量纲分析法建模
量纲
定义：表示一个物理量如何由基本量的组合所形 成的式子 .
某一物理量 Q 的量纲 dim Q ? L p M q T s
量纲作用
1）可定出同一物理量不同单位间的换算关系 .
2）量纲可检验公式的正误 .
3）从量纲分析中定出方程中比例系数的量纲和单位 .
F ? G m1m2 r2
G ? Fr 2 m1m2
我有一只具有跑 表功能的计算器。
方法一
假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式
h ? 1 gt 2 2
来计算。例如， 设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h≈78.5 米。
我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。
除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属空气阻力。
根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的
再一步深入考虑
还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落
的真正时间 为t1，声音传回来的时间记 为t2，还得解一个
方程组：
??h ? ?
g k
(
t1
?
1 k
e? kt1
)?
g k2
?h ? 340t2
这一方程组是 非线性的，求 解不太容易， 为了估算崖高
相用对方???t于法1 ?石二t块先2 速求? 度一3.，次9声h，音令速t度2=要h/3快40得，多校竟非似，正要线乎我t，去性不们求解主合可石一程情个组理
此方程组中存在两个自由变量，其解构成一个二维线性空 间。取（a,b）=（1,0）和（a,b）=（0,1），得到方程组解 空间的一组基 （1,0,2,-2,-1）和（0,1,-1,0,0），所有由这些
量组成的无量纲乘积均可用这两个解的线性组合表示。两 个基向量对应的无量纲乘积分别为：
而π1=万g有(π2引)，力即定律π则1 ?可G写rF2mF成?22 f,m(rππ22221,π?h2()mm=mm02121，) 其对万力应有定的引律显函数为：
可利用的数据条件：
圆桶的总重量
W=527.327（磅）
圆桶受到的浮力
B =470.327（磅）
圆桶下沉时受到的海水阻力 D=Cv，C =0.08
思路 利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉 位移y(t) 满足的微分方程：
d2y
m dt 2 ? W ? B ? D
(1)
其中
m ? W , D ? Cv , dy ? v
dy dt
或
?
? ?
W
?
v B
?
Cv
dv dy
?
g W
,
??v(0) ? 0, y(0) ? 0.
两边积分得函数方程：
v W ? B W ? B ? Cv gy
?? C
C2
ln
W ?B
?, W
若能求出函数v = v(y),就可求出碰撞速度
v(300).(试一试)
两种解决思路： * 用数值方法求出v(300)的近似值为 v(300)≈45.41（英尺/秒）＞40（英尺/秒）
块下落时间 t1≈t-t2将t1代入式①再算一次，得出
崖高的近似值。例如， 若h=69.9米，则 t2≈0.21
秒，故 t1≈3.69秒，求得 h≈62.3米。
实际解答 对现实对象的描述、分析、预报、 决策、控制等结果
始于现实世界并终于现实世界
例4 一场笔墨官司 美国原子能委员会（现为核管理委员会）
2
现考察这些量的无量纲乘积 π ? Gam1bm2cr d F e
M L T π 的量纲为 b? c? e? a 3a? b? e ?2(a? e)
π 由于 是无量纲的量，故应有：
?b ? c ? e ? a ? 0 ??3a ? d ? e ? 0
??a ? e ? 0
?b ? c ? e ? a ? 0 ??3a ? d ? e ? 0 ??a ? e ? 0
其比例系数由维德曼首先从理论推导得出为 π／８η，即：
Q ? ? R 4 ( P1 ? P2 ) ? ? R 4 ? P
8? L
8? L
上式称为泊肃叶定律。
２、泊肃叶定律的推导
(1) 、速度分布
设牛顿流体在半径为R的管内流动，今取半径 为r 长度为 L与管同轴的圆柱体的流体元为 研究对象，流体元两端的压强分别为 P 1、P 2，并 设P 1＞P 2。由于两端压强差而加速，此流体元
我们将以L表示轻量级、以H表示重 量级，用S表示赛艇的浸水面积，v 表示赛艇速度，W表示选手体重，P 表示选手的输出功率，I表示赛程， T表示比赛成绩（时间）。
考察优秀赛艇选手在比赛中的实际表现可以发现，整个赛程 大致可以分三个阶段， 即初始时刻的加速阶 段、中途的匀速 阶段和到达终点的冲刺阶段 。由于赛程较长，可以略去前后 两段而只考虑中间一段 ，为此，提出以下建模假设。
处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性 能很好的圆桶中，然后扔到水深300英尺的海 里.
他们这种做法安全吗？
联想：安全 、危险 分析 可从各个角度去分析造成危险的因素， 这里仅考虑圆桶泄露的可能.
问题的关键
1）圆桶至多能承受多大的冲撞速度？ (40英尺/秒)
2） 圆桶和海底碰撞时的速度有多大？
问题转为—求这种桶沉入300英尺的海底时 的末速度.（原问题是什么?）
量纲分析的原理 是：当度量量纲的基本单位改变时，公式 本身并不改变，例如，无论长度取什么单位，矩形的面积 总等于长乘宽，即公式 S=ab并不改变。此外，在公式中只 有量纲相同的量才能进行加减运算，例如面积与长度是不 允许作加减运算的，这些限制在一定程度上限定了公式的 可取范围，即一切公式都要求其所有的项具有相同的量纲， 具有这种性质的公式被称为 “量纲齐次”的。
速度，阻力系 数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得：
F ? m dv ? mg ? Kv
令k=K/m，解得
dt
v ? ce? kt
?
g
k
代入初始条件 v(0)=0，得c=－g/k，故有
v ? g ? g e ? kt
kk
再积分一次，得：
h?
gt? k
g k2
e? kt
?
c
代入初始条 件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：
3
令WH=86,WL=73,则有
1
TL TH
?
1.056
????
SL SH
????
3
由于SL略小于SH，故轻量级所化时间比重量级所化时间 约 多5%左右。
例3
崖高的估算
假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。
量纲齐次原则
用数学公式表示一物理定律时，等号两端必须保持量纲的一致 所谓量纲分析就是利用量纲齐次原则来寻求物理量之间的关系 下面用一个简单的例子来说明 单摆运动：质量为m的小球系在长度为l的线一端，作单摆运动 求其周期t的表达式 在这个问题中出现的物理量有t,m,l,g，设他们之间有关系
1--4
t ? ? m? 1l? 2 g? 3 其中? 1，? 2，? 3是待定常数 , ? 是无
?
(P1? P2 )
4?L
(R2
?
r2)
上式表明了牛顿流体在水平圆管中流动时，流 速随半径的变化关系。在管轴（r=0) 处流速有
最大值
( P1 ? P2 )
4? L
R2 ，即速度的最大值与管的半径
R的平方成正比，与压力梯度（P1-P2)/L成正
1--5
可得出其解为
1
1
?1
?
Hale Waihona Puke 0, ?2?
,? 2
3
?
?
2
得
t??
l g
1--6
例2、 赛艇成绩的比较(比例模型)
八人赛艇比赛和举重比赛一样，分 成86公斤 的重量级和 73公斤的轻量级。1971年， T.A.McMahon 比较了1964-1970年期间两次 奥运会和两次世锦赛成绩，发现 86公斤级比 73公斤级的成绩大约好5%，产生这一差异的 原因何在呢？
例1、 在万有引力公式中，引力常数G是有量纲的，根据
量纲齐次性，G的量纲为M-1L3T-2，其实，在一量纲齐次的
公式中除以其任何一项，即可使其任何一项化为无量纲，
因此任一公式均可改写成其相关量的无量纲常数或无量纲
变量的函数。例如，与万有引力公式 F
相关的物理量有：G、m1、m2、r和F。
?
Gm 1m r2
g
dt
或
? dv ?
?
Cg
v
?
g (W ? B ),
? dt W W
(2)
??V (0) ? 0.
方程的解为
v
?
v(t) ?
W
?
B
(1 ?
Cg ?t
e W ),
t? 0
C
计算触底时的碰撞速度，需确定圆桶和
海底的碰撞时间 t0=？
分析 考虑圆桶的极限速度
W ? B 527.436? 470.327
lim v(t) ?
h ? g t ? g e? kt ? g ? g (t ? 1 e? kt ) ? g ①
k k2
k2 k k
k2
若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h≈73.6米。
进一步深入考虑
多测几次，取平均值
听到回将声e-再kt用按泰跑勒表公，式计展算开得并到令的k时→间0中+ 包，含即了可 反应时间 不妨设得平出均前反面应不时考间虑为空0气.1阻秒力，时假的如结仍果设。t=4秒，扣除反 应时间后应 为3.9秒，代入 式①，求得h≈69.9米。