2012学年广州市高二年级学生学业水平数学测试本试卷分选择题和非选择题两部分, 共4页. 满分150分. 考试用时120分钟.注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．本次考试不允许使用计算器.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高， 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1.函数()f x =( )A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．(],1-∞2.集合{a,b,c}的子集个数是( )A. 5B. 6C. 7D. 83.已知数列{}n a 满足111,n n a a a n +==+，则3a 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 54.经过点（3,0）且与直线250x y +-=平行的直线方程为（ ） A. 230x y --= B. 230x y +-= C. 260x y --= D. 260x y +-=5. 函数sin 2y x =的一个单调区间是（ ）A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 6.做一个体积为32m 3，高为2m 的无盖长方体的纸盒，则用纸面积最小为 （ ）A. 64m 2B. 48m 2C. 32m 2D. 16m 27. 已知变量x y ,满足约束条件201010x y x y y ⎧--≥⎪+-≤⎨⎪+≥⎩,,.则目标函数2z y x =-的最小值为（ ）A ．5-B ．4-C ．3-D ．2-8.如图1所示，程序框图（算法流程图）输出的结果是 （ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 9.关于x 的不等式2220x ax a +-> 的解集中的一个元素为1，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()(),12,-∞-+∞UB.（-1,2）C. ()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U D. （-1,12）10.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是（0,0,0），（1,1,0），（1,0,1），（0,0,a ） (a <0)，画该四面体三视图中的正视图时，以xOz 平面为投影面，得到正视图的面积为2，则该四面体的体积是（ ）A.13B. 12C. 1D. 32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分11.在△ABC 中，∠ABC=450，AC=2，BC=1，则为 .12.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录用茎叶图表示（图2），则该赛季发挥更稳定的运动员是 .（填“甲”或“乙”）13.已知向量(1,2),(3,4),AB AC ==u u u r u u u r则BC =u u u r .14.已知[x]表示不超过实数x 的最大整数，g(x)=[x]，0x 是函数()21log f x x x=-的零点，则g(0x )的值等于 .8 04 6 3 1 25 36 8 2 5 43 8 9 3 1 6 1 6 7 94 4 9 15 0乙甲图2三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15.（本小题满分12分）某中学高一年级新生有1000名，从这些新生中随机抽取100名学生作为样本测量其身高（单位：cm ），（1）试估计高一年级新生中身高在[)175,180上的学生人数；（2）从样本中身高在区间[)170,180上的女生中任选2名，求恰好有一名身高在区间[)175,180上的概率.16. （本小题满分12分）已知函数()sin cos ,6f x x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭. （1）求(0)f 的值；（2）若α是第四象限角，且133f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan α的值.17. （本小题满分14分）A 1C 1F如图3，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E,F 分别是A 1D 1,A 1A 的中点。
（1）求证：1//BC 平面CEF ；（2）在棱11A B 上是否存在点G ，使得EG CE ⊥？若存在，求1A G 的长度；若不存在，说明理由。
18. ,()221:11C x y -+=相交于A,B 两点，圆2C 与圆1C 相外切，且与直线l 相切于点（3）求圆2C 的方程。
19. （本小题满分14分）设数列{}n a 是等比数列，对任意*n N ∈，()12335...21n n T a a a n a =++++-，已知11T =，27T =。
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使得()1260n n T T +<+成立的最大正整数n 的值。
20. （本小题满分14分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2.f x x x =- （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[],1a a +上的最大值。
2013学年广州市高二年级学生学业水平数学测试答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1. A DCDA BA CB B3解：∵111,n n a a a n +==+，∴令n=1，1111112a a +=+=+=，令n=2，2122224a a +=+=+=. 解：关于x 的不等式2220x ax a +-> 的解集中的一个元素为1，所以()2120f a a =+->，220a a --<，-1<a<2.10.解：这个四面体是图中的O-MNP ，又以xOz，它的面积为2，所以 ()111112,22a ⨯⨯+⨯⨯-=解得3a =-。
四面体的体积是（M-OPN ）(△OPN 是底面，MQ 是高11⨯ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分11. 4.12. 乙 .x 的最三、解答题：本大题共6小题，满分8015.解（1）∵样本中身高在[)175,180∴估计高一年级新生中身高在[)175,180（2）样本中身高在区间[)170,180上的女生有100（[)175,180上的女生有100×0.01=1人，记为5.从这5人中选2人有10种不同选法。
其中恰好有一名身高在区间[)175,180上有4中， 所以恰好有一名身高在区间[)175,180上的概率是42105P ==。
16. 解（1）11(0)sin cos 01622f π⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭， 55（2）∵1sin cos 3633f πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即111sin cos cos cos 22223ααααα++-==， 又α是第四象限角，所以sin sin tan 3cos αααα==-==- 17. 证明：（1）连接AD 1，∵AB //C 1D 1,∴ABC 1D 1是平行四边形，所以11//BC AD ，又E,F 分别是A 1D 1,A 1A的中点，所以1//EF AD ，所以1//BC EF ，又BC 1在平面CEF 外，EF 在平面CEF 内，所以1//BC 平面CEF 。
（2）设在棱11A B 上是否存在点G ，使得EG CE ⊥，记1A G =x ， 以A 1为坐标原点，A 1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴建立坐标系，则C 1（1,1），E(0，12),G(x,0),若1EG C E ⊥，则11EG C Ek k ⨯=-，1111221,104x x -⨯=-=--，当1A G =1时，有EG C E ⊥。
又CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，EG1CC 1与1CC Ekx3,3k k ==。
（2）圆()221:11C x y -+=的圆心为C 1（1,0）直线:,03l y x x =-=， 点C 1（1,0）到直线l 的距离等于12d =，所以AB ==（3）方法1：过点M 作与直线l 垂直的直线/l 是)3y x =-，即y =+设圆2C 的圆心2C (,a +，又C 1（1,02C 与圆1C 相外切，且与直线l 相切于点(M 。
所以1221C C MC =+,1=+14a =或20a =，对应的圆心（4,0），半径为2；圆心（0,，半径为6；D所以圆2C 的方程为()2244x y -+=或(2236x y +-=。
方法2：设圆2C 的方程为()()()2220x a y b rr -+-=>则12221C C r MC r l MC ⎧=+⎪=⎨⎪⊥⎩，即1 (1)........(2)1......................(3)33r r b a =+==--⎩， 由（3）解得b =+代入（2）得到r =再把b 和r 代入（11=+解得14a =或20a =，对应的圆心（4,0），半径为2；圆心（0,，半径为6； 所以圆2C 的方程为()2244x y -+=或(2236x y +-=。
方法3：当圆2C 在直线l 的下方时，过点M 作与直线l 垂直的直线/l ，过 1C 作直线l 的平行线与直线/l 相交于点P，设圆2C 的半径为r 。
∵C 1（1,0），圆2C 与圆1C 相外切，且与直线l 相切于点(M ，∴OM1C P==12C C4l 的倾斜角为300，所以2C 在x 轴正半轴上，得2C （4,0）， 所以圆2C 的方程为()2244x y -+=。
同理，当圆2C 在直线l 的上方时，过点M 作与直线l 垂直的直线/l ，过 1C 作直线l 的平行线与直线/l 相交于点P ，设圆2C 的半径为r 。
∵C 1（1,0），圆2C 与圆1C 相外切，且与直线l 相切于点(M ，∴OM =1222AB C P MN OM ==-==,222112C P C M PM C M C N r =+=+=+， 121C C r =+，在直角三角形1C 2C P 中，()222112r r ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得r=6.在直角三角形OM 2C 中，2OC ==cos ∠MO 2C 12=,∴∠MO 2C =600，又直线l的倾斜角为300，所以2C 在y 轴正半轴上，得2C （0,，所以圆2C 的方程为(2236x y +-=。