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2016-2017学年高中数学北师大版必修1学业分层测评10 二次函数的性质

学业分层测评(十)
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.函数y =3+2x -x 2(0≤x ≤3)的最小值为( ) A .-1 B .0 C .3
D .4
【解析】 y =3+2x -x 2=-(x -1)2+4,∵0≤x ≤3, ∴当x =3时,y min =3+6-9=0. 【答案】 B
2.若抛物线y =x 2-(m -2)x +m +3的顶点在y 轴上,则m 的值为( ) A .-3 B .3 C .-2
D .2
【解析】 由题意知其对称轴为x =--(m -2)2
=m -2
2=0,即m =2. 【答案】 D
3.设函数f (x )=⎩⎨⎧
1,x >0,
0,x =0,
-1,x <0,
g (x )=x 2f (x -1),则函数g (x )的递减区间是
( )
A .(-∞,0]
B .[0,1)
C .[1,+∞)
D .[-1,0]
【解析】
g (x )=⎩⎨⎧
x 2,x >1,
0,x =1,
-x 2,x <1.
如图所示,其递减区间是[0,1).故选B.
【答案】 B
4.若f (x )=x 2+bx +c 的对称轴为x =2,则( ) A .f (4)<f (1)<f (2) B .f (2)<f (1)<f (4) C .f (2)<f (4)<f (1)
D .f (4)<f (2)<f (1)
【解析】 f (x )的对称轴为x =2,所以f (2)最小.又x =4比x =1距对称轴远,故f (4)>f (1),即f (2)<f (1)<f (4).
【答案】 B
5.(2016·资阳高一检测)已知函数f (x )=x 2-2x +4在区间[0,m ](m >0)上的最大值为4,最小值为3,则实数m 的取值范围是( )
A .[1,2]
B .(0,1]
C .(0,2]
D .[1,+∞)
【解析】 f (x )=(x -1)2+3,
f (x )的对称轴为x =1,f (x )在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增. 当x =1时,f (x )取到最小值3, 当x =0或2时,f (x )取到最大值4, 所以m ∈[1,2]. 【答案】 A 二、填空题
6.(2016·丹东高一检测)函数y =(m -1)x 2+2(m +1)x -1的图像与x 轴只有一个交点,则实数m 的取值集合为________.
【解析】 当m =1时,f (x )=4x -1,其图像和x 轴只有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫14,0,
当m ≠1时,依题意,有Δ=4(m +1)2+4(m -1)=0, 即m 2+3m =0,解得m =-3或m =0, 所以m 的取值集合为{-3,0,1}.
【答案】 {-3,0,1}
7.函数y =-x 2+6x +9在区间[a ,b ]上(a <b <3)有最大值9,最小值-7,则a =________,b =________.
【解析】 二次函数的对称轴为x =-
6
-2
=3, ∴函数y =-x 2+6x +9在区间[a ,b ]上是增函数.
∴⎩⎨⎧ 9=-b 2
+6b +9,-7=-a 2
+6a +9,解得⎩
⎨⎧
b =0或6,a =-2或8, ∵a <b <3,∴a =-2,b =0. 【答案】 -2 0
8.(2016·温州模拟)研究发现,某公司年初三个月的月产值y (万元)与月份x 近似地满足关系式y =ax 2+bx +c ,已知1月份产值为4万元,2月份的产值为11万元,3月份的产值为22万元,由此预测4月份的产值为________万元.
【解析】
由题意⎩⎨⎧
a +
b +
c =4,
4a +2b +c =11,
9a +3b +c =22,
解得⎩⎨⎧
a =2,
b =1,
c =1,
所以y =2x 2+x +1,
当x =4时,y =2×42+4+1=37(万元).
【答案】 37 三、解答题
9.已知二次函数f (x )与g (x )的图像开口大小相同,开口方向也相同,且g (x )=-2x 2-x -2,f (x )图像的对称轴为x =-1,且过点(0,6).
(1)求函数y =f (x )的解析式;
(2)求函数y =f (x )在[-2,3]上的最大值和最小值. 【解】 (1)设f (x )=-2x 2+bx +c ,由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧
-b 2×(-2)=-1,
c =6,
∴⎩
⎨⎧
b =-4,
c =6, ∴f (x )=-2x 2-4x +6.
(2)∵f (x )=-2(x +1)2+8,x ∈[-2,3], ∴x =-1时,f (x )max =8,
x =3时,f (x )min =-24.
10.某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但每提高一个档次,在相同的时间内,产量减少3件,如果在规定的时间内,最低档次的产品可生产60件.
(1)请写出相同时间内产品的总利润y 与档次x 之间的函数关系式,并写出x 的定义域.
(2)在同样的时间内,生产哪一档次产品的总利润最大?并求出最大利润. 【导学号:04100032】
【解】 (1)由题意知,生产第x 个档次的产品每件的利润为8+2(x -1)元,该档次的产量为60-3(x -1)件.则相同时间内第x 档次的总利润:
y =(2x +6)(63-3x )=-6x 2+108x +378,其中x ∈{x ∈N +|1≤x ≤10}. (2)y =-6x 2+108x +378=-6(x -9)2+864,则当x =9时,y 有最大值864. 故在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元.
[能力提升]
1.如果二次函数f (x )=x 2-(a -1)x +5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫
14,12上是减函数,那么f (2)
的取值范围是( )
A .(-∞,7]
B .(-∞,7)
C .(7,+∞)
D .[7,+∞)
【解析】 由题意知对称轴x =--(a -1)2
≥1
2,解得a ≥2,所以f (2)=4-2(a -1)+5=11-2a ≤11-2×2=7.
【答案】 A
2.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L 1=5.06x -0.15x 2和L 2=2x ,其中x (单位:辆)为销售量.若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为( )
A .45.606万元
B .45.56万元
C .45.6万元
D .45.51万元 【解析】 设该公司在甲地销售了x 辆车,在乙地销售了(15-x )辆车, 获得的总利润为y ,由题意得
y =5.06x -0.15x 2+2×(15-x )
=-0.15x 2+3.06x +30(0≤x ≤15,x ∈N ). 此函数的图像开口向下,对称轴为直线x =10.2,
所以当x =10时,y 取得最大值45.6,即获得的最大利润为45.6万元. 【答案】 C
3.已知g (x )=-x 2-4,f (x )为二次函数,满足f (x )+g (x )+f (-x )+g (-x )=0,且f (x )在[-1,2]上的最大值为7,则f (x )=________.
【解析】 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0).
则f (x )+g (x )+f (-x )+g (-x )=-x 2-4+ax 2+bx +c +ax 2-bx +c -x 2-4=(2a -2)x 2+2c -8=0,
∴⎩⎨⎧ 2a -2=0,2c -8=0,解得⎩⎨⎧
a =1,c =4,∴f (x )=x 2+bx +4. ∴对称轴为x =-
b 2.
当-b 2≤12,b ≥-1时,f (x )max =f (2)=2b +8=7,解得b =-12. 当-b 2>1
2,b <-1时,f (x )max =f (-1)=1-b +4=7,解得b =-2.
∴f (x )=x 2
-1
2x +4或f (x )=x 2-2x +4.
【答案】 x 2-1
2x +4或x 2-2x +4
4.某物流公司购买了一块长AM =30米,宽AN =20米的矩形地块,计划如图2-4-3中矩形ABCD 建设为仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点C 在地块对角线MN 上,B 、D 分别在边AM 、AN 上,假设AB 的长度为x 米.
图2-4-3
(1)求矩形ABCD 的面积S 关于x 的函数解析式;
(2)要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米,则AB 的长度应在什么范
围内?
【解】 (1)根据题意,得△NDC 与△NAM 相似, ∴DC AM =ND NA ,即x 30=20-AD 20, 解得AD =20-2
3x ,
∴矩形ABCD 的面积S 关于x 的函数为
S =⎝ ⎛

⎪⎫20-23x x (0<x <30),即S =20x -23x 2(0<x <30).
(2)要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米,即20x -2
3x 2≥144,化简得x 2-30x +216≤0,
解得12≤x ≤18.
∴AB 的长度取值范围为[12,18].。

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