 和△CBF 中，{∠ADE =∠CBFAD =BC ∠DAE =∠BCF，∴△ADE ≌△CBF （ASA ），∴AE ＝FC ，DE ＝BF ，故③正确；∴DE ﹣DN ＝BF ﹣BM ，即NE ＝MF ，∵DE ∥BF ，∴四边形NEMF 是平行四边形，∴EM ∥FN ，故②正确；∵AB ＝CD ，AE ＝CF ，∴BE ＝DF ，∵BE ∥DF ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∵AO ＝AD ，∴AO ＝AD ＝OD ，∴△AOD 是等边三角形，∴∠ADO ＝∠DAN ＝60°，∴∠ABD ＝90°﹣∠ADO ＝30°，∵DE ⊥AC ，∴∠ADN ＝ODN ＝30°，∴∠ODN ＝∠ABD ，∴DE ＝BE ，∴四边形DEBF 是菱形；故④正确；正确结论的个数是4个，故选：D ．11．（2020海南）（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（）A．16B．17C．24D．25【分析】先计算出△ABE的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可．【解答】解：∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝15，同理BE＝AB＝10，∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，可得：AG＝6，∴AE＝2AG＝12，∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，∵四边形ABCD是平行四边形，∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，∴△CEF的周长为16．故选：A．二、填空题14．（2020安徽）（5分）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使得点B 落在CD 上的点Q 处．折痕为AP ；再将PCQ ∆，ADQ ∆分别沿PQ ，AQ 折叠，此时点C ，D 落在AP 上的同一点R 处．请完成下列探究：（1）PAQ ∠的大小为 30 ︒；（2）当四边形APCD 是平行四边形时，AB QR的值为 ．【解答】解：（1）由折叠的性质可得：B AQP ∠=∠，DAQ QAP PAB ∠=∠=∠，DQA AQR ∠=∠，CQP PQR ∠=∠，D ARQ ∠=∠，C QRP ∠=∠，180QRA QRP ∠+∠=︒，180D C ∴∠+∠=︒，//AD BC ∴，180B DAB ∴∠+∠=︒，180DQR CQR ∠+∠=︒，90DQA CQP ∴∠+∠=︒，90AQP ∴∠=︒，90B AQP ∴∠=∠=︒，90DAB ∴∠=︒，30DAQ QAP PAB ∴∠=∠=∠=︒，故答案为：30；（2）由折叠的性质可得：AD AR =，CP PR =，四边形APCD 是平行四边形，AD PC ∴=，AR PR ∴=，又90AQP ∠=︒，12QR AP ∴=，30PAB ∠=︒，90B ∠=︒，2AP PB ∴=，AB =，PB QR ∴=，∴AB QR16.（2020福建）设,,,A B C D 是反比例函数k y x=图象上的任意四点，现有以下结论： ∵四边形ABCD 可以是平行四边形；∵四边形ABCD 可以是菱形；∵四边形ABCD 不可能是矩形；∵四边形ABCD 不可能是正方形． 其中正确的是_______．（写出所有正确结论的序号）【答案】∵∵ 【详解】解：如图， 反比例函数ky x =图象关于原点成中心对称，,,OA OC OB OD ∴==∴ 四边形ABCD 是平行四边形，故∵正确，如图，若四边形ABCD 是菱形，则,AC BD ⊥90,COD ∴∠=︒显然：COD ∠＜90,︒所以四边形ABCD 不可能是菱形，故∵错误，如图， 反比例函数k y x=的图象关于直线y x =成轴对称， 当CD 垂直于对称轴时，,,OC OD OA OB ∴== 的=OA OC,∴===OA OB OC OD,∴=AC BD,∴四边形ABCD是矩形，故∵错误，四边形ABCD不可能是菱形，∴四边形ABCD不可能是正方形，故∵正确，故答案：∵∵．14．（2020陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF 的长为2．【解答】解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，得矩形AGHE，∴GH＝AE＝2，∵在菱形ABCD 中，AB ＝6，∠B ＝60°，∴BG ＝3，AG ＝3＝EH ，∴HC ＝BC ﹣BG ﹣GH ＝6﹣3﹣2＝1，∵EF 平分菱形面积，∴FC ＝AE ＝2，∴FH ＝FC ﹣HC ＝2﹣1＝1，在Rt △EFH 中，根据勾股定理，得EF ＝＝＝2．故答案为：2． 20．（2020哈尔滨）（3分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在线段BO 上，连接AE ，若2CD BE =，DAE DEA ∠=∠，1EO =，则线段AE 的长为【解答】解：设BE x =，则2CD x =，四边形ABCD 为菱形，2AB AD CD x ∴===，OB OD =，AC BD ⊥，DAE DEA ∠=∠，2DE DA x ∴==， 3BD x ∴=，32OB OD x ∴==， OE BE BO +=，312x x ∴+=，解得2x =， 即4AB =，3OB =，在Rt AOB ∆中，OA =在Rt AOE ∆中，AE故答案为16．(2020杭州)（4分）如图是一张矩形纸片，点E 在AB 边上，把△BCE 沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，连接DF ．若点E ，F ，D 在同一条直线上，AE ＝2，则DF ＝ 2 ，BE ＝ √5−1 ．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠ADC ＝∠B ＝∠DAE ＝90°，∵把△BCE 沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，∴CF ＝BC ，∠CFE ＝∠B ＝90°，EF ＝BE ，∴CF ＝AD ，∠CFD ＝90°，∴∠ADE +∠CDF ＝∠CDF +∠DCF ＝90°，∴∠ADF ＝∠DCF ，∴△ADE ≌△FCD （ASA ），∴DF ＝AE ＝2；∵∠AFE ＝∠CFD ＝90°，∴∠AFE ＝∠DAE ＝90°，∵∠AEF ＝∠DEA ，∴△AEF ∽△DEA ，∴AE EF =DE AE ，∴2EF =2+EF 2，∴EF =√5−1（负值舍去），∴BE ＝EF =√5−1，故答案为：2，√5−1．17．(2020天津)如图，ABCD 的顶点C 在等边BEF ∆的边BF 上，点E 在AB 的延长线上，G 为DE 的中点，连接CG ．若3AD =，2AB CF ==，则CG 的长为_______．答案:3216．（2020贵州黔西南）（3分）如图，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合得到折痕EF ，将纸片展平，再一次折叠，使点D 落到EF 上点G 处，并使折痕经过点A ，已知BC ＝2，则线段EG 的长度为 √3 ．解：如图所示：由题意可得：∠1＝∠2，AN ＝MN ，∠MGA ＝90°，则NG =12AM ，故AN ＝NG ，∴∠2＝∠4，∵EF ∥AB ，∴∠4＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4=13×90°＝30°， ∵四边形ABCD 是矩形，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合得到折痕EF ， ∴AE =12AD =12BC ＝1，∴AG ＝2，∴EG =2−12=√3，故答案为：√3．14.（2020无锡）如图，在菱形ABCD 中，50B ∠=︒，点E 在CD 上，若AE AC =，则BAE ∠=__________．解：四边形ABCD 是菱形，50B ∠=︒，∵AB∵CD ，∵∵BCD=180°-∵B=130°，∵ACE=12∵BCD=65°， ∵ AE AC =，∵∵ACE=∵AEC=65°，∵∵BAE=180°-∵AEC=115°．13.（2020山东青岛）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 在CD的延长线上，连接AE ，点F 是AE 的中点，连接OF 交AD 于点G ．若2DE =，3OF =，则点A 到DF 的距离为__________．解：如图，过点A 作AH∵DF 的延长线于点H ，∵在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∵O 为AC 中点∵F 点是AE 中点，∵OF 是∵ACE 的中位线，∵CE=2OF=6∵G 点是AD 的中点，∵FG 是∵ADE 的中位线， ∵GF=12DE =1 ∵CD=CE -DE=4,∵AD=CD=4在Rt∵ADE 中，AD=4,DE=2=∵DF=12∵S ∵AFD =12AD·GF=12FD·AH即12×4×1=12×AH∵AH=5∵点A 到DF ，．16.（2020湖北武汉）如图，折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在AB 边的点M 处，EF 为折痕，1AB =，2AD =．设AM 的长为t ，用含有t 的式子表示四边形CDEF 的面积是________．解：设DE =EM =x ，∵222(2)x x t =-+，∵x =244t + ， 设CF =y ，连接FM ，∵BF =2−y ，又∵FN = y ，NM =1，∵22221(2)(1)y y t +=-+-，∵y =2244t t -+， ∵四边形CDEF 的面积为：1()2x y CD +=221424()244t t t +-++∙1， 故答案为：211144t t -+. 14.（2020湖北武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，点E 在AC 上，AD AE BE ==，102D ︒∠=，则BAC ∠的大小是________．解：设∵BAC=x∵平行四边形ABCD 的对角线∵DC//AB,AD=BC,AD//BC ∵∵DCA=∵BAC=x∵AE=BE ∵∵EBA =∵BAC=x∵∵BEC=2x∵AD AE BE == ∵BE=BC∵∵BCE=∵BEC =2x ∵∵DCB=∵BCE+∵DCA=3x∵AD//BC ，102D ︒∠=∵∵D+∵DCB=180°，即102°+3x=180°，解得x=26°．故答案为26°．16.（2020重庆A 卷）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，对角线AC 的中点为O ，分别以点A ，C 为圆心，以AO 的长为半径画弧，分别与正方形的边相交．则图中的阴影部分的面积为__________．（结果保留π）解：由图可知，S 2ABCD S S =-阴影扇形，224ABCD S =⨯=，∵四边形ABCD 是正方形，边长为2，∴AC ，∵点O 是AC 的中点，∴，∴2903602S ππ︒==︒扇形,∴S 2=4-ABCD S S π=-阴影扇形， 故答案为：4π-．15．（2020上海）（4分）如图，AC 、BD 是平行四边形ABCD 的对角线，设BC →=a →，CA →=b →，那么向量BD →用向量a →、b →表示为 2a →+b → ．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴AD →=BC →=a →，∵CD →=CA →+AD →=b →+a →，∴BA →=CD →=b →+a →，∵BD →=BA →+AD →，∴BD →=b →+a →+a →=2a →+b →，故答案为：2a →+b →．18．（2020辽宁抚顺）（3分）如图，四边形ABCD 是矩形，延长DA 到点E ，使AE ＝DA ，连接EB ，点F 1是CD 的中点，连接EF 1，BF 1，得到△EF 1B ；点F 2是CF 1的中点，连接EF 2，BF 2，得到△EF 2B ；点F 3是CF 2的中点，连接EF 3，BF 3，得到△EF 3B ；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD 的面积等于2，则△EF n B 的面积为．（用含正整数n的式子表示）解：∵AE＝DA，点F1是CD的中点，矩形ABCD的面积等于2，∴△EF1D和△EAB的面积都等于1，∵点F2是CF1的中点，∴△EF1F2的面积等于，同理可得△EF n﹣1F n的面积为，∵△BCF n的面积为2×÷2＝，∴△EF n B的面积为2+1﹣1﹣﹣…﹣﹣＝2﹣（1﹣）＝．故答案为：．2．（2020黑龙江牡丹江）（3分）如图，在四边形ABCD中，连接AC，ACB CAD∠=∠．请你添加一个条件AD BC=．（填一种情况即可）=，使AB CD【解答】解：添加的条件：AD BC=，理由是：AD BC∴，∠=∠，//ACB CAD=，∴四边形ABCD是平行四边形，AB CD∴=．AD BC故答案为：AD BC=．18．（2020黑龙江龙东）（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，将ABD∆沿射线BD平移，得到EGF∆，连接EC、GC．求EC GC+的最小值为【解答】解：如图，连接DE，作点D关于直线AE的对称点T，连接AT，ET，CT．四边形ABCD是正方形，4AB BC AD∴====，90ABC∠=︒，45ABD∠=︒，//AE BD，45EAD ABD∴∠=∠=︒，D，T关于AE对称，4AD AT∴==，45TAE EAD∠=∠=︒，90TAD∴∠=︒，90BAD∠=︒，B∴，A，T共线，CT∴=EG CD=，//EG CD，∴四边形EGCD是平行四边形，CG EC∴=，EC CG EC ED EC TE∴+=+=+，TE EC TC+，45EC CG∴+，EC CG∴+的最小值为19．（2020黑龙江龙东）（3分）在矩形ABCD中，1AB=，BC a=，点E在边BC上，且35BE a=，连接AE，将ABE∆沿AE折叠．若点B的对应点B'落在矩形ABCD的边上，则折痕的长为解：分两种情况：①当点B'落在AD边上时，如图1所示：四边形ABCD 是矩形，90BAD B ∴∠=∠=︒，将ABE ∆沿AE 折叠．点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的AD 边上，1452BAE B AE BAD '∴∠=∠=∠=︒， ABE ∴∆是等腰直角三角形，1AB BE ∴==，AE②当点B '落在CD 边上时，如图2所示：四边形ABCD 是矩形，90BAD B C D ∴∠=∠=∠=∠=︒，AD BC a ==，将ABE ∆沿AE 折叠．点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的CD 边上，90B AB E '∴∠=∠=︒，1AB AB '==，35BE BE a '==， 3255CE BC BE a a a ∴=-=-=，B D '== 在ADB '∆和△B CE '中，90B AD EB C AB D '''∠=∠=︒-∠，90D C ∠=∠=︒，ADB '∴∆∽△B CE '， ∴B D AB EC B E ''='1355a a =，解得：a =0a =（舍去），35BE a ∴==，AE ∴===；；． 17．(2020山东枣庄)（4分）如图，E ，F 是正方形ABCD 的对角线AC 上的两点，8AC =，2AE CF ==，则四边形BEDF 的周长是【解答】解：如图，连接BD 交AC 于点O ，四边形ABCD 为正方形，BD AC ∴⊥，OD OB OA OC ===，2AE CF ==，OA AE OC CF ∴-=-，即OE OF =，∴四边形BEDF 为平行四边形，且BD EF ⊥，∴四边形BEDF 为菱形，DE DF BE BF ∴===，8AC BD ==，8422OE OF -===，由勾股定理得：DE ==，∴四边形BEDF 的周长44DE ==⨯=故答案为：18．(2020山东枣庄)（4分）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式11(2S a b a=+-是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克()Pick定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S=6．【解答】解：a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积，4a∴=，6b=，∴该五边形的面积146162S=+⨯-=，故答案为：6．18．（2020广西南宁）（3分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠C＝60°，点E，F 分别是AB，AD上的动点，且AE＝DF，DE与BF交于点P．当点E从点A运动到点B 时，则点P的运动路径长为π．【分析】如图，作△CBD的外接圆⊙O，连接OB，OD．利用全等三角形的性质证明∠DPB＝120°，推出B，C，D，P四点共圆，利用弧长公式计算即可．【解答】解：如图，作△CBD的外接圆⊙O，连接OB，OD．∵四边形ABCD是菱形，∵∠A＝∠C＝60°，AB＝BC＝CD＝AD，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，∴BD＝AD，∠BDF＝∠DAE，∵DF＝AE，∴△BDF≌△DAE（SAS），∴∠DBF＝∠ADE，∵∠ADE+∠BDE＝60°，∴∠DBF+∠BDP＝60°，∴∠BPD＝120°，∵∠C＝60°，∴∠C+∠DPB＝180°，∴B，C，D，P四点共圆，由BC＝CD＝BD＝2，可得OB＝OD＝2，∵∠BOD＝2∠C＝120°，∴点P的运动的路径的长＝＝π．故答案为π．15．（3分）（2020•玉林）如图，将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD是菱形（填“是”或“不是”）．【解答】解：如图，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，∵两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起，∴AE＝AF，∴S平行四边形ABCD＝BC•AE＝DC•AF，∴BC＝DC，∴▱ABCD是菱形．故答案为：是．15．（3分）（2020•常德）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG ＝6，则DG的长为12．解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：DG＝DA＝DC＝x，∵GF＝4，EG＝6，∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣4，EF＝6+4＝10，如图1所示：在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2+BF2＝EF2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16＝100，∴x2﹣10x﹣24＝0，∴（x+2）（x﹣12）＝0，∴x1＝﹣2（舍），x2＝12．∴DG＝12．故答案为：12．15．（2020贵州遵义）（4分）如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．若CD＝5，则BE的长是10√33．【解答】解：∵将矩形纸片ABCD对折一次，使边AD与BC重合，得到折痕MN，∴AB＝2BM，∠A′MB＝90°，MN∥BC．∵将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．∴A′B＝AB＝2BM．在Rt △A ′MB 中，∵∠A ′MB ＝90°，∴sin ∠MA ′B =BM BA′=12， ∴∠MA ′B ＝30°，∵MN ∥BC ，∴∠CBA ′＝∠MA ′B ＝30°，∵∠ABC ＝90°，∴∠ABA ′＝60°，∴∠ABE ＝∠EBA ′＝30°，∴BE =cos30°32=10√33． 故答案为：10√33．6．（2020青海）（2分）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，已知∠BOC ＝120°，DC ＝3cm ，则AC 的长为 6 cm ．解：在矩形ABCD 中，∴OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∵∠BOC ＝120°，∴∠OCB ＝30°，∵DC ＝3，∴AB ＝CD ＝3，在Rt △ACB 中，AC ＝2AB ＝6，故答案为：620．（2020山东滨州）（5分）如图，点P 是正方形ABCD 内一点，且点P 到点A 、B 、C 的距离分别为、4，则正方形ABCD 的面积为 14+【解答】解：如图，将ABP ∆绕点B 顺时针旋转90︒得到CBM ∆，连接PM ，过点B 作BH PM ⊥于H ．2BP BM ==，90PBM ∠=︒，22PM PB ∴==，4PC =，23PA CM ==，222PC CM PM ∴=+，90PMC ∴∠=︒，45BPM BMP ∠=∠=︒，135CMB APB ∴∠=∠=︒，180APB BPM ∴∠+∠=︒，A ∴，P ，M 共线，BH PM ⊥，PH HM ∴=，1BH PH HM ∴===，231AH ∴=+，22222(231)11443AB AH BH ∴=+=++=+，∴正方形ABCD 的面积为1443+．6．（2020云南）（3分）已知四边形ABCD 是矩形，点E 是矩形ABCD 的边上的点，且EA ＝EC ．若AB ＝6，AC ＝2，则DE 的长是 或 ．解：如图，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝6，AD ＝BC ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴BC ＝＝＝2， ∴AD ＝2，当点E 在CD 上时，∵AE 2＝DE 2+AD 2＝EC 2，∴（6﹣DE ）2＝DE 2+4，∴DE ＝；当点E 在AB 上时，∵CE 2＝BE 2+BC 2＝EA 2，∴AE 2＝（6﹣AE ）2+4，∴AE ＝， ∴DE ＝＝＝， 综上所述：DE ＝或，三、解答题21.（2020北京）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，点F ，G 在AB 上，EF∵AB ，OG∵EF.（1）求证：四边形OEFG 是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE 和BG 的长.【解析】（1）∵四边形ABCD 为菱形，∴点O 为BD 的中点，∵点E 为AD 中点， ∴OE 为△ABD 的中位线，∴OE ∥FG ，∵OG ∥EF ，∴四边形OEFG 为平行四边形∵EF ⊥AB ，∴平行四边形OEFG 为矩形.（2）∵点E 为AD 的中点，AD=10，∴AE=521=AD ∵∠EFA=90°，EF=4，∴在Rt △AEF 中，3452222=-=-=EF AE AF . ∵四边形ABCD 为菱形，∴AB=AD=10，∴OE=21AB=5 ∵四边形OEFG 为矩形，∴FG=OE=5，∴BG=AB -AF -FG=10-3-5=223．（2020安徽）（14分）如图1，已知四边形ABCD 是矩形，点E 在BA 的延长线上，AE AD =．EC 与BD 相交于点G ，与AD 相交于点F ，AF AB =．（1）求证：BD EC ⊥；（2）若1AB =，求AE 的长；（3）如图2，连接AG ，求证：EG DG -=．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是矩形，点E 在BA 的延长线上，90EAF DAB ∴∠=∠=︒，又AE AD =，AF AB =，()AEF ADB SAS ∴∆≅∆，AEF ADB ∴∠=∠，90GEB GBE ADB ABD ∴∠+∠=∠+∠=︒，即90EGB ∠=︒，故BD EC ⊥，（2）解：四边形ABCD 是矩形，//AE CD ∴，AEF DCF ∴∠=∠，EAF CDF ∠=∠，AEF DCF ∴∆∆∽， ∴AE AF DC DF=， 即AE DF AF DC =，设(0)AE AD a a ==>，则有(1)1a a -=，化简得210a a --=，解得a ，AE ∴． （3）如图，在线段EG 上取点P ，使得EP DG =，在AEP ∆与ADG ∆中，AE AD =，AEP ADG ∠=∠，EP DG =，()AEP ADG SAS ∴∆≅∆，AP AG ∴=，EAP DAG ∠=∠，90PAG PAD DAG PAD EAP DAE ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，PAG ∴∆为等腰直角三角形，EG DG EG EP PG ∴-=-=．25．（2020成都）（4分）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，E ，F 分别为AB ，CD 边的中点．动点P 从点E 出发沿EA 向点A 运动，同时，动点Q 从点F 出发沿FC 向点C 运动，连接PQ ，过点B 作BH PQ ⊥于点H ，连接DH ．若点P 的速度是点Q 的速度的2倍，在点P 从点E 运动至点A 的过程中，线段PQ 长度的最大值为 线段DH 长度的最小值为 ．【解答】解：连接EF 交PQ 于M ，连接BM ，取BM 的中点O ，连接OH ，OD ，过点O 作ON CD ⊥于N ．四边形ABCD 是矩形，DF CF =，AE EB =，∴四边形ADFE 是矩形，3EF AD ∴==，//FQ PE ， MFQ MEP ∴∆∆∽，∴MF FQ ME PE=， 2PE FQ =，2EM MF ∴=，2EM ∴=，1FM =，当点P 与A 重合时，PQ 的值最大，此时PM ==，MQ ，PQ ∴=////MF ON BC ，MO OB =，1FN CN ∴==，3DN DF FN =+=，1()22ON FM BC =+=，OD ∴==BH PQ ⊥，90BHM ∴∠=︒，OM OB =，1122OH BM ∴== DH OD OH -， 132DH ∴-DH ∴故答案为-27．（2020成都）（10分）在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将BCE ∆沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处．（1）如图1，若2BC BA =，求CBE ∠的度数；（2）如图2，当5AB =，且10AF FD =时，求BC 的长；（3）如图3，延长EF ，与ABF ∠的角平分线交于点M ，BM 交AD 于点N ，当NF AN FD =+时，求AB BC的值．【解答】解：（1）将BCE ∆沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处， BC BF ∴=，FBE EBC ∠=∠，2BC AB =，2BF AB ∴=，30AFB ∴∠=︒，四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，30AFB CBF ∴∠=∠=︒，1152CBE FBC ∴∠=∠=︒；（2）将BCE ∆沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处，90BFE C ∴∠=∠=︒，CE EF =， 又矩形ABCD 中，90A D ∠=∠=︒，90AFB DFE ∴∠+∠=︒，90DEF DFE ∠+∠=︒，AFB DEF ∴∠=∠，FAB EDF ∴∆∆∽， ∴AF ABDE DF =，AF DF AB DE ∴=，10AF DF =，5AB =，2DE ∴=，523CE DC DE ∴=-=-=，3EF ∴=，DF ∴=，AF ∴==，BC AD AF DF ∴==+=（3）过点N 作NG BF ⊥于点G ，NF AN FD =+，1122NF AD BC ∴==，BC BF =，12NF BF ∴=，NFG AFB ∠=∠，90NGF BAF ∠=∠=︒，NFG BFA ∴∆∆∽， ∴12NG FG NFAB FA BF ===，设AN x =， BN 平分ABF ∠，AN AB ⊥，NG BF ⊥，AN NG x ∴==，设FG y =，则2AF y =，222AB AF BF +=，222(2)(2)(2)x y x y ∴+=+， 解得43y x =．410233BF BG GF x x x ∴=+=+=．∴23 1053AB AB xBC BF x===．23．（2020广州）（本小题满分12分）如图10，△ABD中，∠ABD =∠ADB．（1）作点A关于BD的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，连接BC，DC，连接AC，交BD于点O．①求证：四边形ABCD是菱形；②取BC的中点E，连接OE，若132OE=，10BD=，求点E到AD的距离．【详解过程】解：(1)作图如下：∴点C为所求的点A关于BD的对称点。