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(完整版)常见函数对称性和周期性

(一)函数)(x f y =图象本身的对称性(自身对称)
若()()f x a f x b +=±+,则()f x 具有周期性;若()()f a x f b x +=±-,则()f x 具有对称性:“内同表示周期性,内反表示对称性”。

推论1:)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称
推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称
推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称
推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称
推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称
推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称
(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)
1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称
2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数
3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称
4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称
推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称
推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称
推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称
2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=
3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=
4、)
(1
)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1
)(x f a x f -
=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)
(1)
(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、 1)(1
)(+-
=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)
(1)
(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=
10、若.2
, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则
推论:偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=
推论:奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=。

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